2023-2024学年河北省张家口市尚义一中等校高一（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市尚义一中等校高一（下）开学数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x<2}，则A∩B=( )
A. {−2,−1,0,1,2}B. {−2,−1,0,1}C. {0,1,2)D. {0,1}
2.已知命题p：∀x>0，都有(x−1)ex−1≤1，则命题p的否定为( )
A. ∃x≤0，使得(x−1)ex−1>1B. ∀x>0，总有(x−1)ex−1>1
C. ∀x≤0，总有(x−1)ex−1>1D. ∃x>0，使得(x−1)ex−1>1
3.已知幂函数f(x)=xn，若函数f(x)的图象过点(14,2)，则n=( )
A. 0B. 12C. −12D. −2
4.已知a=1.050.6，b=0.60.8，c=0.60.6，则a、b、c的大小关系是( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a
5.若扇形的面积为16cm2，圆心角为2rad，则该扇形的弧长为( )
A. 4cmB. 8cmC. 12cmD. 16cm
6.已知不等式ax2+bx−6<0的解集为{x|−3A. {x|x≤−2或x≥3}B. {x|−1≤x≤2}
C. {x|−2≤x≤3}D. {x|x≤−1或x≥2}
7.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0,+∞)单调递减，则不等式f(x−1)>f(2x+1)的解集为( )
A. (−∞,−2)∪(0,+∞)B. (−2,0)
C. (0,2)D. (−∞,0)∪(2,+∞)
8.已知函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y满足f(x)f(y)=f(x−y)且f(2)=3，则f(3)f(1)+f(5)f(3)+⋯+f(2023)f(2021)=( )
A. 1011B. 2022C. 3033D. 4044
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若集合A={x|ax−2=0}，B={x|x2+3x+2=0}，且A⊆B，则实数a的取值为( )
A. −2B. −1C. 0D. 2
10.下列说法正确的有( )
A. 函数f(x)=−1x在其定义域内是增函数
B. ∀x∈R，x2−3x+4>0
C. 函数f(x)=(12)x在R上单调递减，且值域为(0,+∞)
D. 若y=f(x)为偶函数，则y=xf(x)也为偶函数
11.若定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，且对任意x1，x2∈[1,+∞)，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，则下列正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(−1,0)对称
B. f(x)在R上是增函数
C. f(x)+f(2−x)=2
D. 关于x的不等式f(x)<0的解集为(−∞,1)
12.已知θ∈(0,π)，sinθ+csθ=−713，则下列结论正确的是( )
A. θ∈(π2,π)B. csθ=−1213
C. tanθ=−125D. sinθ−csθ=1713
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α的终边过点P(−4,2)，则csα的值是______．
14.已知tanα=−13，则sinα+3csα5sinα+3csα= ______．
15.设m，n∈R+且m+n=4，则14m+1n的最小值为______．
16.若函数f(x)=(3−2a)x+1,x>12ax−x2,x≤1在R上单调递增，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知α∈(3π2,2π)，f(α)=sin(α+3π2)cs(π2+α)tan(π+α)sin(π2−α)tan(2π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=15，求cs(π−α)的值．
18.(本小题12分)
已知α为钝角，且csα=−35．
(1)求sinα，tanα的值；
(2)求sin(α+π)+cs(π−α)cs(3π2+α)+tan(π−α)的值．
19.(本小题12分)
已知函数y=lg4(−x2+4x+4)．
(1)求函数的定义域；
(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=e−x−ex．
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明；
(2)若f(m+3)+f(m−1)=0，求实数m的值．
21.(本小题12分)
设集合A={x|4≤2x+1≤16}，若关于x的不等式x2+mx+n≤0的解集为A．
(1)求函数f(x)=x2+mx+n的解析式；
(2)求关于x的不等式f(x)+λ2>2λ(2−x)的解集，其中λ∈R．
22.(本小题12分)
已知函数g(x)=ax2+2ax+b(a>0)在区间[0,2]上有最大值11和最小值3，且f(x)=g(x)x．
(1)求a、b的值；
(2)若不等式k⋅2x−f(2x)≤0在x∈[−1,2]上有解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={−2,−1,0,1,2,3}，B={x|x<2}，
则A∩B={−2,−1,0,1}．
故选：B．
利用交集定义、不等式性质求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，命题p：∀x>0，都有(x−1)ex−1≤1，
其否定为：∃x>0，使得(x−1)ex−1>1．
故选：D．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：幂函数f(x)=xn，函数f(x)的图象过点(14,2)，
则(14)n=2，解得n=−12．
故选：C．
将点代入幂函数的解析式，即可求解．
本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为0<0.60.8<0.60.6<1，1.050.6>1，
所以b故选：B．
结合指数函数的单调性即可比较函数值的大小．
本题主要考查了指数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵S=12|α|r2，
∴r=4，
∴弧长l=|α|r=2×4=8，
故选：B．
先利用扇形面积公式求出半径r，再利用弧长公式即可求出弧长．
本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为不等式ax2+bx−6<0的解集为{x|−3所以−3，2是方程ax2+bx−6=0的根，即−3+2=−ba−3×2=−6a，
解得a=1，b=1，
所以不等式x2−bx−2a≥0为x2−x−2≥0，解得x≥2或x≤−1，
所以不等式x2−bx−2a≥0的解集为{x|x≥2或x≤−1}．
故选：D．
由已知不等式的解集，可得−3，2是方程ax2+bx−6=0的根，再由根与系数的关系，可得a，b的值，代入所求的不等式中，可得不等式的解集．
本题考查二次不等式的解集与二次方程的根之间的关系的应用及二次不等式的解集的求法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，
∴f(x−1)>f(2x+1)可转化为f(|x−1|)>f(|2x+1|)，
又∵f(x)在[0,+∞)上单调递减，
∴|x−1|<|2x+1|，
两边平方后解得x>0或x<−2，
故f(x−1)>f(2x+1)的解集为(−∞,−2)∪(0,+∞)．
故选：A．
依题意，可将不等式f(x−1)>f(2x+1)转化为f(|x−1|)>f(|2x+1|)，继而转化为|x−1|<|2x+1|，解之可得答案．
本题考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y满足f(x)f(y)=f(x−y)，
取x=y+2，得f(y+2)f(y)=f(2)=3，
所以f(3)f(1)+f(5)f(3)+…+f(2023)f(2021)=3×1011=3033．
故选：C．
根据给定条件，利用赋值法得f(y+2)f(y)=f(2)，再按规律计算即得．
本题主要考查了赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：x2+3x+2=0解得x1=−1，x2=−2，则B={−2,−1}．
当A=⌀时，方程ax−2=0无解，则a=0；
当A≠⌀时，方程ax−2=0有解，则a≠0且x=2a，
因为A⊆B，所以2a∈B，因此2a=−1，即a=−2或2a=−2，即a=−1．
综上所述，A⊆B时，a的值为−2，−1，0．
故选：ABC．
空集是任何一个集合的子集，由A⊆B，分别对A=⌀和A≠⌀进行分类讨论求实数a的值．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：函数f(x)=−1x在(−∞,0)，(0,+∞)上单调递增，但在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)内不单调，A错误；
因为x2−3x+4=(x−32)2+74>0恒成立，B正确；
根据指数函数的性质可知，f(x)=(12)x在R上单调递减，且值域为(0,+∞)，C正确；
若y=f(x)为偶函数，则f(−x)=f(x)，
令g(x)=xf(x)，则g(−x)=−xf(−x)=−xf(x)=−g(x)，即g(x)为奇函数，D错误．
故选：BC．
结合反比例函数的单调性检验选项A；结合二次函数的性质检验选项B；结合指数函数的性质检验选项C；结合函数奇偶性的定义检验选项D即可判断．
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性的判断，还考查了二次函数性质的应用，属于基础题．
11.【答案】BD
【解析】解：由定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，
得f(−x+1)=−f(x+1)，
因此函数f(x)关于(1,0)对称，
由对任意x1，x2∈[1,+∞)，都有f(x2)−f(x1)x2>0，
得f(x)在[1,+∞)上递增，由函数的对称性知，f(x)在(−∞,1]上递增，
因此f(x)在R上是增函数，B正确；
显然f(−1)由f(x)关于(1,0)对称，得f(x)+f(2−x)=0，C错误；
显然f(1)=0，又f(x)在R上单调递增，则由f(x)<0，得x<1，D正确．
故选：BD．
根据给定条件，结合函数的对称性及单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了抽象函数对称性，单调性的应用，还考查了不等式的求解，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为θ∈(0,π)，sinθ+csθ=−713，
两边同时平方得，1+2sinθcsθ=49169，即sinθcsθ=−60169<0，
所以sinθ>0，csθ<0，θ∈(π2,π)，A正确；
sinθ+csθ=−713=−1213+513，sinθcsθ=−60169=−1213×513，
所以sinθ=513，csθ=−1213，tanθ=−512，B正确，C错误；
所以sinθ−csθ=1713，D正确．
故选：ABD．
由已知结合同角基本关系检验各选项即可求解．
本题主要考查了同角基本关系在三角函数求值中的应用，属于中档题．
13.【答案】−2 55
【解析】解：因为角α的终边过点P(−4,2)，
所以csα=−4 (−4)2+22=−2 55．
故答案为：−2 55．
由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14.【答案】2
【解析】解：因为tanα=−13，则sinα+3csα5sinα+3csα=tanα+35tanα+3=−13+3−5×13+3=2．
故答案为：2．
由已知结合同角商的关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
15.【答案】916
【解析】解：因为m，n∈R+且m+n=4，
则14m+1n=14(14m+1n)(m+n)=14(54+n4m+mn)≥14(54+2 n4m⋅mn)=916，
当且仅当n=2m，即m=43，n=83时取等号．
故答案为：916．
由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】[1,54]
【解析】解：若函数f(x)=(3−2a)x+1,x>12ax−x2,x≤1在R上单调递增，
则3−2a>0a≤13−2a+1≥2a−1，解得1≤a≤54．
故答案为：[1,54].
由已知结合二次函数及一次函数的单调性及分段函数的性质即可求解．
本题主要考查了一次函数及二次函数的单调性及分段函数的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)f(α)=sin(α+3π2)cs(π2+α)tan(π+α)sin(π2−α)tan(2π−α)
=−csα⋅(−sinα)tanαcsα⋅(−tanα)=−sinα；
(2)∵f(α)=15，∴−sinα=15，则sinα=−15，
又α∈(3π2,2π)，∴csα= 1−(−15)2=2 65，
∴cs(π−α)=−csα=−2 65．
【解析】(1)直接利用三角函数的诱导公式化简；
(2)利用三角函数的诱导公式及同角三角函数基本关系式求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
18.【答案】解：(1)∵α为钝角，且csα=−35，
∴sinα= 1−cs2α= 1−(−35)2=45，
tanα=sinαcsα=−43；
(2)sin(α+π)+cs(π−α)cs(3π2+α)+tan(π−α)=−sinα−csαsinα−tanα=−45+3545+43=−332．
【解析】(1)由已知结合同角三角函数的基本关系式求解；
(2)利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
19.【答案】解：(1)函数y=lg4(−x2+4x+4)有意义，则−x2+4x+4>0，即x2−4x−4<0，解得2−2 2所以原函数的定义域为(2−2 2,2+2 2)．
(2)显然−x2+4x+4=−(x−2)2+8≤8，当且仅当x=2时取等号，
因为函数y=lg4x在(0,+∞)上单调递增，
所以当x=2时，函数y=lg4(−x2+4x+4)取得最大值，最大值为lg48=lg2223=32．
【解析】(1)利用对数函数的定义，列出不等式求解即得．
(2)利用对数函数单调性，结合二次函数最值求解即可．
本题主要考查函数的定义域和单调性，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=e−x−ex是奇函数，理由如下：
函数f(x)=e−x−ex的定义域为全体实数，它关于原点对称，
又f(−x)=ex−e−x=−(e−x−ex)=−f(x)，
所以函数f(x)=e−x−ex是奇函数．
(2)由(1)得函数f(x)=e−x−ex是奇函数，
若f(m+3)+f(m−1)=0，则f(m+3)=−f(m−1)=f(1−m)，
因为函数y=e−x、y=ex分别是R上的减函数、增函数，
因此f(x)=e−x−ex是减函数，则m+3=1−m，解得m=−1，
所以实数m的值为−1．
【解析】(1)直接由函数奇偶性的定义判定并证明即可．
(2)结合指数函数单调性可得f(x)=e−x−ex单调性，再借助奇函数性质即可得解．
本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于中档题．
21.【答案】解：(1)解不等式4≤2x+1≤16得2≤x+1≤4，即1≤x≤3，
因此A=[1,3]，
依题意，1，3是方程x2+mx+n=0的两个根，于是1+3=−m1×3=n，
解得m=−4，n=3，
所以函数f(x)=x2+mx+n的解析式为f(x)=x2−4x+3；
(2)由(1)知，f(x)=x2−4x+3，
不等式f(x)+λ2>2λ(2−x)⇔x2+(2λ−4)x+(λ−1)(λ−3)>0，
即(x+λ−1)(x+λ−3)>0，
显然1−λ<3−λ，解得x<1−λ或x>3−λ，
所以原不等式的解集为(−∞,1−λ)∪(3−λ,+∞)．
【解析】(1)解指数不等式求出集合A，再借助一元二次不等式的解集求出m，n即可；
(2)利用(1)的结论，解含参数的一元二次不等式即得．
本题主要考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属于中档题．
22.【答案】解：(1)函数g(x)=ax2+2ax+b(a>0)开口向上，对称轴x=−1，
所以函数在区间[0,2]上单调递增，
再由有最大值11和最小值3，
可得g(x)max=f(2)=4a+4a+b=11，g(x)min=f(0)=b=3，
解得a=1，b=3；
(2)由(1)可得：f(x)=g(x)x=x+3x+2；
因为不等式k⋅2x−f(2x)≤0在x∈[−1,2]上有解，
所以k≤2x+32x+22x=1+3⋅(12x)2+2⋅12x，
设t=12x，x∈[−1,2]，所以t∈[14,2]，
设h(t)=3t2+2t+1，t∈[14,2]，所以函数单调递增，
所以h(t)≤h(2)=3×22+2×2+1=17，
由题意只需k≤h(t)max，
所以不等式k⋅2x−f(2x)≤0在x∈[−1,2]上有解时，k≤17．
所以实数k的取值范围为(−∞,17]．
【解析】(1)由函数的开口方向及对称轴可知，在给定区间上的单调性，进而求出最大值和最小值，由题意可得a，b的值；
(2)由(1)的函数f(x)的解析式，进而可得k≤2x+32x+22x=1+3⋅(12x)2+2⋅12x，换元整理可得k的范围．
本题考查二次函数的最值的求法及换元法的应用，属于基础题．