2024年高考数学二轮复习考点07比较大小(选填题11种考法)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习考点07比较大小(选填题11种考法)(原卷版+解析)，共80页。试卷主要包含了与特殊值比较大小，指数式比较大小，函数的性质比较大小，根据图像交点比较大小，作差作商比较大小，指对数切线比较大小，导数法之异构函数，三角函数比较大小等内容，欢迎下载使用。

考法一 与特殊值比较大小
【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（2023·西藏林芝·校考模拟预测）若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·陕西安康 ）设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·西藏拉萨 ）设，，则（ ）
A．B．C．D．
考法二 指数式比较大小
【例2-1】（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【例2-2】（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【例2-3】（2023·安徽淮南·统考一模）若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3.（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
考法三 函数的性质比较大小
【例3-1】（2022·江西）函数.若，，，则有（ ）
A．B．
C．D．
【例3-2】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1（2022·江苏 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河北沧州·统考三模）已知为奇函数，当时，，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
4.（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
考法四 导函数模型比较大小
【例4-1】（2022·四川遂宁 ）已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数的导数为，且为偶函数，，则不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【例4-3】（2022·吉林）（多选）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．0
C．>D．>
3．（2023湖南）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
考法五 根据图像交点比较大小
【例5】（2023秋·广东江门）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2023·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·北京）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考法六 导数法之同构函数
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（2023·全国·模拟预测）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1.（2022·山西吕梁）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·内蒙古 ）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3（2023·广西桂林·统考一模）已知、、，，，，则（ ）
A．B．C．D．
4.（2022·贵州毕节·三模（理））已知，，（为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考点七 作差作商比较大小
【例7-1】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1.（2023·云南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
4.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考点八 指对数切线比较大小
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1.（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
2.（2023·河南开封·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习），，，则的大小关系为（ ）.
A．B．
C．D．
考法九 导数法之异构函数
【例9】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）比较，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·四川·校联考一模）设，，，下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知，试比较的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
3（2023·山东烟台·校联考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考法十 三角函数比较大小
【例10-1】（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）设，则它们的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【例10-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习），，，，则四者的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
考法十一 一题多解
【例11】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·四川南充·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·陕西西安·校考三模）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）设,则三者的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
13．（2023秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习）已知 ，其中e是自然对数的底数，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，，，则p，q，r的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
18．（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
19．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023·湖北武汉·统考三模）设，，，，则a，b，c，d间的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
24．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
25．（2023·全国·高三专题练习）三者之间的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
26．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（参考数据）（ ）
A．B．C．D．
多选题
27．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）下列不等关系中判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）设，，，，则（ ）
A．a最小B．d最大C．D．
29．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
30．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
31．（2023秋·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，在时单调递减，且.若，，则下列正确的有（ ）
A．B．C．D．
32．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
填空题
35．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）下列不等式正确的有 .（写出正确的所有序号）
① ② ③ ④
36．（2023·全国·高三专题练习）将，，从小到大排列为 .
37．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的大小关系是 .
38．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为 .
39．（2023·全国·高三专题练习）设，则的大小关系是 .
40．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则之间的大小关系是 .（用“”连接）
41．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．若，，，则，，的大小关系为 ．（用符号“”连接）
42．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的大小关系
专题07 比较大小（选填题11种考法）
考法一 与特殊值比较大小
【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为在R上单调递增，且，
所以；
因为在R上单调递减，且，
所以；
因为在上单调递增，且，
所以．
综上所述，，
故选：A．
【例1-2】（2023·西藏林芝·校考模拟预测）若，，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由对数函数在上单调递增可知，，可得；
由对数函数在上单调递增可知，，可得；
由对数函数在上单调递增可知，，可得；
所以可得.
故选：B
【变式】
1．（2023·陕西安康 ）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，所以.故选：A
2．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，故.故答案为：C.
3．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
4．（2023·西藏拉萨 ）设，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，所以；
，所以；
，所以，则．故选：C.
考法二 指数式比较大小
【例2-1】（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由在R上递增，则，
由在上递增，则.所以.
故选：D
【例2-2】（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由单调递减可知：.
由单调递增可知：，所以，即，且.
由单调递减可知：，所以.
故选：D
【例2-3】（2023·安徽淮南·统考一模）若，，，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由已知可得，，，
由可得，，所以.
设，则，
因为，故，
所以即，
所以在上为增函数，又，，，又，所以.故选：B.
【变式】
1．（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
而在上单调递增，所以，即，
又，而，则，所以.故选：D.
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】在上单调递增，；
又在上单调递减，，，即；
，；
综上所述：.故选：A.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，可得，从而可得，再由在上单调递增，即可得出选项.
【详解】构造函数，则，
当时，，故在上单调递减，
所以，所以，所以，，
因为在上单调递增，所以，同理，
所以，故选：B
考法三 函数的性质比较大小
【例3-1】（2022·江西）函数.若，，，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为函数，所以，
当时，，所以在上递增，
因为，所以，
所以，故选：
【例3-2】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，定义域关于原点对称，
，
所以为上的偶函数，
当时,，设，
则，，，
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增，
又因为,,
又因为,
因为,，所以,
所以，即,
所以,
所以,即.故选：D.
【变式】
1（2022·江苏 ）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，，即，
所以，又，
所以，而递增，
故故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
3．（2023·河北沧州·统考三模）已知为奇函数，当时，，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
则在上单调递减，在上单调递增.
且，所以在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
则
所以.
故选：A
4.（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，，为偶函数，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，得的图象关于直线对称，
且，由得，
所以，即，则，
所以函数的一个周期为6，则，
当时，，又的图象关于直线对称，
所以，
由得，的图象关于点对称，
又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，
所以，所以.故选：A
考法四 导函数模型比较大小
【例4-1】（2022·四川遂宁 ）已知定义在R上的函数满足：函数为奇函数，且当时，成立（为的导函数），若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
因为当时，成立，所以，为递增函数，
又因为函数为奇函数，可得，
则，所以函数为偶函数，
所以函数在为单调递减函数，
由，，，
因为，所以，即.故选：B
【例4-2】（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数的导数为，且为偶函数，，则不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则，
可得在上递增，又为偶函数，
则，，
，，
由，可得，
即有.
故选：B.
【例4-3】（2022·吉林）（多选）已知函数是偶函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】构造函数，其中，则，
∵对于任意的满足，
∴ 当时，，则函数在上单调递增，
又函数是偶函数，，∴，
∴在上为偶函数，
∴函数在上单调递减．
∵，则，即，即，化简得，A正确；
同理可知，即，即，化简得，B正确；
，且即，即，化简得，C错误；
，且，即，即，化简得，D正确．故选：ABD.
【变式】
1．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；故选：C.
2．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（ ）
A．0
C．>D．>
【答案】CD
【解析】令，则，
因为，所以在上恒成立，因此函数在上单调递减，故，即，即，故A错；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D正确.
故选：CD
3．（2023湖南）设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设函数，则，
因为，所以，
所以在上是增函数，
，，，
所以，故选：A
考法五 根据图像交点比较大小
【例5】（2023秋·广东江门）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数，，的零点，
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得.故选：B
【变式】
1．（2023·天津和平·统考三模）已知满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知：把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
因为，，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，与，易知.
所以.
故选：B.
2．（2023秋·北京）已知，，满足，，，则，， 的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内作出
的图像
过点；过点；
过点；过点，
则与图像交点横坐标依次增大，
又与图像
交点横坐标分别为，则.
故选：C
3．（2023·全国·高三专题练习）设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知；
构造函数，因为函数、在上均为增函数，
所以，函数为上的增函数，且，，
因为，由零点存在定理可知.
因为，则，因此，.故选：B.
考法六 导数法之同构函数
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，，，
设，，则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，，，且，
可得，，所以.
故选：D.
【例6-2】（2023·全国·模拟预测）已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，，
令，则，
因为当时，单调递增，
所以，即，
令，则，
因为当时，，所以在上单调递增，
又因为且，所以，故选：A
【变式】
1.（2022·山西吕梁）已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由，所以，所以.故选：B.
2.（2022·内蒙古 ）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递增，
因为，，，
因为，所以，.
故选：B.
3（2023·广西桂林·统考一模）已知、、，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为、、，由可得，由可得，
由可得，
构造函数，其中，则，
当时，；当时，.
所以，函数的增区间为，减区间为，
因为，所以，，即，即，
因为、、，则、、，所以，，
因此，.
故选：A.
4.（2022·贵州毕节·三模（理））已知，，（为自然对数的底数），则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，，所以，
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增；
所以，，，
所以，故选：A.
考点七 作差作商比较大小
【例7-1】（2023·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
又，所以，所以，所以，故，
因为，
又，所以，所以，所以，又，所以，所以，
故选：A.
【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令得
令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，故
即，当且仅当时，等号成立，所以，
则，所以
因为，所以
令得，
令得令得
所以在上单调递增，在上单调递减，所以
所以即所以则
所以，故选：B.
【变式】
1.（2023·云南·校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
，
所以，，所以.故选：A
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
，故，
由于，所以，故，
因此，故选：B
3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
∵，利用三角函数线可得当时，
，∴
构造函数
∴，，即，
令
∴在上单调递增，即，
∴，∴，∴．
故选：A．
4.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
可得，
设，可得，所以单调递减，
则，即，所以；
又由，
设函数，可得，
当时，，单调递增，
所以，即，所以，
所以.故选：C.
考点八 指对数切线比较大小
【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设，，所以，
，所以单调递增，
则，
所以，则；
，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以，故，故.
故选：C.
【变式】
1.（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设函数,则，
当时，，递减；当时，，递增，
故，即，当时取等号；
∵，∴，∴，
由以上分析可知，则时，有成立，当时取等号，，
即，当时取等号，∴，∴，
故，
故选：B.
2.（2023·河南开封·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，，，
设，
所以，
所以在上单调递增，所以，即.
所以，即.
设，
则，
所以在上单调递减，所以，即.
所以，即.
所以.
故选:C.
3．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习），，，则的大小关系为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
则在上单调递增，故，则．
令，则，
则在上单调递增，故，则．
所以，即；
令，则，
因为，所以，则，故，
所以在上单调递增，则，即，
易知，所以，则，即；
综上：.
故选：B.
考法九 导数法之异构函数
【例9】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）比较，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
所以，，
所以，，
令，其中，
则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，
所以，，即，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，则，则，
所以，，
综上所述，.
故选：D.
【变式】
1．（2023·四川·校联考一模）设，，，下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
设，则构造函数，有，则单调递增，且，所以；
再构造函数，有，则单调递增，且，所以，
综上：．
故选：D
2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知，试比较的大小关系（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，
当时，，单调递减，
所以有，
因为，
所以，
设，
设，
当时，，函数单调递减，
因为，
所以，
因为函数是正实数集上的增函数，
故，
即，所以，
故选：C
3（2023·山东烟台·校联考三模）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，
当时，，且，
所以当时，，单调递减，
所以，即，则.
令，则，当，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，即，所以.
综上，
故选：B.
考法十 三角函数比较大小
【例10-1】（2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习）设，则它们的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
，
在上为增函数，，
.
故选：C.
【例10-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】方法一：因为，
所以，
设，
则
设，则，
则在单调递增，，即，
所以在单调递增，，
所以，即．
因为，所以，
设，
设，
则在单调递减，，则，
记可得，
所以，
所以．因此有．
故选：A.
方法二：因为，又，
设，
则，
所以函数在上单调递增，又，
所以当时，，故，
所以，
则．
因为，所以，
设，
设，
则在单调递减，
所以当时，，又，
所以当时，，
所以，
所以，
所以．因此有．
故选：A.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知，，，，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令函数，求导得，函数在上递减，
当时，，则，于是，即，
令函数，求导得，函数在上递增，
当时，，则，于是，即，
当时，，，则，
即，而，于是，即，
所以a，b，c，d的大小关系是，C正确.
故选：C
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得：
∵，利用三角函数线可得当时，
，∴
构造函数
∴，，即，
令
∴在上单调递增，即，
∴，∴，∴．
故选：A．
3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习），，，，则四者的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，，，.
考查，，令可得，易得当时，单调递增，故，即，.故，即.
考查，，则，故，为增函数，，即.
故当时，有，，，，即，.
构造函数，，
令，，
当时，，单调递增，
又，所以，又，
所以，在成立，所以，即.
再考查.
令，则，故在定义域上单调递减，，故，
令，，则，对求导有，故为增函数，故，故为增函数，，则，故当时，.
又，故当时，故.
故，，则，即
综上有.
故选：D
考法十一 一题多解
【例11】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，故，即，故．故选：B．
2．（2023·四川南充·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在上递增，且，所以，即，
又在上递减，所以，所以.故选：D
3．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，
，，
故选：A
4．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意：，，故．
又，即，所以，即，
因为，所以．
因为，故，即，
所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
5．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因函数在上单调递增，在上单调递减，则，，.
又函数在上单调递增，则，又，则.
综上，.
故选：A
6．（2023·全国·模拟预测）已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】∵，
，∴，
，∵，
且在R上为增函数，∴，即，
故选：C．
7．（2023·陕西西安·校考三模）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，其中，则，
因为函数、在上均为减函数，
故函数在上为减函数，则，
所以，函数在上为减函数，
所以，，即.
故选：B.
8．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，，，则，
令，则
所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；
所以，即，故，则；
因为，所以，
因为，所以，所以
综上，.
故选：B.
9．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
，
，
因为，
所以．
故选：B.
10．（2023春·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）设,则三者的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解:因为在上单调递减,
所以,
因为在上单调递增,
所以,即,
即,即,
因为,所以,
即,即,
所以.
故选:D
11．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由幂、指数函数性质知：，，
对于、，等号两边取对得、，
所以、，
令且，则，即递减，
所以，即，故，
综上，.
故选：A
12．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于a，由，则，故；
对于b，，故；
对于c，由于，则，从而可得
同理，，则，从而可得
所以有
综上，
故选：A
13．（2023秋·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考阶段练习）已知 ，其中e是自然对数的底数，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对两边取对数得，
令，则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，所以，
所以在上单调递减.
又，且，
所以，所以，
故选：D.
14．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）已知，，，则p，q，r的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，
因为，即，
所以，即，
又因为，
所以.
故选：D.
15．（2023·山西大同·统考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
设，函数定义域为，
则，
故在上为增函数，有，即，
所以，故.
设，函数定义域为，则，
，解得；，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，取最大值，所以，即，时等号成立，
所以，即，
又，所以.
故选：D．
16．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知，，，其中为自然对数的底数，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，设（其中），
有，因为，所以，
可知函数在单调递增，
可得，即，
所以有，即．
令（其中），有
（当且仅当时等号成立），
可知函数在单调递增，
有，即，
所以有，即．
故有．
故选：A．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，
，
令，则，，
当时，，当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以，即，；
，
令，，
因为，所以，所以在上为减函数，
又，所以，即，，
综上所述：.
故选：D
18．（2024秋·新疆·高三校联考阶段练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，所以；
因为，，
即，所以；
设，则，
所以当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即，当且仅当时等号成立，
同理，即，所以当且仅当时等号成立，
故，所以，从而，
综上．．
故选：B.
19．（2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习）实数分别满足，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，则.
因为,所以.
令，则，
当时，则在上单调增；
当时，则在上单调减.
所以，即.
所以且，
则可得.
因为,所以
令,则,
当时, ,所以在单调减,
所以可得,即,
又,所以,
所以.
故选:B.
20．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设，，则，
，，，故，在上单调递增，
故，当时，恒成立，
令，则，即；
设，，则，
又，
故 在上单调递减，，
故，则函数在上单调递增，即，
故当时，恒成立，
令，则，即，
综上所述：.
故选：C
21．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）设，，，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，则，
令且，则为减函数，
所以，而，故，
故在上递增，则，即在上恒成立，
所以，即，
由，
令且，则，
所以在上递增，则，即在上恒成立，
所以，即.
综上，.
故选：C
22．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
∵，
构造函数，，
令，则，
∴在上单减，
∴，
故，所以在上单减，
∴，
故.
故选：D.
23．（2023·湖北武汉·统考三模）设，，，，则a，b，c，d间的大小关系为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则在上恒成立，
故在上单调递增，，即在上恒成立，
故，故，即，即，
，
设，则恒成立，函数在上单调递增，
，故在上恒成立，
，故.
设，，，
画出和的图像，如图所示：
故时，，即，即.
综上所述：
故选：B
24．（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，，则，当时，，
所以在上单调递增，，
故，
令，，则在上恒成立，
故在单调递减，故，
所以，
令，，则，
故在上单调递减，
故，即，
构造，，则，
令，则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，又，故在恒成立，
故在上单调递增，又，故在恒成立，
故，即，，
构造，，
则，令，则，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，又，
故在上恒成立，故在上单调递减，
又，故在上恒成立，故在上单调递减，
故，即，即，
因为，故.
故选：C
25．（2023·全国·高三专题练习）三者之间的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】构造函数，.
则，令，.
则，再令，.
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则，得，
即；
构造函数，，则，
得在上单调递增，则，
即；
构造函数，，则，
令，，则，
故在上单调递增，则，
故在上单调递增，则，
即.
综上，.
故选：A
26．（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系是（参考数据）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，．
令，，
当时，，单调递减．
又，
∴当时，，单调递增．
∴，即，，
∴，则，
令，则，
令，则，
当时，，单调递减．
又，
所以当时，，所以在上单调递增，
∴，即，
∴，即，则，
综上所述．
故选：．
多选题
27．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）下列不等关系中判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，，故选项正确；
对于B，，即证，
设，令，得，
①当时，，则函数单调递增，
②当时，，则函数单调递减，
，故选项B正确；
对于C，易知，，
，故选项错误；
对于D，，
由选项B可知，即，故选项D正确，
故选：ABD.
28．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）设，，，，则（ ）
A．a最小B．d最大C．D．
【答案】BCD
【解析】令，则，，
在上为减函数，而，，
所以在上，即单调递增，，所以.
再令，
设，得，
在区间上成立，
函数在上单调递增，，所以，.
再令，则，，
当时，，则，即，所以在单调递减，
所以，即，所以.
因此4个数的大小关系是，所以选项A错误，选项BCD都正确.
故选：BCD
29．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】令，则．
令，则恒成立，故在上单调递减．
因为，所以在上恒成立，从而在上单调递减，
故，即；
令，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
故，即；
综上：.
故选：ABD．
30．（2023秋·河南焦作·高三博爱县第一中学校考阶段练习）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】因为，所以，又，
所以，
构造函数，，则，
所以在上为增函数，
因为，所以，即，即，故A正确；
因为，所以，即，故，故B错误；
因为，所以，即，故，故C错误；
因为，所以，即，故，故D正确.
故选：AD
31．（2023秋·吉林通化·高三校考阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，在时单调递减，且.若，，则下列正确的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以函数图象关于纵轴对称，因此函数是偶函数，
因为时.单调递减，
所以时.单调递增，
，
因为，函数是偶函数，
所以，
因为，
所以因此选项A正确，B不正确，
由，因此选项C正确，
因为，而，所以，因此选项D正确，
故选：ACD
32．（2023·全国·高三专题练习）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】记则，所以在单调递增，
故，
记，则，
令，解得，故在上单调递减，
故,即，即，
故，
记，
则，
故当时，，故在上是增函数，
故，即，故，
故，
故选：BD
33．（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】令，则，
当时，，所以在单调递增，
所以，则，
所以，所以，
令，则，
所以在单调递减，
所以，则，即，所以，
所以
故选：ABC.
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】函数，所以.
令得，
当时，，在区间上单调递增.
当时，，在区间上单调递减.
对于A，要证，只需证，只需证
因为， ，所以，即证，所以A正确.
对于B，，所以B错误.
对于C，由A知，由函数在区间上单调递减可知.
对于D，，因为在区间上单调递增，所以；，所以，所以D正确.
故选：ACD.
填空题
35．（2023秋·江苏南京·高三南京市第九中学校考阶段练习）下列不等式正确的有 .（写出正确的所有序号）
① ② ③ ④
【答案】①②
【解析】构造函数，则，
由，可得，由，可得，
所以在递增，递减，
对于①：∵，则，即，∴，①正确；
对于②：∵，则，即，
∴，②正确；
对于③：∵，则，即，
∴，③错误；
对于④：∵，则，即，∴，④错误.
故答案为：①②.
36．（2023·全国·高三专题练习）将，，从小到大排列为 .
【答案】
【解析】构建，则当内恒成立，
则在上单调递减，
可得，即，可得，即；
构建，则当内恒成立，
则在上单调递增，可得，
即，可得，
整理得，即；
综上所述：.
故答案为：.
37．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的大小关系是 .
【答案】
【解析】根据题意，设，则其导数.
令，
故在区间上，恒成立，则有，即恒成立
在上恒成立，函数在上单调递减，
则有，即
又，而，
，即
故答案为：
38．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学校考阶段练习）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增.若，，，则a，b，c的大小关系为 .
【答案】
【解析】因为是定义在R上的偶函数，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
即，
因为在上单调递增，
所以，
即，
故答案为：
39．（2023·全国·高三专题练习）设，则的大小关系是 .
【答案】
【解析】由已知可得，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，所以，
设，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，所以，
所以
故答案为：.
40．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则之间的大小关系是 .（用“”连接）
【答案】
【解析】函数的定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，
因为函数在上递增，
所以函数在上递增，
则，
因为，所以，
，
所以，
所以，
即.
故答案为：.
41．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足，且对任意的，，当时，都有成立．若，，，则，，的大小关系为 ．（用符号“”连接）
【答案】．
【解析】因为，
所以，
所以函数在上单调递减，
因为函数满足，所以
因为即，所以，
又，，
所以，
所以即.
故答案为：.
42．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的大小关系
【答案】
【解析】令，所以是偶函数；
当时，，在上是增函数，
将图像向右平移一个单位得到图像，
所以关于直线对称，且在单调递增.
∵，，，
∴，
∴，
又∵关于直线对称，∴，
∴.
故答案为：