2023-2024学年河北省石家庄八十一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄八十一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点(0,0)的是( )
A. y=x2B. y=1xC. y=(x−1)2D. y=x+1
2.对这一组数2，4，6，5，7，3的说法正确的是( )
A. 这组数的平均数是5B. 这组数的中位数是5.5
C. 这组数没有众数D. 这组数的方差是3512
3.身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是( )
A. 9米B. 10米C. 13.4米D. 14.4米
4.下列命题在，正确的是由( )
①平分弦的直径垂直于弦；
②经过三角形的三个顶点确定一个圆；
③圆内接四边形对角相等；
④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
A. ①②B. ②③C. ②D. ①④
5.设a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为( )
A. 2014B. 2013C. 2012D. 2011
6.已知关于x的一元二次方程m(x−h)2−k=0(m,h,k均为常数且m≠0)的解是x1=3，x2=6则关于x的一元二次方程m(x−h−1)2=k的解是( )
A. x1=−3，x2=−6B. x1=−4，x2=−7
C. x1=4，x2=7D. x1=3，x2=6
7.已知x2−5xy+6y2=0，则y：x等于( )
A. 16或1B. 6或1C. 13或12D. 2或3
8.在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：asinA=bsinB=csinC=2R(其中R为△ABC的外接圆半径)成立.在△ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4，则△ABC的外接圆面积为( )
A. 16π3B. 64π3C. 16πD. 64π
9.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP=4，∠APO=30°则弦AB的长为( )
A. 3
B. 5
C. 2 3
D. 2 5
10.如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA>OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC=BD；②∠AMB=40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
11.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为(−2,3)，(1,3)，点M的横坐标的最小值为−5，则点N的横坐标的最大值为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
12.如图，AB=6，点C是AB上的动点，以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形，M、N分别是CD、BE中点，MN最小值是( )
A. 3
B. 3 2
C. 3 22
D. 3 32
13.如图，点P在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，过点P作PQ/​/x轴，交y轴于点Q，将点P绕线段PQ的中点M逆时针旋转90°得到点P′，点P′恰好落在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，连结P′M、P′P.若△PMP′的面积等于4，则k的值为( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
14.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,1)，(m,0)，(3,0)，若c<0，则下列结论中错误的是( )
A. ab<0
B. 4ac−b2<4a
C. 3a+b<0
D. 点(2+m,1)必在该抛物线上
15.如图，在平面直角坐标系中，AB//DC，AC⊥BC，CD=AD=5，AC=6，将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，则m的值是( )
A. 11.4B. 11.6C. 12.4D. 12.6
16.如图，E为边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于Q，PR⊥BE于R.有下列结论：①△PCQ∽△PER；②S△DCE=2− 24；③tan∠DCE= 2−1；④PQ+PR= 22.其中正确的结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共3小题，每小题2分，共6分。
17.直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于______．
18.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB中点，E在线段AC上，ADAB=DEBC，则AEAC= ．
19.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON= ______°.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
20.解方程
(1)(2x+1)2=3(2x+1)
(2)先化简，再求值：(x−1)÷(2x+1−1)，其中x为方程x2+3x+2=0的根．
四、解答题：本题共6小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
某市民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过W吨的部分按4元/吨收费，超出W吨的部分按10元/吨收费，该市随机调查居民，获得了他们3月份的每人用水量数据，绘制出如图不完整的两张统计图表，请根据如图表提供的信息，解答下列问题：
(1)观察表可知这次抽样调查的中位数落在第______组，表中m的值为______，n的值为______.扇形统计图中“用水量2.5(2)如果W为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，W至少定为多少吨？
(3)利用(2)的结论和表中的数据，假设表中同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该市居民3月份的人均水费．
22.(本小题10分)
如图，小明在大楼的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡角∠ABC=30°点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
(1)山坡AB的坡度为______；
(2)若山坡AB的长为20米，求大楼的窗口P处距离地面的高度．
23.(本小题10分)
如图①，有一块边角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是线段，曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现：∠A=∠E=90°，AE=5，AB=DE=1，点C到AB，AE所在直线的距离分别为2，4．
(1)小宁把A，B，C，D，E这5个点先描到平面直角坐标系上，记点A的坐标为(−1,0)；点B的坐标为(−1,1)．
请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE；
(2)求直线BC，曲线CD的函数表达式；
(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP，其中M，N在AE上(点M在点N左侧)，点P在线段BC上，点Q在曲线CD上.若矩形MNQP的面积是53，则PM= ______．
24.(本小题11分)
如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，点C在⊙O上，且PC=PA．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，若CD=PA=2 3，
①求图中阴影部分面积；
②连接AC，若△PAC的内切圆圆心为I，则线段IE的长为______．
25.(本小题12分)
如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题12分)
已知在矩形ABCD中，E，F是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交边DC于点H．
【发现】如图1，以EF为直径作⊙O，点A ______(填“在”或“不在”)⊙O上；当AE=AF时，tan∠AEF的值是______；
【论证】如图1，当FE=FH时，求证：AD=AE+DH；
【探究】如图2.当E，F是边AB，AD的中点时，若AB=8，DH=2，求EH的长；
【拓展】如图3.将矩形换为平行四边形，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=15，tanA=43，F是AD上的动点，过点F在BF的右侧作BF的垂线FG，且有BF=FG，当点G落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，直接写出BG的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、抛物线y=x2经过点(0,0)，故符合题意；
B、双曲线y=1x不经过点(0,0)，故不符合题意；
C、抛物线y=(x−1)2不经过点(0,0)，故不符合题意；
D、直线y=x+1不经过点(0,0)，故不符合题意；
故选：A．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、平均数为2+3+4+5+6+76=4.5，此选项错误；
B、重新排列为2，3，4，5，6，7，中位数是4+52=4.5，此选项错误；
C、每个数据都只出现1次，所以每个数据都是这组数据的众数，此选项错误；
D、方差为16×[(2−92)2+(3−92)2+(4−92)2+(5−92)2+(6−92)2+(7−92)2]=3512，此选项正确；
故选：D．
分别利用算术平均数、中位数、众数及方差的定义及公式进行逐一排除即可确定答案．
本题考查了算术平均数、中位数、众数及方差的定义，正确记忆相关内容是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵同一时刻物高与影长成正比例．
∴1.6：1=旗杆的高度：9，
∴旗杆的高度为：14.4(米)．
故选：D．
在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．
此题主要考查了相似三角形的应用，通过解方程求出旗杆的高度是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，①错误；
②经过三角形的三个顶点确定一个圆，②正确；
③圆内接四边形对角互补，③错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，④错误．
故选：C．
根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质进行判断即可得到正确结论．
本题考查了确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵a是方程x2+x−2014=0的实数根，
∴a2+a−2014=0，
∴a2+a=2014，
∴原式=2014+a+b，
∵a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，
∴a+b=−1，
∴原式=2014−1=2013．
故选B．
先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a−2014=0，变形得到a2+a=2014，则原式化简为2014+a+b，然后根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了一元二次方程的解．
6.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程m(x−h)2−k=0的解是x1=3，x2=6，
∴二次函数y=m(x−h)2−k的图象与x轴的交点坐标为(3,0)，(6,0)，
∵将二次函数y=m(x−h)2−k的图象向右移动1个单位长度，新图象的函数解析式为：y=m(x−h−1)2−k，
∴二次函数y=m(x−h−1)2−k的图象与x轴的交点坐标为(3+1,0)，(6+1,0)，即(4,0)，(7,0)，
∴关于x的一元二次方程m(x−h−1)2−k=0的解为x1=4，x2=7，
即关于x的一元二次方程m(x−h−1)2=k的解是x1=4，x2=7．
故选：C．
根据二次函数与一元二次方程的关系求出二次函数y=m(x−h)2−k的图象与x轴的交点坐标，进而根据二次函数图象的平移特征，求出二次函数y=m(x−h−1)2−k的图象与x轴的交点坐标，即可求出m(x−h−1)2=k的解．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的平移，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵x2−5xy+6y2=0，
∴(x−2y)(x−3y)=0
∴x−2y=0，x−3y=0，即x=2y，x=3y，
∴y：x等于12或13．
故选C．
先把x2−5xy+6y2因式分解，得(x−2y)(x−3y)，由题意知(x−2y)(x−3y)=0，从而可得x，y的关系式，即可求y：x的值．
此题实际是考查运用因式分解法解一元二次方程，关键是理解题意，会解一元二次方程．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−75°−45°=60°，
∵csinC=2R，
∴2R=4sin60∘=4 32=83 3，
∴R=43 3，
∴S=πR2=π(43 3)2=163π，
故选：A．
已知c，所以求出∠C的度数即可使用题中的结论，得到关于R的方程，再求圆的面积即可．
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的内角和定理，实数的运算，解题的关键是：求出∠C的度数，使用题中的结论，得到关于R的方程．
9.【答案】D
【解析】解：连接OB，过O作OC⊥AB于C，
则∠OCP=90°，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=12OP=2，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：BC= OB2−OC2= 32−22= 5，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴AB=2BC=2 5．
故选：D．
连接OB，过O作OC⊥AB于C，根据含30度角的直角三角形性质求出OC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理得出AB=2BC，即可得出答案．
本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BODOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，
故①正确，符合题意；
∵∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，
故②正确，符合题意；
如图所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中，
∠OCA=∠ODB∠OGC=∠OHDOC=OD，
∴△OCG≌△ODH(AAS)，
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，
故④正确，符合题意；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵∠AOB=∠COD=40°，
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
∠COM=∠BOMOM=OM∠CMO=∠BMO，
∴△COM≌△BOM(ASA)，
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC，
与题意不符，
故③错误，不符合题意；
综上，符合题意的有①②④；
故选：B．
由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB=∠AOB=40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH(AAS)，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，则∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA>OC，故③错误；即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：当顶点为(−2,3)时，函数的对称轴为x=−2，
∵M的横坐标为−5，
∴N的横坐标为1，
∴MN=6，
当顶点为(1,3)时，M点横坐标为−2，
∴N的横坐标为4；
故选：B．
当顶点为(−2,3)时，函数的对称轴为x=−2，M的横坐标为−5，可求N的横坐标为1，由此可得MN的长度为6是定值，再由顶点为(1,3)时，M点横坐标为−2，即可确定N的横坐标最大值．
本题考查二次函数的图象及性质；通过函数对称轴的性质，确定MN=6是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：如图所示，连接CN，
∵△BCE，△ACD是等边三角形，点N是BE的中点，
∴∠ACD=∠BCE=60°,∠BCN=12∠BCE=30°，BN=12BE=12BC，
∴∠MCN=180°−∠ACD−∠BCN=90°，
设AC=2x，则BC=6−2x，
∴BN=3−x，
∴CN2=BC2−BN2=(6−2x)2−(3−x)2=3x2−18x+27，
∵点M是CD的中点，
∴CM=12CD=12AC=x，
∴MN2=CM2+CN2=x2+3x2−18x+27=4(x−94)2+274，
∵4>0，
∴当x=94时，MN2有最小值274，
∴MN有最小值3 32，
故选：D．
如图所示，连接CN，根据等边三角形的性质得到∠ACD=∠BCE=60°,∠BCN=12∠BCE=30°，BN=12BE=12BC，进而推出∠MCN=90°，设AC=2x，则BC=6−2x，BN=3−x，利用勾股定理得到CN2=3x2−18x+27，则MN2=4(x−94)2+274，利用二次函数的性质求出MN2的最小值，即可求出MN的到最小值．
本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
13.【答案】D
【解析】解：设P(m,km)(m>0)，则M(12m,km)，
∴PM=12m，
∵将点P绕线段PQ的中点M逆时针旋转90°得到点P′，
∴P′M⊥PQ，P′M=PM=12m，
∴P′(12m,km+12m)，
∵△PMP′的面积等于4，
∴12×12m×12m=4，
解得m=4 2，
∴P′(2 2,k4 2+2 2)，
∵点P′恰好落在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，
∴2 2(k4 2+2 2)=k，
解得k=16，
故选：D．
设P(m,km)(m>0)，则M(12m,km)，由旋转的性质得到P′(12m,km+12m)代入y=kx(k>0,x>0)即可求得k的值．
本题考查了反比例函数向上k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的旋转，表示出点P′的坐标是解题的关键．
14.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，
∴a<0，c<0，−b2a>0，
∴b>0，
∴ab<0，故A正确，不符合题意；
∵y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac−b24a，抛物线的顶点在第一象限，经过点(1,1)，对称轴为直线x=m+32>1，
∴4ac−b24a>1，
∵a<0，
∴4ac−b2<4a，故B正确，不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(3,0)，
∴9a+3b+c=0，
∴3a+b=−c3，
∵c<0，
∴−c3>0，
∴3a+b=−c3>0，故C错误，符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,1)，(m,0)，(3,0)，
∴对称轴为直线x=m+32，
∵1+2+m2=m+32，
∴(1,1)和(2+m,1)关于对称轴对称，
∴点(2+m,1)必在该抛物线上，故D正确，不符合题意；
故选：C．
根据抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右边，可得a<0，c<0，b>0，即可判断A；将抛物线化为顶点式，由顶点在第一象限得到4ac−b24a>1，结合a<0即可判断B；由点(3,0)在抛物线上得到3a+b=−c3，再由c<0即可判断C；由抛物线的对称性即可判断D．
本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数的对称性，把二次函数化为顶点式，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T．
∵AD=DC=5，DJ⊥AC，
∴AJ=JC=3，
∴DJ= AD2−AJ2= 52−32=4，
∵CD//AT．
∴∠DCJ=∠TAJ，
∵∠DJC=∠TJA，
∴△DCJ≌△TAJ(ASA)，
∴CD=AT=5，DJ=JT=4，
∵∠AJT=∠ACB=90°，
∴JT/​/BC，
∵AJ=JC，
∴AT=TB=5，
设OA=x，∵OD2=AD2−OA2=DT2−OT2，
∴52−x2=82−(x+5)2，
解得x=1.4，
∴OB=OA+AT+TB=1.4+5+5=11.4，
∵将四边形ABCD向左平移m个单位后，点B恰好和原点O重合，
∴m=OB=11.4，
故选：A．
如图，过点D作DT⊥AC交AC于J，交AB于T.想办法求出OB的长即可．
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．
16.【答案】D
【解析】解：①∵BE=BC，∴∠QCP=∠REP，又∵∠PQC=∠PRE=90°，∴△PCQ∽△PER，故正确；
②作△DCE的边DC上的高EF.∵BE=BC=1，∴DE=BD−BE= 2−1，∵△DEF是等腰直角三角形，∴EF=DF= 22DE=2− 22，∴S△DCE=12CD⋅EF=2− 24，故正确；
③在△CEF中，∠EFC=90°，EF=2− 22，CF=CD−DF=1−2− 22= 22，∴tan∠DCE=EFCF= 2−1，故正确；
④连接BP，过C作CM⊥BD于M.∵BC=BE，∴S△BCE=S△BPE+S△BPC=BC×PQ×12+BE×PR×12=BC×(PQ+PR)×12=BE×CM×12，∴PQ+PR=CM，
∵BE=BC=1且正方形对角线BD= 2，又BC=CD，CM⊥BD，∴M为BD中点，又△BDC为直角三角形，
∴CM=12BD= 22，∴PQ+PR= 22，故正确．
故选：D．
①根据两角对应相等的两个三角形相似，即可证出；
②作△DCE的边DC上的高EF，根据三角形的面积公式即可得出△DCE的面积；
③解直角△CEF，即可求出∠DCE的正切值；
④连接BP，利用面积法求解，PQ+PR的值等于C点到BE的距离，即正方形对角线的一半．
本题考查了正方形的性质，三角函数的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．解题关键是作出正确的辅助线．
17.【答案】2
【解析】解：如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=8，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，
连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=10，
则OD=OE=r，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
而OD=OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD=CE=OE=r，
∴AD=8−r，BE=6−r，
∵AF=AD=8−r，BF=BE=6−r，
∴8−r+6−r=10，解得r=2，
即这个三角形的内切圆半径等于2．
故答案为2．
如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=8，BC=6，⊙O为△ABC的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，设⊙O的半径为r，
先利用勾股定理计算出AB=10，根据切线的性质得OD=OE=r，OD⊥AC，OE⊥BC，再证明四边形ODCE为正方形，得到CD=CE=OE=r，则AD=8−r，BE=6−r，
然后根据切线长定理得到AF=AD=8−r，BF=BE=6−r，于是有8−r+6−r=10，然后解方程即可得到r的值．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．也考查了切线的性质与切线长定理；记住直角边为a、b，斜边为c的三角形内切圆半径等于a+b−c2．
18.【答案】12或14
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线分线段成比例．
利用平行线分线段成比例及等边三角形的判定及性质，分两种情况解答即可．
【解答】
解：∵D为AB中点，
∴ADAB=12．当DE/​/BC时，
ADAB=DEBC=AEAC=12．
当DE与BC不平行时，
DE=DE′，
∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=∠DEE′=60°，∠B=∠ADE=90°，
∴△DEE′是等边三角形，∠A=∠ADE′=30°
∴DE=DE′=EE′，DE′=AE′，
∴EE′=AE′=12EC，
∴AE′AC=14．
故答案是：12或14．
19.【答案】105
【解析】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA=OB=OF=OE=OD，∠AOB=∠AOF=∠FOE=∠EOD=60°，
∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD=180°，
∴D，O，A在一条直线上，∠OAB=60°，OA=AB．
∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，
∴∠NAB=90°，AB=AN，
∴∠NAO=30°，OA=AN，
∴∠AON=∠ANO=180°−30°2=75°，
∴∠NOD=180°−∠AON=105°．
故答案为：105．
连接OA，OB，OE，OF，利用正六边形的性质得到OA=OB=OF=OE=OD，∠AOB=∠AOF=∠FOE=∠EOD=60°，则△OAB为等边三角形，D，O，A在一条直线上；利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠AON的度数，则结论可得．
本题主要考查了正六边形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，连接正六边形的半径，证得D，O，A在一条直线上是解题的关键．
20.【答案】解：(1)方程移项得：(2x+1)2−3(2x+1)=0，
分解因式得：(2x+1)(2x+1−3)=0，
解得：x1=−12，x2=1；
(2)原式=(x−1)÷2−x−1x+1=(x−1)⋅x+1−(x−1)=−x−1，
方程x2+3x+2=0，解得：x=−1或x=−2，
当x=−1时，原式没有意义；
当x=−2时，原式=1．
【解析】(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】(1)四; 250; 0.15; 72°．
(2)∵0.1+0.15+0.2+0.25+0.15=0.85=85%>80%，
∴为使80%以上居民在3月份的每人用水价格为4元/吨，W至少定为3吨；
(3)
[(1×100+2×200+3×150+2.5×250+1.5×150)×4+(3+3+3)×50×4+(0.5+1+1.5)×50×10]÷1000=10.5(元)．
答：估计该市居民3月份的人均水费为10.5元．
【解析】解：(1)根据统计表可知，1−(0.1+0.2+0.25+0.15+0.05+0.05+0.05)=0.15，
∴n的值为0.15，
∴抽取的样本总人数为100÷0.1=1000(人)，
∴第四组的频数为1000×0.25=250(人)，
∴m的值为250，
∴扇形统计图中“用水量2.5∴第二组的频数为1000×0.15=150(人)，
∵100+150+200=450<500，100+150+200+250=700>501，
∴第500与第501个数在第四组，中位数落在第四组；
故答案为：四，250，0.15，72°；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)用1减去其余七个小组的频率得到n值为0.15；用第一组的频数与频率求出这次随机抽查总人数为1000人，用总人数1000乘0.25求出m值为250人；用1000乘n值0.15得到第二组人数为150人，根据前三组人数和与前四组人数和推出中位数落在第四组；
(2)前五组人数和超过80%，w值确定在第五组最高值3吨；
(3)总水费除以总人数1000得到人均水费，总水费为4元/吨的部分与总水费10元/吨的部分的和等于总水费，每部分总水费等于水总吨数乘以单价，每部分水总吨数等于各组人均吨数乘以人数．
本题考查了阶梯计费，频数与频率，中位数，熟练掌握分段阶梯计费意义，超出部分意义，频数与频率的定义中位数定义和算法，是解决此类问题的关键．
22.【答案】1： 3
【解析】解：(1)∵山坡的坡角∠ABC=30°，
∴山坡AB的坡度为tan30°= 33=1： 3；
(2)由题意得PD//HC，AB⊥BP，PH⊥HC，∠DPA=15°，∠DPB=60°，AB=20米．
∵PD//HC，
∴∠PBH=∠DPB=60°，
∴∠ABP=180°−∠ABC−∠PBH=180°−30°−60°=90°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠APB=60°−15°=45°，
∴BP=AB=20米，
在Rt△PBA中，∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，
∴PH=PB⋅sin∠PBH=20× 32=10 3(米)．
答：大楼的窗口P处距离地面的高度为10 3米．
故答案为1： 3．
(1)坡角的正切函数值即为坡度，依此即可求解；
(2)先利用平行线的性质得出∠PBH=∠DPB=60°，由平角的定义求出∠ABP=180°−∠ABC−∠PBH=90°.再证明△ABP是等腰直角三角形，那么BP=AB=20米，然后在直角△PBH中利用三角函数即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，以及坡度坡角问题，其中涉及到平行线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确利用三角函数是解题的关键．
23.【答案】72
【解析】解：(1)由题意，如图如下：
(2)由题意可得B(−1,1)，C(1,4)，D(4,1)．
设直线BC：y=mx+n．
则有−m+n=1m+n=4，
解得m=32n=52，
∴直线BC：y=32x+52，
设曲线CD：y=kx，则k=xy，
把C(1,4)代入得k=1×4=4，
则反比例函数的表达式为：y=4x；
(3)如图，设点M的横坐标为m，则点P坐标为(m,32m+52)，
∴MP=32m+52，
∵四边形MNQP是矩形，
∴QN=MP=32m+52，
∴点Q坐标为(83m+5,32m+52)，
∴MN=83m+5−m，
∵矩形MNQP的面积为53，
∴MN⋅PM=53，
∴(83m+5−m)(32m+52)=53，
解得m=23，
∴PM=32m+52=72．
故答案为：72．
(1)由题意即可如图；
(2)用待定系数法即可求解；
(3)设点P坐标为(m,32m+52)，得到点Q坐标为(83m+5,32m+52)，根据矩形MNQP的面积为53，得MN⋅PM=53，进而求解．
本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、矩形的性质、图形的面积等，有一定的综合性，难度不大．
24.【答案】(1)证明：连接OC、OP，如图1所示：
∵点C在⊙O上，
∴OC为半径．
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA．
∴∠PAO=90°．
在△PCO和△PAO中，OC=OA OP=OP PC=PA ，
∴△PCO≌△PAO(SSS)，
∴∠PCO=∠PAO=90°，
∴PC⊥OC．
∴PC是⊙O的切线．
(2)解：①作CM⊥AP于点M，连接OD、AC；如图2所示：
∵CD⊥AB，
∴CE=DE= 3，∠CEA=90°．
∴四边形CMAE是矩形．
∴AM= 3，
∵CD=PA，
∴PM=AM．
∴PC=AC．
∵PC=PA，
∴△PCA是等边三角形．
∴∠PAC=60°．
∴∠CAB=30°．
∴∠COE=60°．
∴∠OCE=30°，∠COD=120°．
在Rt△COE中，CE= 3，
∴OE=1，OC=2．
∴S阴影=120π×22360−12×2 3×1=43π− 3．
② 7
【解析】解：(1)见答案；
(2)①见答案；
②如图3所示：
∵△PCA是等边三角形，
∴PM=AM= 3，
∴CM= 3PM=3，
∵△PAC的内切圆圆心为I，则CI=23CM=2，
在Rt△CEI中，由勾股定理得：IE= CI2+CE2= 7；
故答案为： 7．
(1)连接OC、OP，由切线的性质得出∠PAO=90°，证明△PCO≌△PAO，得出∠PCO=∠PAO=90°，得出PC⊥OC.即可得出结论；
(2)①作CM⊥AP于点M，连接OD、AC；证出四边形CMAE是矩形．得出AM= 3，证出△PCA是等边三角形．求出OC=2.由直角三角形的性质得出OE=12OC=1，
S阴影=扇形OCBD的面积−△OCD的面积，即可得出结果；
②由等边三角形的性质得出PM=AM= 3，求出CM= 3PM=3，由等边三角形的性质得出CI=23CM=2，在Rt△CEI中，由勾股定理得：IE= CI2+CE2= 7即可．
25.【答案】解：(1)在y=43x+4中，当x=0时，y=4，
∴C点坐标为(0,4)，
当y=0时，43x+4=0，
∴x=−3，
∴A点坐标为(−3,0)，
∵对称轴为直线x=−1，
∴B点坐标为(1,0)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−1)⋅(x+3)，
∵抛物线经过C点，
∴4=−3a，
解得a=−43，
∴抛物线的表达式为y=−43(x−1)⋅(x+3)=−43x2−83x+4；
(2)如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，
∴D点坐标为(m,−43m2−83m+4)，则E点坐标为(m,43m+4)，
∴DE=−43m2−83m+4−(43m+4)=−43m2−4m，
∴S△ADC=12DE⋅OA=32⋅(−43m2−4m)=−2m2−6m，
∵S△ABC=12AB⋅OC=12×4×4=8，
∴S=S△ADC+S△ABC=−2m2−6m+8=−2(m+32)2+252，
∴当m=−32时，S最大=252，
当m=−32时，−43m2−83m+4=5，
∴此时D点坐标为(−32,5)；
(3)设P点坐标为(−1,n)，
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA=PC，即PA2=PC2，
∴(−1+3)2+n2=1+(n−4)2，
解得n=138，
∴P点坐标为(−1,138)，
∵xP+xQ=xA+xC，yP+yQ=yA+yC
∴xQ=−3−(−1)=−2，yQ=4−138=198，
∴Q点坐标为(−2,198).
【解析】本题考查二次函数及其图象的性质，勾股定理，以及菱形的性质．
(1)先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
(2)作DF⊥AB于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，表示出三角形ADC和三角形ABC的面积，进而表示出S与m之间的函数关系式，进一步求得结果；
(3)根据菱形的性质可得PA=PC，进而求得点P的坐标，根据菱形的性质，进一步求得点Q坐标．
26.【答案】在 1
【解析】解：【发现】连接OA，如图，
∵EF为⊙O的直径，
∴OE，OF为圆的半径．
∴OE=OF．
∵∠A=90°，
∴OA=12EF=OE．
∴点A在⊙O上．
故答案为：在；
∵当AE=AF，
∴AE=AF．
∴∠AEF=∠AFE=45°．
∴tan∠AEF=tan45°=1．
故答案为：1；
【论证】∵∠A=90°，
∴∠E+∠AFE=90°．
∵EF⊥FH，
∴∠AFE+∠HFD=90°．
∴∠E=∠HFD．
在△AEF和△DFH中，
∠E=∠DFH∠A=∠D=90°EF=FH，
∴△AEF≌△DFH(AAS)．
∴AF=DH，AE=DF．
∵AD=AF+DF，
∴AD=AE+DH．
【探究】】∵∠A=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°．
∵EF⊥FH，
∴∠AFE+∠HFD=90°．
∴∠AEF=∠HFD．
∵∠A=∠D=90°，
∴△AEF∽△DFH．
∴AEDF=AFDH．
∵E，F是边AB，AD的中点，AB=8，
∴AE=12AB=4，AF=DF．
∴AF2=AE⋅DH=8．
∴EF2=AE2+AF2=24，
FH2=DF2+DH2=12．
∴EH= EF2+FH2= 24+12=6．
【拓展】①当点G落在DC边上时，
过点B作BE⊥AF于点E，过点G作GH⊥DF，交FD的延长线于点H，如图，
∵BE⊥AF，
∴∠EBF+∠EFB=90°．
∵BF⊥FG，
∴∠EFB+∠HFG=90°．
∴∠EBF=∠HFG．
在△BEF和△FHG中，
∠EFB=∠HFG∠FEB=∠GHF=90°BF=FG，
∴△BEF≌△FHG(AAS)．
∴EF=HG，BE=FH．
在Rt△ABE中，
∵tanA=BEAE=43，
∴设BE=4x，则AE=3x，
∴AB=5x，
∵AB=10，
∴5x=10．
∴x=2．
∴BE=8，AE=6．
∴FH=BE=8．
∵AB/​/CD，
∴∠CDH=∠A．
∴tan∠CDH=tanA=43．
∴HGDH=43．
设HG=4k，则DH=3k，
∴EF=HG=4k．
∵AD=15，
∴ED=AD−AE=9．
∴FD=9−4k．
∴FH=FD+DH=9−4k+3k=8，
∴k=1．
∴EF=HG=4．
∴BF=FG= EF2+BE2=4 5．
∴BG= 2BF=4 10；
②当点G落在BC边D的延长线上时，
过点B作BE⊥AF于点E，过点G作GH⊥DF，交FD的延长线于点H，如图，
同①可得：EF=HG，BE=FH，BE=8，AE=6，
过点F作FM⊥BC于点M，
∵△FBG为等腰直角三角形，
∴BG=2FM．
∵AD/​/BC，BE⊥AF，FM⊥BC，
∴FM=BE=8．
∴BG=2FM=16．
综上，当点G落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，BG的长为4 10或16．
【发现】连接OA，说明点A到圆心的距离等于半径即可；利用等弧对等弦得到∠AEF=∠AFE=45°，即可求得结论；
【论证】通过证明△AEF≌△DFH，即可证明结论成立；
【探究】利用相似三角形的判定与性质求得线段AF，DF，再利用勾股定理即可求解；
【拓展】利用分类讨论的方法分两种情况解答：】①当点G落在DC边上时，过点B作BE⊥AF于点E，过点G作GH⊥DF，交FD的延长线于点H，利用全等三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系求得线段BE，FE，利用勾股定理即可求解；当点G落在BC边D的延长线上时，过点B作BE⊥AF于点E，过点G作GH⊥DF，交FD的延长线于点H，同①的方法解答即可．
本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，点和圆的位置关系，三角函数值，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，分类讨论的思想方法，利用类比的方法解答是解题的关键．组别
月用水量
x吨/人
频数
频率
第一组
0.5100
0.1
第二组
1n
第三组
1.5200
0.2
第四组
2m
0.25
第五组
2.5150
0.15
第六组
350
0.05
第七组
3.550
0.05
第八组
4≤x<4.5
50
0.05
合计
1