2024年高考数学二轮复习专题03空间几何与空间向量(解答题10种考法)专练(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题03空间几何与空间向量(解答题10种考法)专练(原卷版+解析)，共72页。试卷主要包含了在三棱台中，为中点，，，.，已知正四棱台的体积为，其中.等内容，欢迎下载使用。

(1)若平面分别交，于点，，求的周长；
(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值.
2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．

(1)若点N为的中点，求证：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．
4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体中，四边形是菱形，，平面，，为的中点，平面．

(1)求；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.
(1)若直线平面，求证：平面；
(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.
9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．

(1)在图中作出平面与平面ABCD的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为，求线段CE的长．
14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱中，，为的中点，点在上，.

(1)证明：平面；
(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.
15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.
16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是平行六面体中线段上一点，且．

(1)证明：平面；
(2)已知四边形是菱形，，并且为锐角，，求二面角的正切值．
18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.
19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．

(1)求证：平面平面；
(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．
(1)证明：；
(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．
22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.
(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体中，，，，，且平面平面.

(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．
24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

(1)试用所学知识确定在棱上的位置；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
28．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．
29．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
30．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，M是棱PD上靠近点P的三等分点．

(1)证明：平面MAC；
(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，，，求l与平面MAC所成角的正弦值．
专题03 空间几何（解答题10种考法）
1．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，四棱锥中，，，，，与交于点，过点作平行于平面的平面.

(1)若平面分别交，于点，，求的周长；
(2)当时，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】(1)4
(2).
【解析】（1）由题意可知，四边形是直角梯形，
∴与相似，又，
∴，，
因为过点作平行于平面的面分别交，于点，，
即平面平面，平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
平面平面，平面平面，
由面面平行的性质定理得，，，
所以与相似，相似比为，即，
因为的周长为6，所以的周长为.

（2）∵平面平面，∴平面与平面的夹角与平面与平面的夹角相等，
∵，，，∴，
∴，又，，平面，∴平面，
平面，∴平面平面，
取的中点，因为为等边三角形，∴，平面平面，
平面，∴平面，
以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，
设平面的法向量，
则，即，
取，则，
∵平面，∴是平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，则，所以，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
2．（2023·江西九江·统考一模）如图，直角梯形中，，，，，将沿翻折至的位置，使得，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)为线段上一点（端点除外），若二面角的余弦值为，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）易知，，，平面，
平面，
又平面，所以
由直角梯形，，，，
可得，又，得；
又，平面，所以平面
又平面，可得平面平面
（2）取的中点，连接，，

，，
又平面平面，平面平面，平面，
为的中点，为的中点，可得，又，
故以所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标
系，则，，，，，
设，则
设平面的一个法向量为，
，，
所以，令，得，，
即
平面的一个法向量为
可得，解得或(舍)
即为的中点，易知，
故线段的长为.
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．

(1)若点N为的中点，求证：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【解析】（1）证明：连接，，
因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）解：取的中点O，连接，
因为侧面为菱形，且，
所以在中，，解得，
所以'，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
过O作的垂线，交于H并延长，
分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示，设，则，
故，，，，，
则，，，，，
设平面的法向量为，则 ，即，
取，可得，
设平面的法向量为， ，即，
令，则，所以，
则，故平面与平面夹角的余弦值为．

4．（2023·新疆·统考三模）如图，在圆柱体中，，，劣弧的长为，AB为圆O的直径．

(1)在弧上是否存在点C（C，在平面同侧），使，若存在，确定其位置，若不存在，说明理由；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)存在，为圆柱的母线
(2)
【解析】（1）存在，当为圆柱的母线时，．证明如下：
连接BC，AC，，因为为圆柱的母线，所以平面ABC，
又因为平面ABC，所以．
因为AB为圆O的直径，所以．
又，平面，所以平面，
因为平面，所以．
（2）以为原点，OA，分别为y，z轴，垂直于y，z轴的直线为x轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，
因为劣弧的长为，所以，，
则，．
设平面的法向量，
则，
令，解得，，所以．
因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量．
所以，
又二面角的平面角为锐角，
故二面角的余弦值为．
5．（2023·河南·校联考二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为，为线段上的动点.

(1)求证：平面；
(2)设直线与平面所成的角为，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）连接，.
在正六棱柱中，
因为底面为正六边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，

又，所以平面平面，
因为为线段上的动点，所以平面，
所以平面.
（2）取的中点为Q，连接，.
因为底面边长为1，所以，
因为，所以，所以.
易得，，，所以平面，所以，
因为，所以平面，
即为平面的一个法向量.
连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间坐标系，
则，，，，，
所以，所以，，.
设（），
所以，
则，
因为，所以，所以的取值范围是.
6．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）如图，在六面体中，四边形是菱形，，平面，，为的中点，平面．

(1)求；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）四边形是菱形，，
又平面，平面，平面，
同理可得：平面．
，平面，平面平面，
平面平面，平面平面，，
同理可得：，四边形是平行四边形；
连接交于点，连接交于点，连接，
设，，则，
延长交于点，连接，
平面，平面，平面平面，，
又，四边形为平行四边形，则，
为的中点，．
，，即，解得：，.
（2）由（1）知，两两垂直，故以为坐标原点，正方向分别为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，；
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值为.
7．（2023·四川成都·模拟预测）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，侧面底面，侧面底面，点F是PB的中点，动点E在边BC上移动，且.

(1)证明：垂直于底面.
(2)当点E在BC边上移动，使二面角为时，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）因为侧面底面，侧面底面，
而底面是矩形，故,底面，
故平面，而平面，故;
同理侧面底面，侧面底面，
而底面是矩形，故,底面，
故平面，而平面，故，
又底面，
故垂直于底面
（2）由（1）知底面，底面，
故，点F是PB的中点，且，
故，；
又平面，,故平面，
平面，故，而平面，
故平面，故即为二面角的平面角，
即；而,
以A为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，
故，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，即，
故，
由原图可知二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）如图所示，四点共面，其中，，点在平面的同侧，且平面，平面.
(1)若直线平面，求证：平面；
(2)若，，平面平面，求锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）平面，平面，，
平面，平面，平面；
，四点共面，，
平面，平面，平面；
，平面，平面平面，
又平面，平面.
（2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，
，，四边形为平行四边形，，
则，，，，，
设平面的法向量，
，令，解得：，，；
平面轴，平面平面，平面轴，
平面的一个法向量，
，即锐二面角的余弦值为.
9．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在三棱台中，为中点，，，.
(1)求证：平面；
(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）在三棱台中，为中点，则，
又，，
，四边形为平行四边形，，
又，，
，，，
，平面，平面.
（2），，，
又，，平面，平面，
连接，，，为中点，；
以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得：，，；
又平面的一个法向量，
，解得：，即，
平面，平面平面，平面，
.
10．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知正四棱台的体积为，其中.

(1)求侧棱与底面所成的角；
(2)在线段上是否存在一点P，使得？若存在请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【解析】（1）依题意，在正四棱台中，，
所以上底面积，下底面积，
设正四棱台的高为，则.
连接，则，
所以，
设侧棱与底面所成的角为，则，
由于线面角的取值范围是，所以.
（2）连接，设正四棱台上下底面的中心分别为，
以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
设线段上存在一点，满足，
，
，
则，
，
若，则，
即，
解得，舍去，
所以在线段上不存在一点，使得.

11．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，，，且.

(1)记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）延长，设其交点为，连接，
则为平面与平面的交线，
取线段CD的中点M，连接KM，直线KM即为所求．
证明如下：延长，设其交点为，连接，
则为平面与平面的交线，
因为，所以，又，
所以，
所以，又，
所以四边形为平行四边形，所以，
取的中点，连接，
∵分别为的中点，
∴，∴．
∵平面， 平面，
∴平面．

（2）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图.由已知可得，
所以，
设平面的法向量为，
则得，
取得，，
平面的一个法向量.
设直线与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.

12．（2023·河北沧州·校考三模）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成.在同一平面内，且.

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图，连接，因为该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，

，所以，所以，所以.
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，所以.
因为平面，平面，所以.
因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，，，

则，，，
设平面的一个法向量为，
则即令，则，
记直线与平面所成的角为，
则，
解得（负值舍去），即.
设平面的一个法向量为，，，
则即
令，则.
所以.
因此平面与平面所成角的余弦值为.
13．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．

(1)在图中作出平面与平面ABCD的交线，并说明理由；
(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为，求线段CE的长．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）
如图1，分别延长，交于点，连接，则即为所求交线.
因为，平面，平面，
所以，平面，平面.
又平面，平面，
所以平面，平面，
所以，平面平面.
（2）
如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，.
则，，，，
所以，，，.
根据正方体的性质可知，平面，
所以即为平面的一个法向量.
设是平面的一个法向量，
所以，，即，
令，则，，
所以，是平面的一个法向量.
由已知可得，，
即，即，
整理可得，，解得或（舍去），
所以，，即.
14．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）直三棱柱中，，为的中点，点在上，.

(1)证明：平面；
(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，平面，
∴.
又，，平面，
∴平面，平面，
∴，又平面，平面，∴，
，平面，
∴平面.
（2）因为，为的中点，，所以，

∴为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面的一个法向量，
设，∵，，
设平面的法向量为，
则，即，取，
由，解得或（舍去），
∵，点到平面距离为，
∴以为顶点的四面体体积为.
15．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形， 平面平面，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值；
(3)若点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，.
【解析】（1）证明：在梯形中，，，，，，
，，平面平面，平面平面，平面，平面.
（2）解：取中点，连接，，
，，，
，，为二面角的平面角.
，，，，
.

（3）由（2）知：
①当与重合时，；
②当与重合时，过作，且使，连接，，则平面平面，，，平面ABC，平面ABC，，平面，平面，，，；

③当与，都不重合时，令，，延长交的延长线于，连接，在平面与平面的交线上，在平面与平面的交线上，平面平面，
过作交于，连接，
由（1）知，，又，平面，，
平面，平面，.
又，平面ACH，，平面，，.
在中，，从而在中，，
，，.，.
综上所述，，.

16．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为AC和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；
(2)求平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，点为靠近的的四等分点
【解析】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，
所以，，
因为，
所以，即.
（2）设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面DEF所成的二面角为，
则，
当时，取最小值为，此时取得最大值，
所以，
所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.
17．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知是平行六面体中线段上一点，且．

(1)证明：平面；
(2)已知四边形是菱形，，并且为锐角，，求二面角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图：

记与交于点，延长交于，连接，
∵四边形是平行四边形，
，即是的中点，
又是的中点，，
又平面平面，
所以平面．
（2）如图：
过点作于，
由于四边形是菱形，，
又由于是的中点，，
由于菱形中平面平面，
所以平面．
以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设菱形的边长为2，
则，，设，
由于，
由于，
设平面的法向量为，
则
令，得，
又平面的法向量为，
．
记二面角的大小，
则，
故二面角的正切值为．
18．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；
(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）由可知，又，故（三线合一），
又平面，平面，故，
又，平面，故平面，
又平面，故平面平面
（2）
在平面中，过作，垂足为，不妨设，由于，
则，
以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设，则，，，.
设平面的法向量，由，即，
则是其中一条法向量；
设平面的法向量，由，即，
则是其中一条法向量.
设平面与平面夹角为，则，
当时，取到最大值，此时正弦值取到最小值为.
19．（2023·内蒙古赤峰·校联考三模）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，四边形是圆的内接四边形，为底面圆的直径，在母线上，且，，．

(1)求证：平面平面；
(2)设点为线段上动点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
【解析】（1）如图，设交于点，连接，
由已知可得，又，
所以四边形为菱形，所以，
∵，，，
∴，∴，
∴，又，所以，
因为为的中点，∴，．
由余弦定理可得，
∴，所以，即，
又平面，，∴平面．
又平面，∴平面平面．

（2）由已知平面，平面，所以，
又，，平面，
∴平面，
又平面，∴．
由（1）知，，平面，
所以平面，
∴，又点为的中点，
所以．
以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，，，
设，则，
∴，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以为平面的一个法向量．
设直线与平面所成的角为，
则，
构建，
则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
∴时，取到最大值4．
此时，取到最大值1.
另解：由，知，
当时，，此时平面，
设直线与平面所成的角为，因为，
当时，取到最大值1．
20．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.
(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；
(2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)存在，
(2)
【解析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，
则，
又因为，所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面，
因此，线段上是否存在点，且当时，平面.
（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，
由，，，所以，，
所以，，所以，，
过点在平面内作，垂足为点，
因为，，，、平面，
所以，平面，
因为平面，则，
又因为，，、平面，所以，平面，
因为点到平面的距离为，即，
且，
所以，，
由图可知，为锐角，所以，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
，，
设平面的法向量，则，
取，则，
，
所以，，
因为，
因此，与平面所成角的正弦值为.
21．（2023·湖北武汉·统考三模）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是等边三角形，平面平面，，．
(1)证明：；
(2)点Q在侧棱上，，过B，Q两点作平面，设平面与，分别交于点E，F，当直线时，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0
【解析】（1）证明：在中，设，因为，
由余弦定理可知：，
解得，所以，所以．
又因为平面平面，平面平面，
，平面，所以平面．
由平面，所以.
（2）连交于点M，连接，，设交于点H．
在中，过P作的平行线交的延长线于N，
由，有，则，
所以点H为线段中点．
在中，因为直线平面，平面平面，
所以直线直线，且直线过点H，所以点E为线段中点．
以点A为坐标原点，分别为轴，轴，过点A垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设．
则，，,，．
因为点E为线段中点，所以，
设平面（平面）的法向量为，
因为，，
由，得，
令，则．
设平面（平面）的法向量为，
因为，，
由，得．
令，则．
所以，所以二面角的余弦值为0.
22．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径.
(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）证明：连接，，则，且，，
连接，，由圆柱的性质可得
，
所以四边形是平行四边形，，所以为中点，
所以易知，平面，平面，
所以平面；
（2）设，则，
，当且仅当时取等，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
，设平面的法向量为，
所以，令，，所以，
取平面的法向量为，
所以平面与平面夹角的余弦值，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
23．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知在多面体中，，，，，且平面平面.

(1)设点F为线段BC的中点，试证明平面；
(2)若直线BE与平面ABC所成的角为，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）取的中点，连接，，
∵在中，∴.
∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.
∵，分别为，的中点，∴，且.
又，，∴，且.
∴四边形为平行四边形.∴，
∴平面.
（2）∵平面，平面，所以，
又因为，所以三者两两互相垂直，
∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.
∵平面，∴直线与平面所成的角为.
∴.∴.
可取平面的法向量，
设平面的法向量，，，
则，取，则，.∴，
∴，
∴二面角的余弦值为.

24．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）如图①所示，长方形中，，，点是边靠近点的三等分点，将△沿翻折到△，连接，，得到图②的四棱锥.
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
【答案】(1)
(2)平面和平面夹角余弦值的最小值为
【解析】（1）解：取的中点，连接，
因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，
此时平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为；
（2）解：连接，
因为，所以，
所以为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
过作于点，由题意得平面，
设,,，
所以，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面的法向量为，
因为，
则，
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
，
令，所以，则
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.
25．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

(1)求证：平面；
(2)当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）如图所示：

取中点，连接，
分别为的中点，且底面为矩形，
所以，且，
又因为平面，平面，平面，平面，
所以平面，且平面，
又因为，平面，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以由面面平行的性质可知平面
（2）如图所示：

注意到侧面为正三角形以及为的中点，所以由等边三角形三线合一得，
又因为，且面，面，，
所以面，又因为面，所以，
又因为底面为矩形，所以，
因为，面，面，
所以面，因为面，
所以，又，
所以，又由三线合一，又，
所以建立上图所示的空间直角坐标系；
因为，
所以，
又因为为的中点，，
所以，
所以，，，
不妨设平面与平面的法向量分别为，
所以有以及，
即分别有以及，
分别令，并解得，
不妨设平面与平面的夹角为，
所以；
综上所述：平面与平面的夹角的余弦值为.
26．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

(1)试用所学知识确定在棱上的位置；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)靠近的三等分点处
(2)
【解析】（1）过作直线与平行，延长与交于点，
连接与的交点即为点．
因为底面是矩形，是的中点，
所以，且．
又，所以，
因为是的中点，可得，
则，所以．
故在棱的靠近的三等分点处．

（2）因为是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
取中点，连接，易知两两相互垂直，
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
．

设平面的法向量为，
则即令，则，所以．
．
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
27．（2021·天津红桥·统考二模）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）过作于点，则，，
由于平面，平面，所以，
以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因为为的中点，所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以平面的法向量为，
因为，所以，
又因为平面，所以平面
（2）由（1）知，，平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，
故可设，
所以，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

28．（2023·海南·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，将沿向上折起，使得平面与平面所成的锐二面角的平面角最大．

(1)求该几何体中任意两点间的距离的最大值；
(2)若，垂足为，点是上一点，证明：平面平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）如图，以为坐标原点，为轴，平面为平面，
建立空间直角坐标系，
则，
设，显然，当时，平面与平面共面，此时的锐二面角一定不是最大
的，所以，
所以，

设平面的法向量为，
则即
令，则．
又平面的一个法向量为，
则，
又，所以，
所以，
当时，等号成立，由
得，
所以，即点在面上．
所以平面平面，
所以，
所以该几何体中任意两点间的距离的最大值为．
（2）由（1）知平面，
所以．
又，且，
平面，
所以平面．
又平面，
所以．
由，且平面，
所以平面．
又平面，所以平面平面．
29．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.

(1)证明：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）
取的中点，连接，因为分别是棱的中点，
则，，∴四边形为平行四边形，
所以，∵平面，平面，
平面；
（2）在平面中过点作于，连接，
∵平面平面，平面平面，∴平面，
由菱形，，得，，
因为点为的中点，∴，故以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则，
所以，，
设平面的法向量为，
则有，解得，令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
综上，直线与平面所成角的正弦值为.
30．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，M是棱PD上靠近点P的三等分点．

(1)证明：平面MAC；
(2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，，，求l与平面MAC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）连接交于点，连接，
因为，，
所以，
又因M是棱PD上靠近点P的三等分点，
所以，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）延长，交于点，
所以时平面与平面的公共点，
所以直线就是平面与平面的交线；
（3）因为平面平面ABCD，，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，所以，
则，
则，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
即l与平面MAC所成角的正弦值为．