2024年高考数学二轮复习专题04恒成立与存在性求参(选填题6种考法)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习专题04恒成立与存在性求参(选填题6种考法)(原卷版+解析)，共52页。试卷主要包含了一元二次不等式在R，一元二次不等式在某区间，等式恒成立或能成立等内容，欢迎下载使用。

考法一 一元二次不等式在R
【例1-1】（2023·青海西宁·统考二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023·四川·校联考模拟预测）“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
【变式】
1．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是
3．（2023·广东潮州）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围为 ．
考法二 一元二次不等式在某区间
【例2-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】（2023·辽宁大连）（多选）已知p：，，则使p为真命题的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【例2-4】（2023秋·湖北宜昌）若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________.
2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若时，恒成立，则a的取值范围为______.
3．（2023·全国·高三对口高考）对于总有成立，则实数a的最小值为 ．
4．（2023秋·安徽铜陵·高三统考阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ．
考法三 单变量的恒成立或能成立
【例3-1】（2023·全国·高三对口高考）若存在负实数使得方程成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（2023·江苏南通·三模）若“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知命题.若为假命题，则的取值范围为 .
【例3-4】（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若不等式对任意成立，则实数的最小值为 ．
【变式】
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为 .
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则 ；若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，使得成立．”为假命题，则实数的最大值为?
考法四 双变量的恒成立或能成立
【例4-1】（2023·辽宁大连）已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是 .
【例4-2】（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 .
【变式】
1．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）已知，，，使成立.则a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且对都有成立，则实数的范围为
3（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是 .
考法五 等式恒成立或能成立
【例5-1】（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2023秋·江苏盐城·高三江苏省建湖高级中学校考阶段练习）已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试）已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
2（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
考法六 更换主元
【例6】（2024秋·吉林通化·高三校考阶段练习）若，使得成立，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023秋·广东珠海）若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·北京）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围
一．单选题
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
2（2023·重庆·统考模拟预测）命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·广西河池·高三校考开学考试）若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量、满足，与的夹角为，若存在实数，有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·黑龙江绥化·统考模拟预测）已知函数，存在，使得不等式有解，则实数m的最小值为（ ）
A．0B．C．1D．2
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在，使得)恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·安徽滁州）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．m＜1C．D．
二、多选题
13．（2023·重庆九龙坡）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．函数有四个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立
14．（2023·湖北武汉 ）定义在上的函数满足：，，则关于不等式的表述正确的为（ ）
A．解集为B．解集为
C．在上有解D．在上恒成立
15．（2023·广东惠州）函数为定义在R上的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．函数有且仅有2个零点
C．若，则方程在上有解
D．，恒成立
16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若函数，则存在（其中，且），使下列式子对任意的恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
17．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知函数，，若存在，使得对任意，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，
B．存在，使得
C．存在，使得在上有且仅有1个零点
D．存在，使得在上单调递减
三、填空题
18．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 .
19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
20．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
21．（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为 ．
22．（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 .
23．（2022秋·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知，若存在常数，使恒成立，则的取值范围是 .
24．（2022秋·河南·高三校联考开学考试）已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是 .
25．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ．
26．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，函数若存在实数，使得恒成立，则的最大值是 ．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．
28．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知，若存在，使不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 ．
293．（2022春·安徽淮南·高三寿县第一中学校考阶段练习）对，存在实数使得不等式恒成立，则的取值范围为
30．（2022·全国·高三专题练习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 .
31．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数，若存在实数x使不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ．
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，存在实数，，使得恒成立，则的最大值与的最小值的积为 ．
33．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式，对任意的实数，总存在实数使不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
34．（2022·全国·高三专题练习）存在使对任意的恒成立，则的最小值为 .
35．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是
专题04 恒成立与存在性求参（选填题6种考法）
考法一 一元二次不等式在R
【例1-1】（2023·青海西宁·统考二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为命题：，，所以：，，
又因为为假命题，所以为真命题，即，恒成立，
所以，即，解得，故选：D．
【例1-2】（2023·四川·校联考模拟预测）“”是“，是假命题”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，命题“，是假命题”
可得命题“，是真命题”
当时，即时，不等式恒成立；
当时，即时，则满足，解得，
综上可得，实数，
即命题“，是假命题”时，实数的取值范围是，
又由“”是“”的必要不充分条件，
所以“”是“，是假命题”的必要不充分条件，
故选：B.
【例1-3】（2023·全国·高三对口高考）已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为命题，使得“成立”为真命题，
当时，，则，故成立；
当时，，解得：；
当时，总存在；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：
【变式】
1．（2023·四川广安·四川省广安友谊中学校考模拟预测）若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意可知：命题：，.是真命题，
①当时，结论显然成立；
②当时，则，解得；
故答案为：.
2．（2023秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为不等式对任意实数均成立，
即不等式对任意实数均成立，
当，即时，有恒成立，满足题意；
当，即时，则有，解得，
综上所述，实数的取值范围为.故选：B.
3．（2023·广东潮州）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，易得m=1时命题成立；
当时，
当时，则命题等价于，
故答案为：
考法二 一元二次不等式在某区间
【例2-1】（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
【例2-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若“，使成立”的否定是：
“，使”为真命题，即；令，
由，得，所以，所以，故选：C.
【例2-3】（2023·辽宁大连）（多选）已知p：，，则使p为真命题的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】令，则的图象开口向上，
若，，则，解得，
对于A，当时，成立，而时，不一定成立，
所以是p为真命题的一个必要不充分条件，所以A正确，
对于B，是p为真命题的充要条件，所以B错误，
对于C，当时，成立，当时，不一定成立，
所以是p为真命题的一个必要不充分条件，所以C正确，
对于D，当时，不一定成立，当时，成立，
所以是p为真命题的一个充分不必要条件，所以D错误，
故选：AC
【例2-4】（2023秋·湖北宜昌）若对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为不等式（），
所以或（），
①当时，，
所以不等式的解集为，
所以原不等式不可能对一切恒成立，故不符合题意；
②当时，，
所以不等式的解集为或，
又因为原不等式对一切恒成立，
所以，解得，
③当时，，
所以不等式的解集为或，
又因为原不等式对一切恒成立，
所以，解得，
综述，.
故选：B.
【变式】
1．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）若命题“”是假命题，则实数的最大值为______．
【答案】
【解析】由题知命题的否定“”是真命题．令，则 解得，故实数的最大值为
故答案为：
3．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）若存在，有成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】将原不等式参数分离可得，设，
已知存在，有成立，则，
令，则，，
由对勾函数知在
上单调递减，在上单调递增，
，，
所以，即，
故答案为：.
2．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）若时，恒成立，则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】解法1：时，恒成立，
即恒成立，即恒成立.
令（），则，，
当且仅当，即，等号成立，
故，即a的取值范围为.
解法2：令，
则由题意知，，在时恒成立，即时，.
①当，即时，在单调递增，
此时，成立，
所以，恒成立；
②当，即时，在上单调递减，
在单调递增，所以，
此时只需，即可，即
解得，，∴，
综上所述，a的取值范围为.
故答案为：.
3．（2023·全国·高三对口高考）对于总有成立，则实数a的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由题意可得，
当时，在上恒成立，
故在上单调递减，则，不合题意；
当时，，
由于，故在上恒成立，
仅当时，等号成立，
则在上单调递减，则，不合题意；
当时，，
由于，故在上单调递增，
在上单调递减，
故令，解得，
故实数a的最小值为4，故答案为：4
4．（2023秋·安徽铜陵·高三统考阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，
不妨设，其开口向上，对称轴方程为，
则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：
情形一：当即时，在上单调递增，
此时有，解得，
故此时满足题意的实数不存在；
情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，
此时有，只需，
解不等式组得，
故此时满足题意的实数的范围为；
情形三：当即时，在上单调递减，
此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；
综上所述：的取值范围是.故答案为：.
考法三 单变量的恒成立或能成立
【例3-1】（2023·全国·高三对口高考）若存在负实数使得方程成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
令，因为，在上均为增函数，
所以在为增函数，且，，，
所以，所以实数a的取值范围是.
故选：C.
【例3-2】（2023·江苏南通·三模）若“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意知命题“”为假命题，
则“”为真命题，
所以，则，
解得，所以的取值范围为.故选：A
【例3-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知命题.若为假命题，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】为假命题
为真命题，故，
令，则，
令解得，令解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以.
故答案为：.
【例3-4】（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若不等式对任意成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为对任意成立，
不等式可变形为:，即，
即对任意成立，
记，则，所以在上单调递增，
则可写为，
根据单调性可知，只需对任意成立即可，
即成立，记，即只需，
因为，故在上，，单调递增，
在上，，单调递减，所以，
所以只需即可，解得.故答案为:
【变式】
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）命题“，使得”为假命题，则a的取值范围为 .
【答案】
【解析】若“，使得”为假命题，
可得当时，恒成立，只需.
又函数在上单调递增，所以.
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则 ；若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】,
对任意，都有成立，即|，
画出函数的图象，如图所示

观察的图象可知，当时，函数，
所以，解得或，
∴实数k的取值范围为.答案：；.
3．（2023·全国·高三专题练习）若命题“，使得成立．”为假命题，则实数的最大值为?
【答案】
【解析】由题意得知命题“，成立”.
（1）当时，不等式成立；
（2）当时，由，则，
不等式两边取自然对数得，可得，
构造函数，其中，则，
令，得，当时，，
所以函数在区间上单调递减，则，
所以，因此实数的最大值为.
考法四 双变量的恒成立或能成立
【例4-1】（2023·辽宁大连）已知，若存在，使对任意的，有成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时,.当时,.
若存在，使对任意的，有成立,
等价于,可得，所以.
故答案为：
【例4-2】（2023秋·江苏·高三宿迁中学校联考开学考试）已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，函数值从减小到0，
当时，，函数在上单调递增，函数值从0增大到，

令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，
由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
【变式】
1．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）已知，，，使成立.则a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题设，使成立，
所以在上成立，
对于，有，
对于，有，
所以，即，可得.故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，且对都有成立，则实数的范围为
【答案】
【解析】由题意，函数，
要使得，即，即对恒成立，
即对恒成立，
令，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以，即，即，当且仅当时，等号成立，
设，则在上为增函数，
而，，故在上存在零点，
故，当且仅当时等号成立，
即，所以，
即实数的取值范围是.
3（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）已知，，若对，使成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，则，即，
所以（为辅助角，），
故，即，解得.
由题可知，，，即对，.
令，令，则，
当时，的最小值为，即，
则，即，
故答案为：
考法五 等式恒成立或能成立
【例5-1】（2023秋·福建三明·高三统考期末）已知函数，，设为实数，若存在实数，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时， ．
令 ，由于 且 ，所以 或，所以
的取值范围是；
当时， ，的取值范围是，；
综上可得的取值范围是，；
要存在实数，使得成立，则函数，
即，即，解得：．故选：D
【例5-2】（2023秋·江苏盐城·高三江苏省建湖高级中学校考阶段练习）已知函数，．若，，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设函数在上的值域为，函数在上的值域为，
因为若，，使得成立，所以，
因为，，所以在上的值域为，
因为，
当时，在上单调递减，所以在上的值域为，
因为，所以，解得，又，所以此时不符合题意，
当时，图像是将下方的图像翻折到轴上方，
令得，即，
①当时，即时，在，上单调递减，
，，所以的值域，
又，所以，解得，
②当时，即时，在上单调递减，在
上单调递增，
，或，
所以的值域或，又，所以或，
当时，解得或，又，所以，
当时，解得或，又，所以，所以的取值范围．
③当时，时，在上单调递增，
所以，，所以在上的值域，
又，所以，解得，综上所述，的取值范围为.
故选：C
【变式】
1．（2023秋·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考开学考试）已知函数的表达式为，若对于任意，都存在，使得成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】在上单调递增，
当时，，，
，，即，
故是值域的子集，故，解得.
故答案为：.
2（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】设在上的值域为，在上的值域为，
若，，使得成立，则.
1.当时，则，
可知开口向下，对称轴为，
则在上单调递增，可得，
所以在上的值域为，所以；
2.当时，则，
（1）若，则在内单调递减，
且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
所以，符合题意；
（2）若，则，即，不合题意；
（3）若，则，
令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，可得，
且当x趋近于0或时，均趋近于，所以，
又因为，则，
注意到，即，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
考法六 更换主元
【例6】（2024秋·吉林通化·高三校考阶段练习）若，使得成立，则实数取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若，使得成立，
则，即，
当时，成立，
当时，令，在上单调递增，
即，则，解得：，
因为，所以，
当时，令，在上单调递减，
即，则，解得：，
因为，所以，综上：实数取值范围是.故选：B.
【变式】
1．（2023秋·广东珠海）若，为真命题，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意知，，恒成立，
设函数，
即，恒成立.
则，即，
解得，或.
故选：C.
2．（2023·北京）已知关于的不等式.若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围
【答案】
【解析】由题知，
设，
当时，恒成立.
当且仅当，即，
解得且，
或且，
则.
所以的取值范围是.
一．单选题
7．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，
当时，在上恒成立，所以满足条件，
当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，
当时，显然有不恒成立，
故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
2（2023·重庆·统考模拟预测）命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若命题“”是真命题，则，
可知当时，取到最大值，解得，
所以命题“”是真命题等价于“”.
因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；
因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；
故选：A.
3．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为p为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即a的取值范围为．
故选：A.
4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；
令，则，则在上单增，，则.
故选：C.
5．（2023秋·广西河池·高三校考开学考试）若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】命题“，使得成立”的否定为：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，，而，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
6．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若存在，使得有解，
由函数，即，即在有解，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以，即实数a的取值范围是.
故选：C.
7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量、满足，与的夹角为，若存在实数，有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对不等式两边同时平方，
得，即，
因为,
所以，
整理得有解，
所以得，
解得，又因为，所以，
故选:C.
8．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，
若存在，使不等式有解，
则问题转化为在上
因为，所以，
所以，
所以，
解得：或
即实数m的取值范围为：，
故选：B.
9．（2020·黑龙江绥化·统考模拟预测）已知函数，存在，使得不等式有解，则实数m的最小值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】A
【解析】.
由，得，设，则，
当时，；当时，，从而在上递增，在上递减，∴，
当时，，即，
在上，，.递减；在上，，，递增，
，设，
∴，，∴在上递减，，∴m的最小值为0.
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
由，得，所以，
令，
由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
所以即，
所以，即m的取值范围为．
故选：A．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在，使得)恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】存在，使得恒成立，
是函数的最小值点，
若，当时，；当时，，此时不存在，使得，不合题意；
若，的对称轴为，函数在，上单调递增，；
在上，，则没有最小值，不符合题意；
若，的对称轴为，函数在，上；
函数在上，，要使存在，使得恒成立，
则，即，解得或，
又，，即实数的取值范围是，．
故选：A．
12．（2023·安徽滁州）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．m＜1C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
时，不等式不可能对恒成立，∴．
作函数和的图象，如图，
时，不等式对不可能恒成立，
在不全为0时，对，的图象是一条线段，这条线段只能是或在其下方（其中），线段的方程是，
要使得原命题成立，只要函数的图象在线段下方即可，即，，
当时，，∴．故选：D．
二、多选题
13．（2023·重庆九龙坡）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．函数有四个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立
【答案】AD
【解析】对于A选项：当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x（﹣x+2）＝e﹣x（x﹣2），故A正确；
对于B选项：当x＜0时，f（x）＝ex（x+2），令f（x）＝0⇒x＝﹣2，即小于0的零点只有1个，根据奇函数对称性可知大于0的零点也只有一个，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，故0也是函数f（x）的零点，于是函数f（x）的零点共有3个，故B不正确；
对于C选项：当x＜0时，f′（x）＝ex（x+3），
∴x＜﹣3时，f′（x）＜0，﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，0）上单调递增，
∴x＝﹣3时，f（x）取最小值﹣e﹣3，且x＜﹣3时，f（x）＜0，
﹣3＜x＜0时，f（x）＜2，即﹣e﹣3≤f（x）＜2；
当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（3﹣x），
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
x＝3时，f（x）取最大值e﹣3，且x＞3时，f（x）＞0，
0＜x＜3时，f（x）＞﹣2，∴﹣2＜f（x）≤e﹣3，且f（0）＝0，
∴﹣2＜f（x）＜2，∴f（x）的值域为（﹣2，2），故C不正确；
对于D选项：结合C的结论可知∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜4，故D正确．
故选：AD．
14．（2023·湖北武汉 ）定义在上的函数满足：，，则关于不等式的表述正确的为（ ）
A．解集为B．解集为
C．在上有解D．在上恒成立
【答案】AC
【解析】令，，则，
∵，
∴恒成立，即在上单调递增.
∵，
∴.
不等式可化为，等价于，
∴，即不等式式的解集为，
则在上有解，故选项AC正确.
故选：AC.
15．（2023·广东惠州）函数为定义在R上的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．函数有且仅有2个零点
C．若，则方程在上有解
D．，恒成立
【答案】AD
【解析】A．函数为定义在R上的奇函数，当时，，，A正确；
B．当时，，解得，时，，解得，又，所以有和0三个零点，B错误；
C．当时，，，当时，，递减，时，，递增，
∴时，极小值＝，
时，，，，
由是奇函数，∴时，极大值＝，，的值域是，若时，方程在时无解，C错误；
D．由C的讨论知，因此对任意的实数有，，∴，即．D正确．
故选：AD．
16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若函数，则存在（其中，且），使下列式子对任意的恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】，当时，，则在上单调递增，又，
∴，∴A正确；此时，，则，
∴，∴B正确；
由，则
当时C式子成立，∴C正确；
若任意满足，则函数关于点对称，但是的唯一对称中心为，∴D错误，
故选：ABC
17．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知函数，，若存在，使得对任意，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，
B．存在，使得
C．存在，使得在上有且仅有1个零点
D．存在，使得在上单调递减
【答案】AD
【解析】，其中，，为锐角，
恒成立，则是的最大值，是其函数图象的一条对称轴，因此，A正确；
的周期是，因此是最小值点，B错；
，则时，，时，，
所以时，，，在上恒为0，有无数个零点，C错；
由的定义知其在上递减，在上递增，
所以当时，，D正确．
故选：AD．
三、填空题
18．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为“使”为假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
20．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.综上有故答案为：.
21．（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，
则，
当且仅当，即，即时，等号成立，
又，所以，显然存在.
所以，最小值为9.
要使不等式有解，只需要即可，即，去绝对值可得或，所以或.
故答案为：.
22．（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，，由不等式有解知，，而，因此，
因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，
则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，
由有解得有解，于是得，解得，
由无解得无解，于是得，解得，因此，
所以a的取值范围是.故答案为：
23．（2022秋·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知，若存在常数，使恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】使恒成立，则，
化简整理得，
由于存在常数，使恒成立，
可知，
因此，解得.
故答案为：
24．（2022秋·河南·高三校联考开学考试）已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是 .
【答案】3
【解析】数列满足，且，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
以上各式相加，得
又，，
，，
若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，
的最小值是3.
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ．
【答案】
【解析】因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
26．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，函数若存在实数，使得恒成立，则的最大值是 ．
【答案】/0.625
【解析】由题意得：，①当，即时，；
②当，即时，，
当即时，；
当即时，，
当即时，；
③当时，，此时.
则当时，；
当时，，画出在的图象，
令，解得，此时相切，可得；
当时，；则，
即当时，，又，则；
当时，，又，则；
当时，，又，则；
综上可得，即的最大值是.
故答案为：.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
28．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知，若存在，使不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】时，不等式可化为，
因为存在使不等式恒成立，
所以只需，
设，，
则，，
所以在上为增函数，
所以，所以，，
所以整理可得，
设，
所以，令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，则在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是
293．（2022春·安徽淮南·高三寿县第一中学校考阶段练习）对，存在实数使得不等式恒成立，则的取值范围为
【答案】
【解析】由题意可知，对，存在实数使得不等式恒成立，转化为在恒成立，
即，即可.
设，则.
令，即，解得，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，取得极大值，也为函数的最大值，
.
设，则.
令，即，解得，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，取得极小值，也为函数的最小值，
.
即，解得
所以的取值范围为.
故答案为：
30．（2022·全国·高三专题练习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 .
【答案】6
【解析】由题意，
设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
当，即时，，；
当，即时，，；
若要对于任意，均成立，则即，所以b的最小值为6.
故答案为：6
31．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数，若存在实数x使不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为存在实数x使不等式对任意恒成立，
所以，
而，则，
令，则，所以在上单调递增，且，
所以时，，即，故单调递减；时，，即，故单调递增；所以在处取得极小值也是最小值，故
，
因为不等式对任意恒成立，
时，不等式恒成立；
时，不等式等价于；令，则，故在上单调递增，故，所以，因此实数a的取值范围为.
故答案为：.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，存在实数，，使得恒成立，则的最大值与的最小值的积为 ．
【答案】
【解析】如图过点时，最大，即
与相切时，最小，即
故
故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式，对任意的实数，总存在实数使不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】，即，即恒成立.
即，设，则.
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，
故.
故答案为：.
34．（2022·全国·高三专题练习）存在使对任意的恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【解析】存在使对任意的恒成立，
则等价于等价于存在，，在的上方.
直线过定点，即定点在直线上，
设直线与相切于点，
，所以，
由得，
化简得，故.
构造函数，
则，
所以当时，，函数递减，
当时，，函数递增，
所以.所以的最小值为.
故答案为：
35．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是 .
【答案】-2
【解析】由题意即可，
,
若,则且,即该数列单增，且,
此时若存在常数,使得恒成立，则必有.
若,则,该数列为常数列,即.
当时，显然有
综上所述,.
故答案为：