备战2024年高考数学二轮复习专题03数列求和之分组求和、裂项相消、错位相减(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题03数列求和之分组求和、裂项相消、错位相减(原卷版+解析)，共31页。试卷主要包含了分组求和，裂项相消，错位相减等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 分组求和
典例1．已知各项均为正数的等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若，求的前项和.
变式1-1．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
变式1-2．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
变式1-3．已知公差不为0的等差数列{an }前9项之和，且第2项，第4项，第8项成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足 an+，求数列的前项的和．
考点二 裂项相消
典例2．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
变式2-1．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
变式2-2．设是等差数列，,且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，且,求数列的前项和为.
变式2-3．各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
考点三 错位相减
典例3．已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
变式3-1．等差数列不是常数列，且，若构成等比数列.
（1）求；
（2）求数列前n项和
变式3-2．已知等差数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
变式3-3．已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
巩固练习
练习一 分组求和
1．已知数列满足，数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，，求.
2．已知数列为等差数列，且，．
(1)若等比数列满足，，求等比数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和．
3．已知等差数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
4．已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
练习二 裂项相消
5．已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
6．等差数列前n项和为，且．
(1)求通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
7．已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和．
8．已知正项等比数列单调递增，其前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
练习三 错位相减
9．已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
10．设是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求的公比；
(2)若a1＝1，求数列的前n项和.
11．已知等差数列满足：
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
12．已知为各项均为正数的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列前n项和．
第二篇 数列
专题03 数列求和之分组求和、裂项相消、错位相减
常见考点
考点一 分组求和
典例1．已知各项均为正数的等差数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若，求的前项和.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）各项均为正数的等差数列的公差为，再用首项表示已知条件解方程组，最后运用等差数列的通项公式可求解；
（2）根据等差数列、等比数列的前项和公式求解即可.
(1)
设各项均为正数的等差数列的公差为.
由，且.
得解之得或
故或.
(2)
由于，所以.
所以.
根据等差数列、等比数列的前项和公式，
得.
变式1-1．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，由等差中项的性质建立等量关系，求解，从而求出数列的通项公式；（2）由等差中项的性质可知为等差数列，求出通项公式，分组求和即可.
【详解】
解：（1）设等比数列的公比为
因为，
所以.
因为是和的等差中项，
所以，
即，
解得
所以.
（2）因为，
所以为等差数列.
因为，
所以公差.
故.
所以
变式1-2．已知等差数列的公差为，前项和为，且满足_____.（从①②成等比数列；③，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）
（1）求；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）选择①②、①③、②③条件组合,； （2）
【解析】
【分析】
（1）先将①②③条件简化，再根据选择①②、①③、②③条件组合运算即可；
（2），利用分组求和法计算即可.
【详解】
（1）①由，得，即；
②由，，成等比数列，得，，即﹔
③由，得，即；
选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔
（2）由（I）得，
则
，
即
【点晴】
本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和，考查学生的数学运算能力，属于容易题.
变式1-3．已知公差不为0的等差数列{an }前9项之和，且第2项，第4项，第8项成等比数列
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足 an+，求数列的前项的和．
【答案】（1）;（2）
【解析】
【分析】
（1）根据， 成等比列两个方程，求出首项和公差，求得通项公式.
（2）用分组求和法求和.
【详解】
解：（1）设数列公差为，由已知有 ，
得，得,又，
解得，故，所以数列的通项公式.
（2）由（1）有 ，则
，
即数列的前项的和
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，等比数列的前项和公式，数列的分组
求和法.
考点二 裂项相消
典例2．已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，根据，列出和的方程组，进而求出和，即可求出的通项公式；
（2）由（1）可知，根据裂项相消法即可求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，可得
解得，
所以等差数列的通项公式可得;
（2） 由（1）可得，
所以.
【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式的求法，以及裂项相消法在数列求和中的应用，属于基础题.
变式2-1．已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1），（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程即可求出等差数列的公差，从而可求出数列的通项公式；
（2）由（1）求出，利用裂项相消求和法可求出
【详解】
解：（1）设等差数列的公差为（），
因为，且成等比数列，
所以，即，
解得（舍去）或，
所以，
（2）由（1）可得，
所以
【点睛】
此题考查等差数列基本量计算，考查等比中项的应用，考查裂项相消求和法，属于基础题
变式2-2．设是等差数列，,且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）记的前项和为，且,求数列的前项和为.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列和等比数列的的通项公式，即可求出结果；
（2）由等差数列的前项和可得，所以，采用裂项相消法求和，即可求出结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为,
成等比数列,
,
即,
解得,
.
（2）由（1）知,
,
,
,
数列的前项和为
【点睛】
本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.
变式2-3．各项均不相等的等差数列的前项和为，已知，且成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的性质，可得，则可得通项公式.
（2）根据（1）的结论可得，然后利用裂项相消求和，可得结果.
【详解】
（1）因为各项均不相等，所以公差
由等差数列通项公式
且，
所以，
又成等比数列，所以，
则，化简得，
所以
即
可得
即
（2）由（1）可得
化简可得
由
所以
【点睛】
本题主要考查利用裂项相消法求和，属基础题.
考点三 错位相减
典例3．已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2) .
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.
解析：
（Ⅰ）由，得
因为所以
（Ⅱ）
变式3-1．等差数列不是常数列，且，若构成等比数列.
（1）求；
（2）求数列前n项和
【答案】（1
【解析】
【详解】
分析：（1）由题可得，然后根据等差数列通项求出d；（2）采用错位相减法即可求和.
详解：（1）
点睛：考查等比数列的中项性质、等差的通项和错位相减法求和.属于基础题
变式3-2．已知等差数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组，求解，即可得通项公式；（2）利用错位相减法代入计算的前项和.
(1)
因为数列为等差数列，设等差数列的公差为，
所以，所以数列的通项公式为；
(2)
由（1）得，∴，
.∴.∴
变式3-3．已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设的公差为d，首先求出方程的解，即可得到，，即可求出公差，即可得解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
(1)
解：设的公差为d，由，解得或，
因为，为方程的两个实根，且单调递增，
所以，，所以
所以，解，
所以，
即的通项公式为．
(2)
解：由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
巩固练习
练习一 分组求和
1．已知数列满足，数列是等差数列，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列前n项和为，，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，得出数列是首项为1，公比为3的等比数列，即可求得其通项公式；
（2）设等差数列的公差为，列出方程组求得，得到，结合等差、等比数列的求和公式，即可求解.
(1)
解：由数列满足，可得，
所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，
所以数列的通项公式为.
(2)
解：设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
所以，
又由，
所以数列的前项为：
2．已知数列为等差数列，且，．
(1)若等比数列满足，，求等比数列的通项公式；
(2)在（1）的条件下，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求出等差数列的首项和公差，再求出等比数列的首项和公比；
（2）分别求等差数列、等比数列的前n项和再相加即可.
(1)
设数列公差为d，由，有，
所以．
所以，
又等比数列首项，所以公比，
所以．
(2)
由（1）得
所以.
3．已知等差数列的前n项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由等差数列基本量解方程组求解即可
（2），由分组求和即可得解
(1)
设公差为d，
依题意得，解得，
所以．
(2)
，
．
4．已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由基本量表示出两个等式并解出基本量，进而求出等差数列通项公式；
（2）用分组求和法，结合等差数列与等比数列求和公式即可得到答案.
(1)
设公差为d，由已知得，
解得，，∴.
(2)
∵
∴
.
练习二 裂项相消
5．已知等差数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项法可求得.
(1)
解：设等差数列的公差为，则，可得，
由可得，即，解得，，
故.
(2)
解：，
因此，
.
6．等差数列前n项和为，且．
(1)求通项公式；
(2)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，根据已知条件求，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式.
（2）求得，利用裂项相消法即可求得.
(1)
设等差数列的公差为，由，解得，
所以，故数列的通项公式；
(2)
由（1）得：，
所以，
所以.
7．已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出结果.
(1)
解：公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，
所以，即，
解得，
则；
(2)
解：由（1）可知，，
可得数列的前项和
.
8．已知正项等比数列单调递增，其前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设，应用等比数列前n项和公式求基本量，进而写出通项公式.
（2）利用裂项相消法求的前项和.
(1)
由是正项等比数列且单调递增，结合已知可得：，
，故.
(2)
由（1）可得：，
.
练习三 错位相减
9．已知等差数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知条件列方程组求出，从而可求出通项公式，
（2）利用错位相减法求解
(1)
设等差数列的公差为，由，可得，
即，
由，可得，即，
所以，解得，
所以.
(2)
由（1）可得，所以，
所以，两式相减得
所以.
10．设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.
(1)求{an}的公比；
(2)若a1＝1，求数列{nan}的前n项和.
【答案】(1)－2
(2)－
【解析】
【分析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，且q≠1，则由题意可得2a1＝a1q＋a1q2，从而可求出公比q，
（2）利用错位相减法求解即可
(1)
设等比数列{an}的公比为q，且q≠1，
依题意，2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.
所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.
故{an}的公比为－2.
(2)
记Sn为{nan}的前n项和.
依题意及(1)知，{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，所以an＝(－2)n－1，
所以Sn＝1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n·(－2)n－1，
－2Sn＝－2＋2×(－2)2＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n·(－2)n.
两式相减，得
3Sn＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n·(－2)n
＝－n·(－2)n，
所以Sn＝－.
11．已知等差数列满足：
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）应用等差数列的通项公式及已知条件列方程组求基本量，即可写出的通项公式；
（2）由（1）得，应用错位相减法求的前项和.
(1)
设等差数列的公差为，
由题设，有 ，解得.
，故的通项公式为.
(2)
由（1）知：，
①
②
①-②得：，
.
数列的前项和.
12．已知为各项均为正数的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)利用基本量法，求出首项和公比，即可求解.
(2)利用错位相减法，即可求解.
(1)
设等比数列公比为
(2)