2024年高考数学二轮复习专题02数列(解答题12种考法)(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题02数列(解答题12种考法)(精讲)(原卷版+解析)，共87页。试卷主要包含了数列通项和求和常见方法，裂项相消常见形式，分段函数，插项数列，数列中的存在性问题，数列与三角函数综合运用，数列与统计概率综合，数列中求参问题等内容，欢迎下载使用。

考法一 数列通项和求和常见方法
【例1-1】（河北省沧州市联考2024届高三上学期10月月考数学试题）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，数列的前n项和为，证明：．
【例1-2】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列满足，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【变式】
1．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前23项的和.
2．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
4．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
考法二 裂项相消常见形式
【例2-1】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列中，已知，，记．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记______，数列的前n项和为，求．
在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【例2-2】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【例2-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)数列的前项和为，求证：.
【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考阶段练习）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
2.（2022·湖北·模拟预测）设正项数列的前项和为且，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
4.（2022·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
5.（2022·天津南开）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
考法三 分段函数
【例3-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
【例3-2】（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
【变式】
1．（江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题）已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
2．（2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
考法四 插项数列
【例4-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
【例4-2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和.
【变式】
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
2．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
考法五 数列中的存在性问题
【例5】23．（2023·广东·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
2．（2023·山东日照·三模）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
3．（2023·上海嘉定·校考三模）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
考法六 数列与三角函数综合运用
【例6-1】（2020秋·宁夏中卫·高三海原县第一中学校考期中）已知的三个内角、、的对边分别为、、，内角、、成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【例6-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式】
1.（2022·安徽）已知函数的最小正周期为6．
(1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值；
(2)若，求数列的前2022项和．
2.（2022·河南）已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
3.（2022·安徽）已知函数，
(1)求的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．
考法七 数列与统计概率综合
【例7】（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率；
(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
附：，
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房健身的概率为，去健身房健身的概率为，从第二次起，若前一次去健身房，则此次不去的概率为；若前一次去健身房，则此次仍不去的概率为.记第次去健身房健身的概率为，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？
2．（2023·湖南永州·统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；
(2)已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．
参考数据：
3．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
考法八 数列中的最值
【例8】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【变式】
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知数列的前项和满足，，为数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最大值.
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)议，当取得最小值时，求n的取值．
3．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使得成立的最大正整数的值．
考法九 数列中求参问题
【例9】（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【变式】
1．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知正项数列，对任意，都有为数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围．
2．（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列满足，
(1)记，求证：为等比数列；
(2)设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
3．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）在数列中，，的前项为．
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
考法十 数列与函数导数综合
【例10-1】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列，的前项和为，证明：.
【例10-2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【变式】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.
2．（2023·陕西西安·校考三模）已知数列是等差数列，，且、、成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求、、的值；
(2)设数列的前项和为，判断数列的单调性，并证明.
3．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
考法十一 新概念数列
【例11】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数．
【变式】
1．（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列的前项积为，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和．
考法十二 数列与其他知识的综合
【例12】（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
【变式】
1．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
专题02 数列（解答题12种考法）
考法一 数列通项和求和常见方法
【例1-1】（河北省沧州市联考2024届高三上学期10月月考数学试题）已知数列的前n项和为，且满足．
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】（1）根据题意，，
所以，则，
所以，所以是等差数列．
（2）由，则是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以，
所以，
所以．
【例1-2】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列满足，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【解析】（1）因为，
令，则，解得，则，
且，
可得数列是以首项为1，公比为的等比数列，
所以，即.
（2）由（1）可知：，
则
，
所以.
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)(2)见解析
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
【变式】
1．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前23项的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列公差为d，则，
解得，，
所以.
（2）由（1）可得：，则，
可得
，所以.
2．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)，；
(2)
【解析】（1）由，得，
又，所以当时，
，
所以，又，符合上式，，所以，
又，所以．
（2）由（1）知，所以，
，
两式相减得，
所以．
4．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，两边同时除以，
所以，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以，
当时，，
当时，也满足上式，
所以.
（2）由（1）可得，，
则
.
考法二 裂项相消常见形式
【例2-1】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列中，已知，，记．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)记______，数列的前n项和为，求．
在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析；
(2)答案见解析.
【解析】（1）由，得，则，而，
因此，显然，
所以数列为以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）选择①：由（1）得，，
则
所以．
选择②：由（1）得，，
则，
所以.
选择③：由（1）得，，
则，
所以.
【例2-2】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，可得，
两式相减得，
整理得，可知数列是3为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）由（1）可得：，
则
，
所以．
【例2-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，.
(1)求数列的通项公式以及前项和；
(2)数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）设的公比为，由题意，可得，解得，
所以，所以；
（2）由（1）得，
所以，
所以，
因为，所以，得证.
【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考阶段练习）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得，
即得，则，
即，可得，由于，故得，
则，故；
（2）由（1）结论可得
，
故的前项和.
2.（2022·湖北·模拟预测）设正项数列的前项和为且，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为，当，且时，
，所以，
则是首项为1，公差为2的等差数列，所以，
即，所以，
所以；
(2)解：由（1）可得，
所以．
3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）解：因为，，①
所以当时，解得，
当时，，即②，
由①-②可得，即，
所以数列是等比数列，首项为，公比，
所以数列的通项公式为：；
（2）解：由（1），
所以，
4.（2022·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)，(2)
【解析】(1)由得，，
当时，，
当时，，作差得，
即，则，
因此，所以，又满足．
所以，对任意的，，
所以，则，
所以，当时，，
也满足，
所以，对任意的，.
(2)由（1）知，
所以.
5.（2022·天津南开）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项．
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)（）；（）
(2)（）
【解析】（1）或，
又，则，∴（）．
设等差数列的公差为，由题意得，，，
即，所以（）．
（2）由（1）知，则
∴
故（）.
考法三 分段函数
【例3-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，
当时，，因为也符合上式．
所以．
（2）由（1）可知，
所以
．
【例3-2】（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列，
所以，即，解得或（舍去），
所以．
（2）由题意知，，
所以
．
当为偶数时，
，
当为奇数时，
．
综上．
【变式】
1．（江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题）已知等差数列的前项和为，且满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）（1）设数列等差数列的公差为d，
因为，所以，则，
因为，即，所以，
所以，，
所以，即 .
（2）因为，所以，
所以
．
2．（2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若选择条件①：
根据题意，由，得
当时，．
两式相减得，，
化简得或（舍），
所以当时，数列是公差为2的等差数列，
则．
又由，得，解得，
所以．
当时，，解得，满足上式，
故
若选择条件②：
由题设知，
则当时，．
，
由，得，
解得，
故当时，，
当时，也满足上式，
故．
（2），
当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
当为奇数时，则，
设，
则，
两式相减得
，
所以；
当为偶数时，则，
设，
所以；
综上所述：，
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.
考法四 插项数列
【例4-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的首项，，.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，，
所以，取倒得，
所以，即，即，
因为，所以是，的等比数列，
所以.
（2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，
合计个3，
所以.
【例4-2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为①，
所以时，②，
①②得：，即，
又时，，所以也满足上式，
故的通项公式为.
（2）设数列满足．
记的前项和为，的前项和为，则．
由等比数列的求和公式得：，．
所以．
即新数列的前项和．
【变式】
1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，解得（舍去），
由得时，，
两式相减得，
因为，所以，
所以是等差数列，首项为4，公差为3，
所以；
（2）由于，
因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，
所求和为.
2．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，令.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：在数和之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，
设插入的这个数分别为、、、，
由等比数列的性质可得，
所以，，所以，，
易知，所以，，则.
（2）解：，
所以，.
3．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）.
(1)求数列的通项公式；
(2)试确定的值，使得数列为等差数列；
(3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求.
【答案】(1)
(2)
(3)2226
【解析】（1）由题意，可得，所以，
解得或（舍），则，
又，所以.
（2）由，得，
所以，，，
因为数列为等差数列，所以，解得，
所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列.
（3）因为，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
，所以与之间插入个2，
……
则的前项，由个，构成，
所以.
考法五 数列中的存在性问题
【例5】23．（2023·广东·校联考模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为.
(1)求证为等比数列；
(2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】（1）因为的等差中项为，所以，
因为时，，则，所以，
由得，
又，两式相减得，即，
所以有，所以，
所以是等比数列，其首项为，公比为2.
（2）由（1）知，所以，所以，
因为，所以，
又，
所以，所以.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
2．（2023·山东日照·三模）已知数列满足：.
(1)当时，求数列中的第10项；
(2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，证明见解析
【解析】（1）由已知，所以，相除得；
又，所以，所以.
（2）假设存在正数，使得数列是等比数列，由得，由，得，
因为是等比数列，，即，
下面证明时数列是等比数列，
由（1）知数列和都是公比是的等比数列，
所以，；
所以为奇数时，，为偶数时，，
所以对一切正整数，都有，所以，所以存在正数使得数列是等比数列.
3．（2023·上海嘉定·校考三模）已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上，
可得，即，
又因为，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列.
（2）解：不存在.
理由：由（1）得，
当时，可得，
又因为，所以，
反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增，
假设存在使得成等差数列，
可得，即，
两边同除以，可得
因为是偶数，是奇数，所以，
所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列.
考法六 数列与三角函数综合运用
【例6-1】（2020秋·宁夏中卫·高三海原县第一中学校考期中）已知的三个内角、、的对边分别为、、，内角、、成等差数列，，数列是等比数列，且首项、公比均为．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为内角、、成等差数列，，
所以，，
因为，所以，，
故数列是首项、公比均为的等比数列，.
（2），
，
，
则，
故数列的前项和.
【例6-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），
当时，，两式子作差可得
，
又，所以，
可得数列为公差为2 的等差数列，
当时，，
所以，数列的通项公式为.
（2），
，
所以，数列的前项和.
【变式】
1.（2022·安徽）已知函数的最小正周期为6．
(1)已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，，求的值；
(2)若，求数列的前2022项和．
【答案】(1)2；(2).
【解析】(1)，
因为的最小正周期为6，故可得，，解得，故，
因为，，故可得，又，则，；
因为，故可得，又，则或，或，
因为，则，当时，，满足题意；当时，，不满足题意，舍去；
由正弦定理可得：.
(2)
根据（1）中所求可得：，
故
.
即数列的前2022项和.
2.（2022·河南）已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【答案】(1)
(2)，最大值
【解析】(1)由得，又，所以，由得
从而，因此数列和数列都是等差数列，它们的公差都等于.
所以即当n为奇数时，；
即当n为偶数时，
综上，数列{}的通项公式为
(2)由（1）可得
所以
当n为奇数时，
当n为偶数时，，且随着n的增大，在减小，
所以当时，取得最大值.
3.（2022·安徽）已知函数，
(1)求的解析式，并求其单调递增区间；
(2)若在区间上的根按从小到大的顺序依次记为求数列的通项公式及其前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由题意得，，
则，
，解得Z)，
即函数的单调增区间为Z，
(2)由，得，
有或Z，
解得或，Z，
得方程的根从小到大排列依次为
，
所以
则数列的通项公式为，
故数列的偶数项是以1为首项，1为公差的等差数列，
奇数项是以为首项，1为公差的等差数列.
当为偶数时，
；
当为奇数时，
，
综上，
考法七 数列与统计概率综合
【例7】（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．
(1)求消费者甲第2次获胜的概率；
(2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
【答案】(1)
(2)详见解析
【解析】（1）
（2）
,
,
,
为等比数列, 且公比为；.
,
因为单调递增，
当n为奇数时， ，所以得获奖至少要玩9轮.
当n为偶数时，，得奖至少要玩10轮，所以平均至少要玩9轮才可能获奖.
【变式】
1．（2023·浙江·模拟预测）全民健身是全体人民增强体魄､健康生活的基础和保障，为了研究杭州市民健身的情况，某调研小组在我市随机抽取了100名市民进行调研，得到如下数据：
附：，
(1)如果认为每周健身4次及以上的用户为“喜欢健身”；请完成列联表，根据小概率值的独立性检验，判断“喜欢健身”与“性别”是否有关？
(2)假设杭州市民小红第一次去健身房健身的概率为，去健身房健身的概率为，从第二次起，若前一次去健身房，则此次不去的概率为；若前一次去健身房，则此次仍不去的概率为.记第次去健身房健身的概率为，则第10次去哪一个健身房健身的概率更大？
【答案】(1)列联表见解析，“喜欢健身”与“性别”无关
(2)第10次去健身房健身的概率更大
【解析】（1）依题意，列联表如下：
，
所以“喜欢健身”与“性别”无关.
（2）依题意，，当时，，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
所以第10次去健身房健身的概率更大.
2．（2023·湖南永州·统考一模）某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；
(2)已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．
参考数据：
【答案】(1)分布列见解析
(2)5
【解析】（1）由题意的所有可能取值为：0，1，2，3.
,
,
,
;
所以的分布列如下表：
（2）不妨设抽取第次时取到优质产品，此时对应的概率为，而第次抽到优质产品的概率为，因此由题意抽取次数的期望值为 ，
，
两式相减得，
所以，
又由题意可得，
所以，即，
注意到当时，有，
且当时，有；
综上所述：的最大值为5.
3．（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
(1)求的值，并探究数列的通项公式；
(2)求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】(1)，
(2)第二次，证明见解析
【解析】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
考法八 数列中的最值
【例8】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
【变式】
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知数列的前项和满足，，为数列的前项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，
当时，，
，
综上所述，；
（2）由（1）得，
当时，.
故
，
要使，即，解得，
又，故取最大值为.
2．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)议，当取得最小值时，求n的取值．
【答案】(1)
(2)1，2，3．
【解析】（1）因为，
当时，，
所以，
又时，不满足上式，
故数列的通项公式为.
（2）当n为奇数时，，
当，时，
因为单调递增，∴，
综上，当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
因为单调递增，∴．
综上所述，当取得最小值时，n的取值为1，2，3．
3．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求使得成立的最大正整数的值．
【答案】(1)；
(2)7.
【解析】（1）因为是和的等比中项，
所以，
又因为数列是公差为2的等差数列，
所以，
故数列的通项公式为．
（2）因为，
所以数列的前项和为
，
又因为，
所以，
设，
因为，
所以单调递增，又，
所以，
所以使得成立的最大正整数的值为7.
考法九 数列中求参问题
【例9】（2023·全国·统考高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
【变式】
1．（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知正项数列，对任意，都有为数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，故，
故，整理得到，
因为，故，故，
故为等差数列，而，故（舍）或，
故.
（2）由（1）可得，
因为是递增数列，故，故，
整理得到：，故，
当为正奇数时，故恒成立，故；
当为正偶数时，故恒成立，故；
故.
2．（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知数列满足，
(1)记，求证：为等比数列；
(2)设数列满足：，，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【解析】（1）因为，
所以为等比数列；
（2）由（1）可知：是2为公比的等比数列，
，因此，
即，
而，
所以，
当时，
，
令，
所以，
两式相减，得，
所以，
所以，当时，也满足，
由
设，
由，
由，
当，所以有，
，所以，
所以，因此实数的取值范围为.
3．（2023·浙江杭州·校考模拟预测）在数列中，，的前项为．
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【解析】（1）由，，得，，
则，因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，
于是，所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，，
因此当时，恒成立，即对恒成立，
而对勾函数在上单调递增，于是当时，，则，
所以的取值范围是.
考法十 数列与函数导数综合
【例10-1】（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知数列，满足，是等比数列，且的前项和.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列，的前项和为，证明：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】（1）当时，，；
当且时，，；
经检验：满足，；
当时，，；
当且时，，
，；
经检验：满足，.
（2）由（1）知：，
；
，在上单调递减，在上单调递增，
，；
又，.
【例10-2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，所以，
所以当时，，所以；
当时，，
所以，
所以，
又满足上式，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
当时，；
当时，
；
所以，
当时，递减，所以；
当时，，
设，
则，令得，此时单调递增，
令得，此时单调递减，
所以在时递减，在时递增，
而，，且，
所以；
综上，的最小值为.
【变式】
1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，当时，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)最大项，最小项.
【解析】（1）因为当时，，所以，
令，则，，又，所以，，
所以数列为等比数列，公比为2，首项为2，
所以，所以.
（2）由（1）知，得，
，
当时，，，即；
当时，，，即，
所以数列是先增后减，最大项为，
因为当时，且数列是单调递增；当时，
所以数列的最小项为．
2．（2023·陕西西安·校考三模）已知数列是等差数列，，且、、成等比数列．给定，记集合的元素个数为．
(1)求、、的值；
(2)设数列的前项和为，判断数列的单调性，并证明.
【答案】(1)，，
(2)单调递增数列，证明见解析
【解析】（1）解：设数列的公差为，由、、成等比数列，得，
，整理可得，解得，
所以，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为，
时，集合中元素个数为.
（2）解：由（1）知，
，
对于恒成立，
为递增数列，即，即，
，，故数列是单调递增数列.
3．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，试比较与9的大小，并加以证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【解析】（1）因为，
所以，
因为的各项均为正，所以，故，即，
所以是以2为公比的等比数列，
因为，又公比为2，
所以，所以.
（2），证明如下：
令，则，
当时，，即在上单调递减，
所以，则，即，
设，所以，
所以，
记，则，
所以，
即，则，所以，所以.
考法十一 新概念数列
【例11】（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数．
【答案】(1)
(2)36
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可知，
因为，
所以，
解得，所以，
，故．
（2）因为，所以，所以．
因为，
所以当时，，则，又，故；
当时，，则，故；
当时，，则，故；
当时，，则，故，
依次类推，当时，，则，故，
由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，
所以集合中元素的个数为
个．
【变式】
1．（2023·福建·校联考模拟预测）已知数列的前项积为，且.
(1)证明：是等差数列；
(2)设，数列的前项和为，定义为不超过的最大整数，例如，，求的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：已知数列的前项积为得（），
故有，从而，且，则，所以.
从而是首项为3，公差为2的等差数列.
（2）由（1）知，，.
所以
.
当时，，.
当时，，.
当时，.
这时.
所以时，，
综上，
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)定义，记，求数列的前20项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为，当时，，解得；
当时，，所以，即，
所以，即是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，
，则．
（2）因为，即数列为递增数列，
，即数列单调递减．
，
，
所以当时，，当时，，
所以
所以
．
考法十二 数列与其他知识的综合
【例12】（2023·江苏无锡·校联考三模）记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求除以3的余数.
【答案】(1)
(2)2
【解析】（1）因为，，
所以是首项为1，公差为的等差数列，
所以，
即①，
所以②，
由②－①可得，
即，
所以.
（2）由（1）可得，
则，
所以，
所以
所以除以3的余数为2.
【变式】
1．（2023·河北沧州·校考三模）设公比为正数的等比数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列在区间中的项的个数，求数列前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设公比为，由，得，
即，得，
解得或（舍去），得，又，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列的通项公式为.
（2）由为数列在区间中的项的个数，
可知，，.
当时，；当时，；
当时，；当时，.
∴.
∴数列前100项的和为.
2．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，则，且；
当时，，，两式相减得，
∴（），
∴当时，，即，
则，∴．
综上，对任意都成立．
（2），集合的非空子集有个，
其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有个，
含3个元素的集合有个，……，含个元素的集合有个，
所以最小元素为1的子集个数为个，
同理，最小元素为2的子集个数为个，
……，最小元素为的子集个数为1个，
∴，
，
∴，则．
3．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足__________（在①②中任选一个条件）的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.①，②，其中.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2）若选①，则有.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以；
若选②，则有，
因为
所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；
当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
每周健身次数
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6次及6次以上
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女
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0.05
0.01
0.005
0.001
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3.841
6.635
7.879
10.828
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