2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第22讲一网打尽外接球(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第22讲一网打尽外接球(原卷版+解析)，共49页。
【典例分析】
三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．16πB．20πC．D．24π
【变式演练】
1.四棱锥中，底面为矩形，体积为，若平面，且，则四棱锥的外接球体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2.一个多面体的三视图和直观图如图所示，是的中点，一只小蜜蜂在几何体的外接球内自由飞翔，则它飞入四面体内的概率为（ ）
A．B．C．D．
在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________
【题型二】 长方体模板2：构造长方体3个模型
【典例分析】
已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为______.
【变式演练】
1.四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.四面体中，，，，则该四面体的外接球表面积为__________．
3.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为
A．B．C．D．
【题型三】 直棱柱模板：线面垂直（重点）
【典例分析】
在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（ ）.
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，若三棱锥的最长棱为，直线SB与平面ABC所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.已知，，，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）．
A．B．C．D．
3.已知三棱锥中，，，平面平面、若三棱锥的外接球面积为，则三棱锥的体积最大值为__________．
【题型四】 垂面型
【典例分析】
在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为_________.
【变式演练】
1.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
2.已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3.在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【题型五】 万能模板：外心垂线相交型（难点）
【典例分析】
已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.
【变式演练】
1.如图，二面角的平面角的大小为，，，，，则四面体的外接球表面积为________．
2.在三棱锥中，，，，二面角的平面角大小为，则此三棱锥的外接球表面积为________.
3.已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是________．
【题型六】 特殊几何体：正三棱锥和正四面体
【典例分析】
已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知正三棱锥中，为的中点，，，则（ ）.
A．B．
C．此正三棱锥的内切球半径为D．此正三棱锥的外接球表面积
2.在四棱锥中，若，四棱锥外接球表面积为__________.
3.已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则
A． B． C． D．
【题型七】 四棱锥
【典例分析】
已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面，且，则四棱锥的外接球体积最小值是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】 组合体外接球
【典例分析】
如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
【变式演练】
1.已知三角形的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，，分别以，，所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为___．
【题型九】 球定义法
【典例分析】
如图，直三棱柱，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC.且AC=AA1=2，E，F分别是AC，A1C1的中点，D为AA1的中点，则四棱锥D-BB1FE的外接球表面积为___________.
【变式演练】
1.如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
2.在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是________.
3.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.
【题型十】 圆锥与圆柱外接球
【典例分析】
已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
【变式演练】
1.设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为___________.
2.知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
3.已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.
【课后练习】
1.正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知菱形ABCD的边长为2，.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为___________.
3.四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
4.已知三棱锥过三棱锥外接球心，点是线段的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥体积为B．截面面积的最小值是
C．三棱锥体积为D．截面面积的最小值是
5.如图，将正四棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是（ ）
①平面；
②平面；
③若在同一球面上，则也在该球面上；
④若该“倒影四棱锥”存在外接球，则
A．①③B．②④C．①②③D．①②④
6.在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．
7.在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.
8.已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
10. “阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体有外接球，且它的的表面积为
D．该半正多面体有内切球，且它的的表面积为
第22讲 外接球 10类
【题型一】长方体模板1：三线垂直型
【典例分析】
三棱锥中，平面ABC，且，且，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．16πB．20πC．D．24π
【答案】D
【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线，则得到长方体外接球的直径，利用球的表面积公式求解即可．
解：因为三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为PA＝AB＝2，，
则长方体的长宽高分别为4，2，2，所以三棱锥P﹣ABC外接球的半径，
故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S＝4πR2＝24π．故选：D．
【变式演练】
1.四棱锥中，底面为矩形，体积为，若平面，且，则四棱锥的外接球体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设底面长和宽分别为,利用四棱锥的体积求得，结合基本不等式求得外接球直径的最小值，由此求得外接球体积的最小值.
【详解】设底面长和宽分别为、，，即，四棱锥外接球的直径，当且仅当时，上式取等号，即，
故四棱锥的外接球的体积最小值为.故选：D
2.一个多面体的三视图和直观图如图所示，是的中点，一只小蜜蜂在几何体的外接球内自由飞翔，则它飞入四面体内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三视图可知该几何体为直三棱柱，且底面为等腰直角三角形，所求概率为四面体的体与三棱柱外接球的体积比
【详解】
由三视图可知该几何体为直三棱柱，且底面为等腰直角三角形，侧面为边长为的正方形，侧面为矩形
所以三棱柱外接球的球心为矩形对角线的交点，则外接球的直径为，所以半径，所以三棱柱外接球的体积
因为，
所以它飞入四面体内的概率为,故选：D
3.在三棱锥中，点在平面中的投影是的垂心，若是等腰直角三角形且，，则三棱锥的外接球表面积为___________
【答案】
【分析】
设的垂心为，由平面可证明，，，结合推导出，，两两互相垂直，则外接球半径满足，求出代入求解即可得出答案．
【详解】
解：设的垂心为，连接，则平面，如图所示：
由垂心知，，又，，则平面，又平面，所以，
又，，所以平面，又平面，得，
同理，则，
所以，，两两互相垂直，设三棱锥的外接球半径为，
则，所以，球的表面积为．故答案为：.
【题型二】 长方体模板2：构造长方体3个模型
【典例分析】
已知在四面体中，，则四面体的外接球表面积为______.
【答案】
【分析】
把四面体补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积.
【详解】
对于四面体中，因为，
所以可以把四面体还原为一个长方体，如图：
设从同一个顶点出发的三条边长分别为x、y、z，则有：
，解得：点A、B、C、D均为长、宽、高分别为，，的长方体的顶点，
且四面体的外接球即为该长方体的外接球，于是长方体的体对角线即为外接球的直径，
不妨设外接球的半径为，∴， ∴外接球的表面积为.故答案为：.
【变式演练】
1.四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积.
【详解】
如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，
在中，，，则
又与夹角为，则，在中，
，则四面体的外接球即为长方体的外接球，
则外接球半径为故外接球表面积为故答案为：D.
2.四面体中，，，，则该四面体的外接球表面积为__________．
【答案】
【分析】
利用勾股定理证明直角三角形，得的中点就是外接球的球心，是球的直径．从而易得球的表面积．
【详解】
由题意，，，则，
所以，，同理，
取中点，则到四点的距离相等，即为外接球的球心，
所以球半径为，球表面积为．
故答案为：．
3.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.
【详解】根据三视图还原成几何体如图，
它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，
四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，
所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.
【题型三】 直棱柱模板：线面垂直（重点）
【典例分析】
在三棱锥中，.平面平面，若球O是三棱锥的外接球，则球O的表面积为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据已知条件求得外接球的半径，由此求得球的表面积.
【详解】设分别是的中点，由于，所以，由于平面平面且交线为，所以平面，由于，所以是的外心，所以球心在过且与平面垂直的直线上，
，，，过作，且交点为，
由于，所以四边形是矩形，则设外接球的半径为，所以，解得，.所以外接球的表面积为.故选：D
【变式演练】
1.已知三棱锥中，为等边三角形，平面ABC，若三棱锥的最长棱为，直线SB与平面ABC所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由题意画出图形，求出底面边长即，进一步求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
解：如图，在三棱锥中，为等边三角形，平面，则为最长棱为，
又直线与平面所成角的余弦值为，，
则，．
是边长为1的等边三角形，设的外心为，则，
设三棱锥的外接球的球心为，连接，则平面，．
三棱锥的外接球的半径为．
三棱锥的外接球表面积为．故选：B．
2.已知，，，将它沿中线折起得四面体，使得此时，则四面体的外接球表面积为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由题意可得的外接圆的半径，将此三棱锥放在直三棱柱中，由外接球的半径，底面外接圆的半径和高的一半构成直角三角形可得外接球的半径，进而求出球的表面积.
【详解】
因为，，将它沿高翻折，使得此时，
所以可得，，
在中，由余弦定理可得，所以，
设的外接圆的半径，则，所以，因为，，，所以面，将此三棱锥放在直棱柱中，设其外接球的半径为，
则，所以外接球的表面积，
故选：C.
3.已知三棱锥中，，，平面平面、若三棱锥的外接球面积为，则三棱锥的体积最大值为__________．
【答案】．
【分析】
画出图形分析可得，当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，
再根据题意确定球心的位置，进而求得三棱锥的高即可
【详解】
解：如图，分别取、的中点、，连接，则为三角形的外心，当到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时，即，由平面平面，得平面，
设为的外心，为三棱锥的外接球的球心，
由球的性质可知平面，平面，则四边形为矩形，
由三棱锥的外接球面积为，得，，
又，∴．故答案为：．
【题型四】 垂面型
【典例分析】
在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为_________.
【答案】
【分析】设中点为，可证明，设和的外心分别为和，过和分别作两个平面的垂线交于点即为三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径的长，到平面的距离即可求解.
【详解】设中点为，的外心为，的外心为，过点作面的垂线，过点作直线面的垂线，
两条垂线的交点即为三棱锥外接球的球心，因为和都是边长为的正三角形，可得，又，所以，所以，又因为，，所以面，因为平面，所以平面平面，且，所以四边形是边长为的正方形，所以外接球半径，到平面的距离，故答案为：.
【变式演练】
1.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
还原后的几何体如图所示，确定出球心的位置可求外接球的体积.
【详解】
根据三视图可得原几何体如图所示，且平面，，为的中点，四边形为正方形，其边长为4.设为正方形的中心，为的外心，
则外接球的球心满足平面，平面，
所以，又平面，故，同理
所以四边形为矩形.在正方形中，，在中，，故，
故外接球半径为，故外接球的表面积为，故选：C.
解法二：本题还可以换个角度看，是线面垂直型,C-PAB，计算可参考“直棱柱模板”
2.已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由题意画出图形分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，结合已知由，求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求.
【详解】如图，
由已知可得，与均为等边三角形，取中点，连接，，则，
∵平面平面，则平面，分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由与均为边长为的等边三角形，
可得，，，∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.故选：D.
3.在四面体中，三角形为等边三角形，边长为，，，，则四面体外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据几何体的棱长关系及线面关系确定出球心位置，然后解出半径，得出外接球表面积.
【详解】
如图所示，取的中点为,取中点为点，连接.因为,且点为的中点，则，
又，，，则，因为//,所以， 所以平面，则，
又因为, 中点为点,则 ，所以平面,所以球心位于上.
设球心位点，半径为,则 ,由勾股定理得：，
则 ，解得，故外接球的表面积为.故选：D.
【题型五】 万能模板：外心垂线相交型（难点）
【典例分析】
已知菱形边长为3，，为对角线上一点，.将沿翻折到的位置，记为且二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的半径为______；过作平面与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______.
【答案】
【分析】
（1）过的重心作垂线，垂线的交点即为球心，再根据已知线段长度求解出球的半径；
（2）首先确定出当截面面积最小时对应的与截面的位置关系，再根据线段长度求解出截面圆的面积.
【详解】
因为且四边形为菱形，所以均为等边三角形，
取的重心为，过作平面、平面的垂线，且垂线交于一点，
此时即为三棱锥的外接球球心，如下图所示：
记，连接，因为二面角的大小为，
且，所以二面角的平面角为，
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，又，所以，
所以三棱锥的外接球的半径为；
当截面面积取最小值时，此时截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为，外接球的半径为，
又因为且，所以，
所以，所以此时截面面积为.故答案为：；.
【变式演练】
1.如图，二面角的平面角的大小为，，，，，则四面体的外接球表面积为________．
【答案】
【分析】
运用余弦定理求得，再运用正弦定理求得的外接圆的半径，同理求得的外接圆的半径为，则，则为二面角的平面角，运用余弦定义求得，设四面体的外接球的球心为，球半径为，运用正弦定理和勾股定理可求得四面体的外接球的半径，从而可得答案.
【详解】
在中，，，所以，
设的外接圆的半径为，则，所以，
在中，，，，所以，
设的外接圆的半径为，则，所以，
又作，所以为二面角的平面角，即，
所以，，所以，
设四面体的外接球的球心为，球半径为，则，
所以，所以四面体的外接球表面积为，
故答案为：.
2.在三棱锥中，，，，二面角的平面角大小为，则此三棱锥的外接球表面积为________.
【答案】
【分析】
由题意可得，三角形为等边三角形，取中点，中点，连接，，可得平面．则为二面角的平面角等于，得到平面平面，平面平面，可知为的外心，设为的外心，分别过、作平面、的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心，由四点、、、四点共圆求得，进一步求出三棱锥外接球的半径，再由球的表面积公式求解．
【详解】如图，由，，，得，则，三角形为等边三角形，
取中点，中点，连接，，可得，，又，得平面．
则为二面角的平面角等于，而平面，平面，平面平面，平面平面，为的外心，设为的外心，分别过、作平面、的垂线，相交于，则为三棱锥的外接球的球心．四点、、、四点共圆，，
，则为等边三角形，．则三棱锥外接球的半径为．此三棱锥的外接球表面积为．故答案为：．
3.已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，PA＝PB＝PC＝，CA＝6，AB＝10，BC＝8，则球O的表面积是________．
【答案】
【分析】由题意画出图形，可得底面为直角三角形，设中点为，连接，则三棱锥外接球的球心在上，利用勾股定理求得外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
解：如图，
，，，，可得，取的中点，则为三角形的外心，连接，
，为在底面三角形的射影，
设三棱锥的外接球的球心为，则在上，设球的半径为，可得，解得，
球的表面积为．故答案为：．
【题型六】 特殊几何体：正三棱锥和正四面体
【典例分析】
已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
设的中心为，球的半径为，连接，，，，首先在中可得，解出，然后求出，然后过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，然后可得答案.
【详解】如图，设的中心为，球的半径为，连接，，，，
则，.
在中，，解得，则，由，得.
在中，.所以.
过点作球的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为，则最小面积为.当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为故选：C
【变式演练】
1.已知正三棱锥中，为的中点，，，则（ ）.
A．B．
C．此正三棱锥的内切球半径为D．此正三棱锥的外接球表面积
【答案】ABC
【分析】
由题意画出图形，由直线与平面垂直的判定定理可得平面，可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，再由的长度求出侧棱长，然后逐一分析四个选项得出答案.
【详解】
设正三棱锥的底面中心为，连接，则平面，连接并延长交于，
则，，又，，平面，可得，，
由三棱锥为正三棱锥，可得，故A正确；
设，在中，，解得，，故B正确；
正三棱锥的表面积为，设三棱锥的内切球半径为，
则，解得，故C正确；
由割补法可得正三棱锥外接球半径，外接球的表面积为，故D错误.
故选：ABC
2.在四棱锥中，若，四棱锥外接球表面积为__________.
【答案】
【分析】
根据题意，四棱锥的外接球与三棱锥的外接球为同一个，三棱锥为正四面体，进而构造正方体，利用正方体求解即可.
【详解】因为，∠所以，即四边形四点共圆，
四棱锥的外接球与三棱锥的外接球为同一个，又，，所以三棱锥为正四面体，如图，构造棱长为1的正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球，易求得外接球半径，所以外接球表面积.故答案为：
3.已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值.
【详解】
如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中，
，
，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A.
【题型七】 四棱锥
【典例分析】
已知四棱锥的底面是矩形，其中，，面面，，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得外接球的半径，由此求得外接球的表面积.
【详解】设交于，是的中点，是三角形的外心.
由于面面，是它们的交线，，四边形是矩形，
所以，所以平面，平面，，
是直线与所成角，，，所以，
所以三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，则，
设外接球球心为，则外接球半径.
所以外接球的表面积为.故选：C
【变式演练】
1.如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，根据得到，从而得到四棱锥外接球的直径得到答案．
【详解】
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，，则，，，
于是，则，∴，四棱锥外接球直径为，故其表面积为．故选：B.
2.底面为矩形的四棱锥的体积为8，若平面，且，则四棱锥的外接球体积最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根基题意可知，该几何体的外接球即为以矩形为底，以为侧棱的长方体的外接球，再利用正方体外接球半径的计算方法和基本不等式求半径范围，再用球的体积公式求解即可.
【详解】设底面矩形的长和宽分别为、，由底面为矩形的四棱锥体积为8，是面得，，即，四棱锥的外接球半径为，
由四棱锥外接球的直径，当且仅当时，上式取等号，
即，故四棱锥的外接球体积最小值为．故选：C
【题型八】 组合体外接球
【典例分析】
如图几何体为一个圆柱和圆锥的组合体，圆锥的底面和圆柱的一个底面重合，圆锥的顶点为，圆柱的上、下底面的圆心分别为，，若该几何体有半径为1的外接球，且球心为，则不正确的是（ ）
A．如果圆锥的体积为圆柱体积的，则圆锥的体积为
B．
C．如果，则与重合．
D．如果，则圆柱的体积为．
【答案】C
【分析】
本题考查圆锥，圆柱，球的结构特征，圆锥和圆柱的体积公式，属于较难题目．
分析出球心O为线段的中点可分析A选项，得出过P，，做几何体的截面，从而可分析B选项，再根据圆锥，圆柱的体积公式分析C，D选项．
【详解】
解：如图几何体的外接球心为O，它的半径为1，圆锥的顶点为P，圆柱的上、下底面的圆心为，过做几何体的截面为五边形ABCPD，其中四边形ABCD为矩形，三角形CPD为等腰三角形，PC=PD.
O矩形的中心，为线段的中点，所以C错误；如果圆锥的体积为圆柱体积的，
则圆锥的体积为.所以A正确．
设圆锥的高为，圆柱的高为2h=，圆柱的上下底面的半径为r，
由题意，所以B正确；
如果，得
则圆柱的体积为，所以D正确．故选C．
【变式演练】
1.已知三角形的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，，分别以，，所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为，则下列关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
以直角三角形的三边所在的直线为旋转轴得到圆锥体，运用球的截面的性质和勾股定理、球的表面积公式，即可求解.
【详解】
设以，所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体圆锥，如图所示：
设球心为O，圆锥的底面圆心为，以为轴旋转得到的圆锥的底面半径为a，高为b，则，解得，所以，同理可得，
以所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为两个圆锥，如图所示，
底面半径为，高为c，可得其外接球的半径为，则，
所以，故选：D.
2.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为___．
【答案】
【分析】
如图，设该三棱锥的外接球圆心为,半径为r,设圆柱外接球的半径为R,先求出，OA=，再在直角三角形利用勾股定理得解.
【详解】
如图，设该三棱锥的外接球圆心为,半径为r,设圆柱外接球的半径为R,由题得,
所以.所以OA=.由题得，在直角三角形中，,所以.故答案为：
【题型九】 球定义法
【典例分析】
如图，直三棱柱，△ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC.且AC=AA1=2，E，F分别是AC，A1C1的中点，D为AA1的中点，则四棱锥D-BB1FE的外接球表面积为___________.
【答案】5π
【分析】
记BF，EB1的交点为O，取EF的中点G，连接OG，GD，OD,易证得平面BEFB1⊥平面ACC1A1,再根据集合关系得O即为四棱锥D-BB1FE的外接球的球心,进而求解即可得答案.
【详解】
记BF，EB1的交点为O，取EF的中点G，连接OG，GD，OD.∵直三棱柱中, E，F分别是AC，A1C1的中点，∴平面,∴,∵△ABC为等腰直角三角形,E是AC中点,
∴,∵,∴⊥平面 ∵平面BEFB1∴平面BEFB1⊥平面ACC1A1.
∵D为AA1的中点,AC=AA1=2,∴ OG⊥GD，且DG=1，，∴.
由矩形的性质知，令四棱锥D-BB1FE的外接球半径为R，则，
∴其表面积为.故答案为: 5π
【变式演练】
1.如图，已知正方形的边长为4，若将沿翻折到的位置，使得平面平面，分别为和的中点，则直线被四面体的外接球所截得的线段长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先取的中点，连接，，根据题意得到为四面体外接球的球心，且半径，再计算的长度得到，从而得到到的距离为1，再计算直线被四面体的外接球所截得的线段长即可.
【详解】
解法一：取的中点，连接，，如图所示：
因为，，
所以为四面体外接球的球心，且半径.因为，且为中点，所以.
平面平面，所以平面.过作，过作，连接，如图所示：在中，，，所以，同理，所以.在中，，所以在中，.
又因为，所以到的距离，
所以直线被球截得的线段长.故选：D
解法二：本题可以直接利用矩形对角线相等，所以在翻折过程中，总有OA=OB=OC=OD。故定球心为O处。
2.在三棱锥中，，底面是等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥的外接球表面积的最小值是________.
【答案】
【分析】
由条件可得是三棱锥的外接球的一条直径，设三棱锥底面边长和高分别为a，h.，根据体积公式可得，再由球心到底面的距离、求半径和底面外接圆半径的勾股关系，得到，进而得解.
【详解】
设三棱锥外接球的球心为O，三棱锥底面边长和高分别为a，h.。由，可知是三棱锥的外接球的一条直径，所以O为的中点，则球心到底面的距离为.底面的外接圆半径为r，则.
则，即.设三棱锥的外接球半径为R，
则，当且仅当，即时等号成立，
故三棱锥的外接球表面积为.故答案为：.
3.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为______.
【答案】
【分析】
首先设为刍童外接球的球心，，分别为矩形，的中心，由球的几何性质可知：，，三点共线，连接，，，，，再分别计算得到，，根据，即可得到答案.
【详解】
设为刍童外接球的球心，，分别为矩形，的中心，由球的几何性质可知：，，三点共线，连接，，，，，如图所示：
由题知：平面，平面，所以.因为，
设，在中，，因为，
在中，，设外接球的半径为，则，
所以，解得.所以，.故答案为：
【题型十】 圆锥与圆柱外接球
【典例分析】
已知球是圆锥的外接球，圆锥的母线长是底面半径的倍，且球的表面积为，则圆锥的侧面积为___________.
【答案】
【分析】
设圆锥的底面半径为，球的半径为，根据已知条件求出、，利用圆锥的侧面积公式可求得圆锥的侧面积.
【详解】
设，球的半径为，则，球的表面积为，得，
,
在中，，即，解得，
故圆锥的侧面积为.故答案为：.
【变式演练】
1.设圆锥的顶点为，为圆锥底面圆的直径，点为圆上的一点（异于、），若，三棱锥的外接球表面积为，则圆锥的体积为___________.
【答案】或
【分析】
计算出三棱锥的外接球的半径，利用勾股定理可求得圆锥的高，进而可求得该圆锥的体积.
【详解】
设圆锥的外接球球心为，则在直线上，
设球的半径为，则，解得.
由勾股定理得，即，可得，即，解得或.当时，圆锥的体积为；
当时，圆锥的体积为.故答案为：或.
2.知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径，再求出正三棱锥的外接球的半径为，即可求出结果．
【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：
则圆柱的高为，底面圆半径为，设圆柱的外接球半径为，则，
，解得，此时，，设正三棱锥的外接球的半径为，则球心到底面距离为，，由勾股定理得，解得，故.故选：A.
3.已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为.圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________.
【答案】
【分析】
根据题意画出正方体的对角截面,分析正方体的边长再计算外接球表面积即可.
【详解】如图所示,作出圆锥的一个轴截面,其中为母线, 为底面直径,
,是正方体的棱长,是正方体的上、下底面的对角线,
设正方体的棱长为,则,,
又,.故高.
依题意得,,即.故正方体的体对角线,即外接球的直径.故外接球表面积.故答案为：
【课后练习】
1.正方体的棱长为2，的中点分别是P，Q，直线与正方体的外接球O相交于M，N两点点G是球O上的动点则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
如图，设正方体外接球球O的半径为r，过球心O作，垂足为H，可得H为的中点，由已知数据可求得的长是定值，而点G是球O上的动点，所以当点G到的距离最大时，面积的面积最大，而点G到的最大距离为，从而利用三角形的面积公式可求得结果
【详解】
如图，设正方体外接球球O的半径为r，过球心O作，垂足为H，易知H为的中点．
因为正方体的棱长为2，所以，
所以，，所以．
因为点G是球O上的动点，所以点G到的最大距离为，故面积的最大值为．故选：A
2.已知菱形ABCD的边长为2，.现将菱形沿对角线AC折成空间几何体ABCD'.设空间几何体ABCD'的外接球为球O，若球O的表面积为8π，则二面角B﹣AC﹣D'的余弦值为___________.
【答案】
【分析】
先求出球的半径和，证明面，得到即为面角B﹣AC﹣D'的平面角，利用余弦定理求出二面角B﹣AC﹣D'的余弦值
【详解】
设,为三角形ABC外接圆的圆心，半径为r，外接球的球心为O，半径为R,则.
因为球O的表面积为8π，所以,解得：.
因为面ABC,所以.因为,所以在BM延长线上的投影长为.
所以为BD的中点，所以.在菱形ABCD中，,所以面,
所以即为面角B﹣AC﹣D'的平面角.由余弦定理得：
.故答案为：
3.四面体中，，且与所成角为，则该四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
把四面体放入符合条件的长方体中，四面体外接球即长方体外接球，从而求得半径，求出表面积.
【详解】
如图所示，把四面体放入符合条件的长方体中，
在中，，，则
又与夹角为，则，在中，
，则四面体的外接球即为长方体的外接球，
则外接球半径为故外接球表面积为故答案为：D.
4.已知三棱锥过三棱锥外接球心，点是线段的中点，过点作三棱锥外接球的截面，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥体积为B．截面面积的最小值是
C．三棱锥体积为D．截面面积的最小值是
【答案】A
【分析】
过点作三棱锥外接球的截面，当截面与垂直时.可得截面半径为，得到截面面积的最小值是，排除B、D，在中，由余弦定理求得，设过的截面圆圆心为，半径为，连接，在中由正弦定理求得，再在中，求得，得到三棱锥的高为，结合体积公式，即可求解.
【详解】
三棱锥外接球的球心为中点，，过点作三棱锥外接球的截面， 要使截面面积最小，当且仅当截面与垂直时，可得截面半径为，
则截面面积的最小值是，故B、D错误；
在中，由，
可得，
设过的截面圆圆心为，半径为，连接，则平面
在中由正弦定理，得，即，解得，
在中，由勾股定理得，
所以三棱锥的高为
故三棱锥体积为，所以A正确.
故选：A.
5.如图，将正四棱锥置于水平反射镜面上，得一“倒影四棱锥”.下列关于该“倒影四棱锥”的说法中，所有正确结论的编号是（ ）
①平面；
②平面；
③若在同一球面上，则也在该球面上；
④若该“倒影四棱锥”存在外接球，则
A．①③B．②④C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】
由题意四棱锥与四棱锥是两个相同的正四棱锥，根据对称性可判断②；由与全等，所以，从而可得可判断①；若正方形的外接圆不是球的大圆时，可判断③；若该“倒影四棱锥”存在外接球，根据对称性则正方形的外接圆是该球的大圆.所以此时球的球心为正方形的对角线的交点，可判断④.
【详解】
由题意四棱锥与四棱锥是两个相同的正四棱锥
连接相交于点，连接
由四棱锥为正四棱锥，则平面.
根据题意四棱锥为正四棱锥,所以平面.
均垂直于平面，所以三点共线.
所以平面,故②正确.
由，根据题意
所以与全等，所以
所以,平面,平面,
所以平面，故①正确.
当在同一球面上，若正方形的外接圆不是球的大圆时，
根据对称性，则点不在此球面上，故③不正确.
若该“倒影四棱锥”存在外接球，根据对称性则正方形的外接圆是该球的大圆.
所以此时球的球心为正方形的对角线的交点，即点,设
则，
所以,所以④正确.
故选：D
6.在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．
【答案】4
【分析】
取中点，连接，，再根据题意依次计算，进而得球的球心即为（与重合）
解：因为，，，所以，又因为，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，取中点，连接，。所以，，。所以平面，所以，
此时，， ，所以，
即球的球心球心即为（与重合），半径为.故答案为：.
7.在三棱锥中，，，点到底面的距离为，若三棱锥的外接球表面积为，则的长为__________.
【答案】
【分析】
平面,垂足为点，连接，由条件可知 是四边形外接圆的直径，并作出几何体外接球的球心，并且求出，根据同弦所对的圆周角相等，可知 ，求出的长.
【详解】
平面,垂足为点，连接， ，平面，平面 ，
，同理，是四边形外接圆的直径，取的中点，即是四边形外接圆的圆心，作平面，则过的中点作的垂线，交于点，则
，是三棱锥外接球的球心，，， ,
,，即底面外接圆的直径是2，，，
.故答案为：
8.已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先根据题意，判断出三棱锥外接球球心的位置，利用其表面积求得其半径的大小，之后在三角形中，利用勾股定理求得结果.
【详解】
根据题意，画出图形，
设且外接球球心为O，半径为R，根据题意，有，解得，
根据题意，有球心O为正三角形的中心，
因为，所以，所以正三角形的边长为，
，所以，因为平面平面BCD，所以，
所以，故选：C.
9.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先把三视图转化为几何体，进一步用球体的表面积公式进行求解．
【详解】
如图所示，
该几何体的外接球半径为，所以，，外接球的表面积为．选D.
10. “阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularslid)，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过三点的截面面积为
C．该半正多面体有外接球，且它的的表面积为
D．该半正多面体有内切球，且它的的表面积为
【答案】AC
【分析】
根据几何体的体积公式判断A，作出截面即可判断B，根据外接球为正四棱柱可以判断C，根据点到面的距离判断D；
【详解】解：该半多面体，是由棱长为2的正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥所得，
对于A：因为由正方体沿正方体各棱的中点截去8个三棱锥，所以该几何体的体积，故A正确；
过三点的截面为正六边形，所以，故B错误；
由已知根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，
，
，
该半正多面体的外接球的表面积，故C正确．
由已知根据该几何体的对称性可知，如果几何体存在内切球，则球心一定是正方体的中心，又正方体的中心到半正多面体的四边形的面的距离为，
又顶点到三角形面的距离，所以正方体的中心，到三角形面的距离，故几何体不存在内切球，即D错误；故选：AC