2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第25讲圆锥小题压轴九类(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学二轮复习全套培优微专题高考重难点题型归纳32讲第25讲圆锥小题压轴九类(原卷版+解析)，共44页。

【题型一】第一定义及其应用
【典例分析】已知椭圆，F1，F2为其焦点，平面内一点P满足PF2⊥F1F2，且，线段PF1，PF2分别交椭圆于点A，B，若，则=___
【变式演练】
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为16，则的最大值为______.
2．已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．
3．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为___．
【题型二】 第二定义及应用
【典例分析】 已知双曲线C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO,PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M,N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则C的离心率为__．
【变式演练】
1.如图，椭圆，圆 ，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为__________.
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。
3.设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是 ．
【题型三】第三定义及其应用
【典例分析】 已知椭圆的右焦点为,且离心率为，�ABC的三个顶点都在椭圆上，设�ABC三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________．
【变式演练】
1.设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为
A.B.C.D.
2.已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【题型四】焦点三角形与离心率
【典例分析】
已知，分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若且.延长交双曲线右支于点，则的面积等于________．
【变式演练】
1.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．
3.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
【题型五】定比分点
【典例分析】已知椭圆： 的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【变式演练】
1.设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为__________．
2.抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若BA=4BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为______．
3.直线过椭圆：（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
【题型六】焦点三角形与四心
【典例分析】已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则____．
【变式演练】
1..已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上的一点，点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M为ΔPF1F2的内心，且SΔPMF1=SΔPMF2+λSΔMF1F2，则λ的值为 ．
2.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|= ．
3.点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质
【典例分析】
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【变式演练】
1.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_______.
2.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型八】切线与切点弦
【典例分析】
过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
【变式演练】
1.两个长轴在轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若，分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线，，切点分别为，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3.过抛物线C:x2=4y的焦点F的直线l交C于A,B两点，在点A处的切线与x,y轴分别交于点M,N，若ΔMON的面积为12，则|AF|=_________________。
【题型九】多曲线
【典例分析】
已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【变式演练】
1.已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当取得最小值时，点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在一象限的公共点为，若直线斜率为，则双曲线离心率为______．
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线 的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点且，则椭圆的离心率为_____．
【课后练习】
1．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.
2．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点，AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点，若ΔPQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．233 D．322
3.椭圆的一个焦点为，过点的直线交椭圆于两点，点C是点关于原点的对称点.若，，则椭圆的离心率为__________．
4.已知两定点A（－1，0）和B（1，0）,动点在直线上移动，椭圆C
以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 ．
5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点．设直线AC、BC的斜率分别为k1、k2，当2k1k2+lnk1+lnk2最小时，双曲线的离心率为________________．
6.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
7.已知、是过抛物线（）的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为__________．
8.已知双曲线：的左，右顶点分别为，，点为双曲线
的左焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，其中点在第二象限，连接
交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为_______.
9.设抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，满足，已知为抛物线准线上任一点，当取得最小值时，的外接圆半径为______.
10.在等腰梯形中， ，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
11.过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．
12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
13.己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
第25讲 圆锥小题压轴9类
【题型一】第一定义及其应用
【典例分析】已知椭圆，F1，F2为其焦点，平面内一点P满足PF2⊥F1F2，且，线段PF1，PF2分别交椭圆于点A，B，若，则=___
【答案】
【详解】如图所示，由椭圆的方程可知，，又由，且，所以为等腰直角三角形，又由，所以点为线段的中点，则，且，在等腰直角中，因为，可得，
又由椭圆的定义可知，即，即，又由，所以，又因为，所以直线的方程为，联立方程组，解得，即，所以。
【提分秘籍】
1．三大曲线第一定义
椭圆第一定义：
双曲线第一定义：
抛物线定义：
2．解题思路
试题中，如果是椭圆和双曲线，则到一个焦点距离，可转化为到另一个焦点距离．
【变式演练】
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为16，则的最大值为______.
【答案】4
【详解】如图：
由的周长为16，所以的周长为32，AB是双曲线的通径，，
，可得，可得则，当且仅当，即时等号成立，故填.
2．已知抛物线的焦点为，直线与交于 ，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为____．
【答案】
【解析】
如图所示，设抛物线的准线L,做AQL，于点Q，BPL于点P，抛物线定义可设：|AF|=|AQ|=a，|BF|=|BP|=b。由勾股定理可知，，由梯形的中位线的性质可知，
，则：，当且解答a=b时等号成立，所以最小值为
3．设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为___．
【答案】15.
【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=4,c=3.∴F1(−3,0),F2(3,0)，如图所示，
由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PM|+|PF1|=|PM|+2a−|PF2|=10+(|PM|−|PF2|)⩽10+|MF2|==15，
则|PM|+|PF1|的最大值为15.故答案为：15.
【题型二】 第二定义及应用
【典例分析】 已知双曲线C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点.P是双曲线在第一象限上的点，直线PO,PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M,N.若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=60°，则C的离心率为__．
【答案】3
【解析】设P(t,y)，则由双曲线的定义可得PF1=4a,PF2=2a，又PF1=et+a,PF2=et−a，故t=3ae，依据双曲线的对称性可得MF2=PF1=4a,PF2=2a,∠MF2P=120∘，故在ΔMF2P中运用余弦定理可得MP=4a2+16a2−2×2a×4a(−12)=28a2=27a，又P(t,y)在双曲线上，故y2=b2(9e2−1)，则MP=2t2+y2=29a2−b2，所以29a2−b2=27a，即2a2=b2，也即2a2=c2−a2⇒e=3，应填答案3。
【提分秘籍】
椭圆双曲线曲线第二定义：
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e，即
2．焦半径公式：
椭圆焦半径：
双曲线焦半径：．，
抛物线焦半径：
3．焦半径范围
椭圆焦半径范围：
双曲线焦半径范围：．
抛物线焦半径范围：
4.解题技巧：
焦半径角度公式。其中，为焦半径与焦点轴所成的角。p为焦点到对应准线的距离
椭圆焦半径夹角公式：
双曲线焦半径左焦点夹角公式：．，
抛物线焦半径夹角公式：
【变式演练】
1.如图，椭圆，圆 ，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为__________.
【答案】8
【详解】设P点的坐标,因为P在椭圆上，所以，则，
因为，所以，又，则 ，
由对称性得=
.
2.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。
【解析】
设
3.设F1，F2为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是 ．
【答案】（1，3]
【解析】由定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴=．当且仅当，即||PF1|=2a时取得等号．
设P（x0，y0），（x0≤﹣a）依焦半径公式得：|PF1|=﹣e×x0﹣a=2a，∴又∵e＞1，故e∈（1，3]
答案：（1，3]．
【题型三】第三定义及其应用
【典例分析】 已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________．
【答案】
【解析】由题意可得，所以，设
，两式作差得，则，，同理可得，所以，填。
【提分秘籍】
第三定义，又叫中点弦定理
（1）AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
（2） AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
（3）AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则
2．扩展推论
（1）AB是椭圆的关于原点对称的两点，M椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则
（2）AB是椭圆的关于原点对称的两点，M椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则
【变式演练】
1.设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为
A.B.C.D.
【答案】D
【详解】设，由双曲线，则，设，则，可得，则，所以，所以，设，则，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，即当取得最小值时，，
所以双曲线的离心率为，故选D．
2.已知平行四边形内接于椭圆，且，斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意，关于原点对称，设，，，故选A.
3.在平面直角坐标系中，为坐标原点，、是双曲线上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为2，已知平面内存在两定点、，使得为定值，则该定值为________
【答案】
【解析】设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵点M，N在双曲线上，所以，，
故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），设k0M，kON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0MkON=2，∴y1y2-2 x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在双曲线2x2-y2=20上；
设该双曲线的左，右焦点为F1，F2，由双曲线的定义可推断出为定值，该定值为
【题型四】焦点三角形与离心率
【典例分析】
已知，分别是双曲线的左，右焦点，是双曲线上在第一象限内的点，若且.延长交双曲线右支于点，则的面积等于________．
【答案】4
【详解】由题意知，根据双曲线定义，所以，，所以.由图知，所以，为等腰三角形，又因为，所以，则为等腰直角三角形，所以.所以.
【提分秘籍】
1．焦点三角形
（1）焦点三角形面积
椭圆：
双曲线：
AB为过抛物线y2=2px焦点的弦，
2．顶角
（1）．椭圆顶角在短轴顶点处最大。
（2）双曲线顶角无最大最小
3．与余弦定理结合
(1)设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
(2)设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
【变式演练】
1.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】.
【详解】∵圆M与轴相切于焦点F，∴不妨设M(c,y),则(因为相切,则圆心与F的连线必垂直于x轴)M在椭圆上,则或(a2=b2+c2)，∴圆的半径为，过M作MN⊥y轴与N,则PN=NQ,MN=c，
PN,NQ均为半径,则△PQM为等腰三角形，∴PN=NQ=，∵∠PMQ为钝角,则∠PMN=∠QMN>45°，
即PN=NQ>MN=c所以得,即，得，a2−2c2+c2e2>2c2，
，e4−4e2+1>0(e2−2)2−3>0e2−2<−(02.已知双曲线的左、右焦点分别为，是右支上的一点，是的延长线上一点，且，若，则的离心率的取值范围是______________．
【答案】
详解：设，则，，
∴，即，
又即，得：
∴方程有大于的根∴
得，又∴故答案为：
3.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
【答案】
【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.
【题型五】定比分点
【典例分析】已知椭圆： 的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
因为，所以可设，由，得，即，因为在椭圆上，所以，即，即，即，即在区间上为增函数，所以，即椭圆的离心率的取值范围为.
【提分秘籍】
1．椭圆与双曲线焦点弦定比分点
过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴，双曲线是实轴）的夹角为
2．抛物线焦点弦的定比分点
3．焦点弦直线斜率
若直线斜率为k，
【变式演练】
1.设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为__________．
【答案】
详解：由可得，设，
过分别做准线的垂线，垂足为，由双曲线定义得，，过做垂直于垂足，
因为斜率为，所以在中，，可得 ，
即，解得 ，的离心率为，故答案为.
2.抛物线y2=4x，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若BA=4BF，则△OAB（O为坐标原点）的面积为______．
【答案】433
【详解】由题意可知：AF=3BF，结合焦半径公式有：p1−csα=3p1+csα，
解得：csα=12,α=π3，故直线AB的方程为：y=3(x−1)，与抛物线方程联立可得：3y2−43y−12=0，
则y1−y2=4332−4×(−4)=83，故△OAB的面积S=12×OF×y1−y2=12×1×83=433.
3.直线过椭圆：（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】椭圆的焦点在轴上，,，
故直线的方程为，即，直线（即）的斜率为，
过作的垂线，则为的中点，，
，是的中点，直线的斜率，，不妨令，
则，椭圆的离心率，故选D.
【题型六】焦点三角形与四心
【典例分析】已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则____．
【答案】【详解】设点A,B,焦点F(1,0),的重心坐标为,
由重心坐标公式可得,，即， ，
由抛物线的定义可得,由点在抛物线上可得，作差，化简得，代入弦长公式得|AB|=，
则，故答案为：
【提分秘籍】
1．三角形内心
（1）三角形内切圆半径，则椭圆焦点三角形内切圆
（2）双曲线焦点三角形内心在过定点所做实轴的垂线上。
2．解题思路
解析几何中，多考察内心。内心是角平分线交点，则可考虑面积等分法等技巧。
【变式演练】
1..已知点P为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右支上的一点，点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线的一条渐近线的斜率为7，若M为ΔPF1F2的内心，且SΔPMF1=SΔPMF2+λSΔMF1F2，则λ的值为 ．
【答案】24
试题分析：设内切圆半径为R，由题意知SΔPMF1−SΔPMF2=λSΔMF1F2，即12⋅|PF1|⋅R−12⋅|PF2|⋅R
=12⋅λ|F1F2|⋅R，即12⋅2a⋅R=12⋅2c⋅R,e=ca=1λ.又因为e2=1+(ba)2，所以1λ2=1+7=8,λ=24.
2.椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则|y1﹣y2|= ．
【答案】
解：由题意作图如下，，∵△ABF2的内切圆周长为π，∴△ABF2的内切圆的半径长r=，又∵△ABF2的周长l=4a=16，故S△ABF2=16×=4，且S△ABF2=|F1F2|×|y1﹣y2|=3|y1﹣y2|，
故|y1﹣y2|=，故答案为：．
3.点、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图所示，设的内切圆圆心为，内切圆与三边分别相切于点，根据圆的切线可知：，，，又根据双曲线定义 ，即，所以，即，又因为，所以，，所以点为右顶点，即圆心，
考虑点在无穷远时，直线的斜率趋近于，此时方程为，此时圆心到直线的距离为，解得，因此内切圆半径，所以选择A.
【题型七】共焦点的椭圆双曲线性质
【典例分析】
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，由椭圆和双曲线的定义得，解得.
代入，得，
即，，
即，，因此，.故选：B.
【提分秘籍】
共焦点椭圆双曲线
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点为，椭圆离心率为，双曲线为
1.
2.则P点坐标为
【变式演练】
1.已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则_______.
【答案】4
【解析】如图，设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长，由定义知
∴，，设，
由余弦定理得：，化简得：，
所以，故填4.
2.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
详解：设，∵，∴，
一方面，另一方面，
∴，，，，
∴，，当且仅当，即时等号成立，
∴所求最大值为．故选D．
3.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆方程中的定长为，双曲线方程中的定长为，由题意可得：
，解得：，在中应用余弦定理有：，整理可得：，则：，
结合取特殊值进行排除：取，此时，排除BD选项，
取，此时，排除C选项，本题选择A选项.
【题型八】切线与切点弦
【典例分析】
过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p的值是________．
【答案】1或2
【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝ (x－x1)，即y＝x－.又点M (2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x12－4x1－4p2＝0；同理有x22－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.
【提分秘籍】
1．切线
（1）设椭圆的点（不与长轴重合），则过点的切线的方程为：
（2）设双曲线的点（不与长轴重合），则过点的切线的方程为：
（3）设抛物线的点，则过点的切线的方程为：
2．切点弦
在形式上，和切线方程一致。
【变式演练】
1.两个长轴在轴上、中心在坐标原点且离心率相同的椭圆．若，分别为外层椭圆的左顶点和上顶点，分别向内层椭圆作切线，，切点分别为，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
设内椭圆方程为，外椭圆为，切线的方程为，联立，根据直线为椭圆的切线，由△，得到，同理得到，然后由两切线斜率之积等于求解.
【详解】
解：设内椭圆方程为，外椭圆为，
切线的方程为，
联立，
消去可得：，
因为直线为椭圆的切线，所以△，
化简可得：，
设直线的方程为：，同理可得，
因为两切线斜率之积等于，所以，
所以椭圆的离心率为．
故选：B．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点M，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
作于点，于点，可得，，根据求出和，结合双曲线定义可得的关系，从而得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
如图，作于点于点B，因为与圆相切，
所以，
在中，，所以．
又点M在双曲线上，由双曲线的定义可得：
所以，
整理得：，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故选C．
3.过抛物线C:x2=4y的焦点F的直线l交C于A,B两点，在点A处的切线与x,y轴分别交于点M,N，若ΔMON的面积为12，则|AF|=_________________。
【答案】2
【详解】由题意，焦点F0,1，设直线y=kx+1，不妨设A为左交点，Ax0,y0，则过A的切线为x0x=2y0+2y，则Mx02,0,N0,−y0，所以S=12⋅x02⋅−y0=12，解得x0=−2，则A−2,1，根据抛物线的定义可得AF=1+p2=1+1=2.
【题型九】多曲线
【典例分析】
已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN| ∴，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，
∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1， ∴P（2，1），
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．故选B．
【提分秘籍】
解题思路
椭圆、双曲线和抛物线的交点，要紧扣对应多曲线定义。涉及到解三角形，和求最值等等知识。
【变式演练】
1.已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，P是抛物线 上的动点，当取得最小值时，点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.
【答案】
【解析】
分析：由题意可知与抛物线相切时，取得最小值，求出此时点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求解其离心率．
详解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过向抛物线的准线作垂线，则，所以,
显然当直线与抛物线相切时，最小，即取得最小值，
设直线的方程为，代入可得，
令，可得，
不妨设在第一象限，则，所以，即，
因为在椭圆上，且为椭圆的焦点，
所以，解得或（舍去），
所以，所以离心率为．
2.已知双曲线的左、右焦点分别为，其中也是抛物线的焦点，与在一象限的公共点为，若直线斜率为，则双曲线离心率为______．
【答案】
【解析】是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，，
解得，所以抛物线的方程为；由,
如图，过作抛物线准线的垂线,垂足为，设，
则，
由，可得，在中， ,由余弦定理可得
,,又,故答案为.
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线 的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线的一个公共点且，则椭圆的离心率为_____．
【答案】或
【详解】由在抛物线上可得：，又，
解得. 中，利用余弦定理可得：
化简得： 所以，解得或，故填或.
【课后练习】
1．如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为______.
【答案】
【分析】
根据焦半径公式表示出面积表达式，根据直线和x轴夹角的范围得到面积的范围.
【详解】
设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到

面积之和为：
通分化简得到
原式子化简为根据二次函数的性质当t=1时有最小值，此时抛物线方程为：。故答案为.
2．已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点，AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点，若ΔPQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．233 D．322
【答案】C
【解析】由题意，得|AF1|+|BF1|=|AB|=2b2a ①，且P,Q分别为AF2,BF2的中点．由双曲线定义，知|AF2|−|AF1|=2a ②，|BF2|−|BF1|=2a ③，联立①②③，得|AF2|+|BF2|=4a+2b2a．因为ΔPQF2的周长为12，所以ΔABF2的周长为24，即4a+4b2a=24，亦即b2=6a−a2，所以(ab)2=6a3−a4．令f(a)=6a3−a4，则f'(a)=18a2−4a3=4a(92−a)，所以f(a)在(0,92)上单调递增，在(92,+∞)上单调递减，所以当a=92时，f(a)取得最大值，此时b2=6×92−(92)2=274，所以c=a2+b2=33，所以e=ca=233，故选C．
3.椭圆的一个焦点为，过点的直线交椭圆于两点，点C是点关于原点的对称点.若，，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】 作另一个焦点，连接和，则四边形为平行四边形，
所以，且，则三角形为等腰直角三角形，
设，则，即， 所以，
在三角形中，由勾股定理得，
所以，所以.
4.已知两定点A（－1，0）和B（1，0）,动点在直线上移动，椭圆C
以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为 ．
【答案】
试题分析：由题意可知所以离心率，因为在直线上移动，所以，过点作直线的对称点，则此时此时有最小值为由中点坐标公式可得，由两点间距离公式，所以，所以=．
5.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A、B两点．设直线AC、BC的斜率分别为k1、k2，当2k1k2+lnk1+lnk2最小时，双曲线的离心率为________________．
【答案】3
【解析】设C(x,y),A(x1,y1),B(−x1,−y1)，显然x≠x1,x≠x2． ∵点A,C在双曲线上，∴x12a2−y12b2=1x2a2−y2b2=1，两式相减得y2−y12x2−x12=b2a2， ∴k1k2=kACkBC=y−y1x−x1·y+y1x+x1=y2−y22x2−x12=b2a2 . 由y=2k1k2+lnk1+lnk2=2k1k2+ln(k1k2)，
设t=k1k2， 则y=2t+lnt，∴求导得y'=−2t2+1t，由y'=t−2t2=0得t=2． ∴y=2t+lnt在(0,2)单调递减，在(2,+∞)单调递增，∴t=2时即k1k2=2时y=2t+lnt取最小值， ∴b2a2=2，∴e=1+b2a2=3．
6.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比__________．
【答案】
【解析】设F到直线AB的距离为d，则设AB：代入中易得，从而可得.
7.已知、是过抛物线（）的焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，，则的值为__________．
【答案】
【解析】不妨设直线的斜率，如图所示，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为过作于，，即有为的中点，即，
，，即，由，易知直线的斜率为，不妨取直线的方程为，联立得，所以，故答案为.
8.已知双曲线：的左，右顶点分别为，，点为双曲线
的左焦点，过点作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，其中点在第二象限，连接
交轴于点，连接交于点，若，则双曲线的离心率为_______.
【答案】5
【解析】根据题意，如图作出双曲线的草图：双曲线C：中，PQ过左焦点F且垂直与x轴，
假设P在Q的上方，则xP=xQ=﹣c，将x=﹣c代入双曲线的方程可得：yP=，yQ=﹣，则|PF|=|FQ|=，
又由OE∥PM，则△EOB∽△PFB，则有，则|EO|=c-a，
而△EOA∽△MFA，则有，即，整理可得：c=5a，
则e=5，故双曲线的离心率为5；故答案为：5．
9.设抛物线的焦点为，为抛物线上第一象限内一点，满足，已知为抛物线准线上任一点，当取得最小值时，的外接圆半径为______.
【答案】
详解：由抛物线的方程可知，
设，又由，根据抛物线的定义可知，
解得，代入抛物线的方程，可得，即，作抛物线的焦点，关于抛物线准线的对称点得，连接交抛物线的准线于点，此时能使得取得最小值，此时点的坐标为，在中，，由余弦定理得，则，由正弦定理得，所以，即三角形外接圆的半径为.
10.在等腰梯形中， ，且，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】试题分析：由平几知识可得，所以，因为在上单调递减，所以，由不等式恒成立，得，即的最大值是，选B.
11.过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则____________．
【答案】
【详解】方法一：
方法二：抛物线的焦点的坐标为 斜率为且过焦点的直线方程为
联立抛物线方程，得，化简得 设两个交点坐标分别为
所以则
所以
12.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用椭圆的离心率可得，分析可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出，再利用基本不等式可得出面积的最大值.
【详解】
因为，所以，，所以，蒙日圆的方程为，
由已知条件可得，则为圆的一条直径，则，
所以，，当且仅当时，等号成立.
故选：A.
13.己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过作准线的垂线，垂足为，则根据则抛物线的定义，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，与联立，得，
令，解得可得，又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上
双曲线的实轴故答案选