2023-2024学年吉林省长春市南关区九年级（上）调研数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市南关区九年级（上）调研数学试卷（12月份）（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算 (−4)2的结果是( )
A. 4B. ±4C. 2D. −4
2.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 12B. 10C. 12D. 0.3
3.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+3x+m2−4=0有一个解为0，则m的值为( )
A. 2B. −2C. ±2D. 0
4.已知ab=32，则a+bb的值为( )
A. 32B. 43C. 52D. 53
5.如图，l1//l2//l3，直线AC、DF与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=3，DE=4，EF=8，则AC的长是( )
A. 6
B. 8
C. 9
D. 12
6.如图，小乐为测量自家池塘边上A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取一点O，记OA，OB的中点分别为点D，E，测得DE=18米，则A，B间的距离是( )
A. 18米
B. 24米
C. 34米
D. 36米
7.在二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
其中m的值是( )
A. 3B. −1C. 2D. −6
8.已知函数y=(x−m)2−1(m为常数)，当x>1时，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A. m≤1B. m≥1C. m<1D. m>1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.若二次根式 2x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.不解方程，判断方程4x2=3x−1的根的情况是______．
11.在比例尺为1：200000的长春市地图上，A中学和B中学的图上距离是5.75cm，则这两所学校的实际距离是______km．
12.如图，在平面直角坐标系中有△OAB，以点O为位似中心将△OAB放大.若对应点A、A′的坐标分别为(1,2)、(2,4)，则△AOB与△A′OB′的面积之比为______．
13.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F.若AB=3 2，则OF的长为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−2ax+2(a<0)交x轴正半轴于点C，交y轴于点A，AB/​/x轴交抛物线于点B，则△ABC的面积是______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：( 50− 32+ 32)× 3．
16.(本小题6分)
求证：对于任何实数m，关于x的方程x2−2mx+2m−2=0总有两个不相等实数根．
17.(本小题6分)
通过配方，写出抛物线y=−3x2+6x−7的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18.(本小题7分)
如图，在灯塔A周围20海里水域有暗礁.一艘由西向东航行的轮船航行到O处发现，灯塔A在轮船的北偏东63°的方向上，且与轮船相距52海里.若该轮船不改变航向，通过计算说明该轮船是否有触暗礁的危险.【参考数据：sin63°=0.891，cs63°=0.454，tan63°=1.963】
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上.在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹．
(1)在图①中以线段AB为边画△ABC，使点C在格点上，且tanA=1．
(2)在图②中以线段AB为边画△ABD，使tanA=23．
(3)在图③中以线段AB为边画△ABE，使面积为3个平方单位．
20.(本小题7分)
如图，点E在矩形ABCD的BC边上，将△AEB沿AE翻折得到△AEF，过点F作PQ/​/AB，交BC、AD于点P、Q．
(1)求证：△PEF∽△QFA．
(2)已知AB= 3，若△AEF与△AFQ相似，直接写出BE的长．
21.(本小题8分)
为了提升居民生活质量，完善社区公共区域配套设施，今年夏天长春市在多个城区实施了旧城改造工程.已知某工程队在开始施工的7月份为某小区翻新道路12000m2，为了在入冬前完成道路翻新工程，之后加快了工程进度，结果9月份为该小区翻新道路14520m2．
(1)求这两个月该工程队工作效率的月平均增长率．
(2)若10月份该工程队的工作效率按此增长率增长，估计到10月末该工程队能否完成该小区共55000m2的道路翻新任务？
22.(本小题9分)
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若PBAP=APAB，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金比．
(1)如图①，点P是线段AB的黄金分割点，设AB=1，AP=x，求黄金比x的值．
(精确到0.001，参考数据： 2=1.4142， 3=1.7321， 5=2.2361， 6=2.4495)
(2)如图②，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分线.求证：点D是线段AC的黄金分割点．
(3)如图③，点E是正方形ABCD的BC边的中点，以点E为圆心以ED长为半径画弧，交射线BC于点F，过点F作FG⊥BC交射线AD于点G.若AG=2 5，请直接写出AB的长．
23.(本小题10分)
法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0)的两个实数根分别为x1，x2，那么x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
(1)方程3x2−4x−2=0的两个实数根分别为x1，x2，求x1+x2和x1⋅x2的值．
(2)方程x2+2x−4=0的两个实数根分别为x1，x2，求x1x2+x2x1的值．
(3)若x1，x2为关于x的方程x2−(2m−3)x+m2−34=0的两个实数根，求x12+x22的最小值．
24.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，AB=10，BC=40，tanB=43，动点P从点B出发，先沿B−A以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿A−D−A以每秒10个单位长度的速度继续运动.与此同时，动点Q从点B出发，沿BC方向以每秒5个单位长度的速度运动.当其中一点到达终点时，P、Q两点同时停止运动.设运动时间为t(秒)，连结PQ．
(1)当点P沿B−A−D运动时，求AP的长(用含t的代数式表示)．
(2)当PQ⊥BC时，求t的值．
(3)连结AQ，当△APQ的面积等于8个单位面积时，求t的值．
(4)当点P在线段AD上时，把四边形PQBA沿PQ翻折得到四边形PQB′A′，直接写出B′A′⊥BC时t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： (−4)2= 42=4．
故选：A．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用二次根式的性质是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A． 12=2 3，选项A不符合题意；
B. 10不能再化简，选项B符合题意；
C. 12= 22，选项C不符合题意；
D. 0.3= 3010，选项D不符合题意；
故选：B．
根据最简二次根式的定义即可求解．
本题主要考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了一元二次方程的概念．把x=0代入方程(m−2)x2+3x+m2−4=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原方程二次项系数为0．
【解答】解：把x=0代入方程(m−2)x2+3x+m2−4=0中，得
m2−4=0，
解得m=−2或2，
当m=2时，原方程二次项系数m−2=0，舍去，
∴m=−2，
故选B．
4.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了比例的性质，正确用同一未知数表示出各数是解题关键．
直接利用已知设x表示出a，b，再代入，进而得出答案．
【解答】
解：∵ab=32，
∴设a=3x，b=2x (x≠0)，
故a+bb=3x+2x2x=52．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵l1/​/l2/​/l3，
∴ABBC=DEEF，即3BC=48，
解得：BC=6，
∴AC=AB+BC=3+6=9，
故选：C．
根据平行线分线段成比例定理得到ABBC=DEEF，把已知数据代入计算求出BC，进而求出AC．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：连接AB，
∵OA，OB的中点分别为点D，E，
∴DE是△OAB的中位线，
∵DE=18米，
∴AB=2DE=36米，
故选：D．
根据三角形的中位线定理，即可求解．
本题主要考查了三角形的中位线定理，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数解析式．也考查了二次函数的性质.利用表中数据和二次函数的性质得到x=4和x=−2的函数值相等，从而确定m的值为−6．
【解答】
解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线x=1，
所以x=4和x=−2的函数值相等，
即x=4时，y=−6，
所以m=−6．
故选D．
8.【答案】A
【解析】解：由函数y=(x−m)2−1(m为常数)，
得开口向上且对称轴为直线x=m，
由当x>1时，函数值y随x的增大而增大，
得直线x=1在直线x=m的右边或重合，
故m≤1．
故选：A．
由函数y=(x−m)2−1(m为常数)，得开口向上且对称轴为直线x=m，由当x>1时，函数值y随x的增大而增大，得直线x=1在直线x=m的右边或重合，故m≤1．
本题主要考查了抛物线的相关知识，解题关键是正确应用抛物线的对称性．
9.【答案】x≥52
【解析】解：依题意，得
2x−5≥0，
解得：x≥52．
故答案为：x≥52．
二次根式的被开方数是非负数．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10.【答案】没有实数根
【解析】解：∵4x2=3x−1，
∴4x2−3x+1=0，
∴Δ=(−3)2−4×4×1=−7<0，
所以方程没有实数根．
故答案为：没有实数根．
计算出判别式的值即可得出结论．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：
①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ<0时，方程无实数根．
11.【答案】11.5
【解析】解：设这两所学校的实际距离是x cm，
则：1：200000=5.75：x，
∴x=1150000，
∵1150000cm=11.5km，
∴这两所学校的实际距离是11.5km．
故答案为：11.5．
根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可．
本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，解答本题的关键是单位的换算．
12.【答案】1：4
【解析】解：∵以点O为位似中心将△OAB放大．对应点A、A′的坐标分别为(1,2)、(2,4)，
∴△AOB∽△A′OB′，且相似比为1：2，
∴△AOB与△A′OB′的面积之比为1：4，
故答案为：1：4．
根据位似变换的概念得到△AOB∽△A′OB′，且相似比为1：2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，
∴AD//BC，BE=12BC=12AD，BO=12BD，
∴△BEF∽△DAF，
∴BFDF=BEAD=12，
∴BF=12DF，
∴BF=13BD，
∵BO=12BD，
∴OF=OB−BF=12BD−13BD=16BD，
∵正方形ABCD中，AB=3 2，
∴BD= 2AB=6，
∴OF=1．
故答案为：1．
根据正方形的性质证明△BEF∽△DAF，得BF=13BD，然后根据BO=12BD，得OF=16BD，然后利用正方形的性质求出BD的长，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到△BEF∽△DAF．
14.【答案】2
【解析】解：∵抛物线y=ax2−2ax+2(a<0)，
∴该抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，当x=0时，y=2，
∴点A的坐标为(0,2)，
∵AB/​/x轴交抛物线于点B，
∴B(2,2)，
∴AB=2，OA=2，
∴S△ABC=12×2×2=2，
故答案为：2．
根据题目中的函数解析式，可以写出该函数的对称轴，点A的坐标，从而可以得到点B的坐标，然后即可计算出△ABC的面积．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是求出点A、B的坐标．
15.【答案】解：( 50− 32+ 32)× 3
=(5 2−4 2+ 62)× 3
=( 2+ 62)× 3
= 2× 3+ 62× 3
= 6+ 182
= 6+3 22．
【解析】先算括号里面的，再算乘法即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
16.【答案】证明：∵Δ=(−2m)2−4(2m−2)=4m2−8m+8=4(m−1)2+4，
∵(m−1)2≥0，
∴4(m−1)2+4>0，即Δ>0，
∴对于任何实数m，该方程总有两个不相等的实数根．
【解析】先计算Δ=(−2m)2−4(2m−2)=4m2−8m+8，配方得到Δ=4(m−1)2+4，由于(m−1)2≥0，则4(m−1)2+4>0，即Δ>0，根据△的意义即可得到对于任何实数m，该方程总有两个不相等的实数根．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有两实数根．
17.【答案】解：∵y=−3x2+6x−7=−3(x−1)2−4．
∴该抛物线的解析式为y=−3(x−1)2−4．
∵a=−3<0，
∴抛物线y=−3x2+6x−7的开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,−4)．
【解析】先提取二次项系数−3，然后利用完全平方公式配方即可，再根据二次项系数写出开口方向，然后写出对称轴与顶点坐标．
本题考查了二次函数的三种形式的互相转化，二次函数的性质，顶点式：y=a(x−h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)，其中(h,k)为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(h,k)．
18.【答案】解：由题意可知：在Rt△AOC中，∠OAC=63°，OA=52海里，
∵cs∠OAC=ACOA，
∴AC=OA⋅cs∠OAC=52×cs63°≈52×0.454=23.608(海里)，
∵23.608>20，
∴该轮船没有触暗礁的危险．
【解析】根据余弦的定义计算求出AC，比较大小得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.【答案】解：(1)取格点C，连接AC，BC，如图：

△ABC即为所求(答案不唯一)；
理由：由图可知，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴tanA=1；
(2)取格点K，连接BK交格线于D，连接AD，如图：

△ABD即为所求(答案不唯一)；
理由：由图可知，△ABK是等腰直角三角形，
∴BK=AB，∠B=90°，
∵BDBK=23，
∴BDAB=23，
∴tan∠BAD=23；
(3)取格点T，P，Q，连接BT，PQ交于E，连接AE，如图：

△ABE即为所求；
理由：由图可知，△BPE∽△TQE，
∴BEET=BPQT=32，
∴BE=35BT=35× 10=3 105，
同(2)知∠B=90°，
∴S△ABE=12AB⋅BE=12× 10×3 105=3(平方单位)．
【解析】(1)取格点C，连接AC，BC，△ABC为等腰直角三角形，故△ABC为所求；
(2)取格点K，连接BK交格线于D，连接AD，△ABD即为所求；
(3)取格点T，P，Q，连接BT，PQ交于E，连接AE，△ABE即为所求．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵PQ/​/AB，
∴∠EPF=∠AQF=90°，
∴∠PEF+∠PFE=90°．
又由翻折可知，∠AFE=∠B=90°，
∴∠AFQ+∠PFE=90°，
∴∠PEF=∠AFQ，
∴△PEF∽△QFA；
(2)解：由翻折可知：∠EAF=∠BAE，
∵△AEF与△AFQ相似，
∴∠EAF=∠FAQ，
∴∠EAF=∠FAQ=∠BAE=13∠BAD=30°，
∵AB= 3，
∴BE= 33AB=1．
【解析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠PEF=∠AFQ，进而可得结论；
(2)根据翻折和相似的性质证明∠EAF=∠FAQ=∠BAE=30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
21.【答案】解：(1)设该工程队工作效率的月平均增长率为x，
根据题意得：12000(1+x)2=14520，
解得：x1=0.1=10%，x2=−2.1 (不合题意舍去)，
答：该工程队工作效率的月平均增长率为10%；
(2)8月的工程量为：12000×(1+10%)=13200(m2)，10月的工程量为：14520×(1+10%)=15972(m2)，
∵12000+13200+14520+15972=55692>55000，
∴该工程队能完成该小区的道路翻新任务，
答：到10月末该工程队能完成该小区共55000m2的道路翻新任务．
【解析】(1)设该工程队工作效率的月平均增长率为x，根据某工程队在开始施工的7月份为某小区翻新道路12000m2，之后加快了工程进度，结果9月份为该小区翻新道路14520m2.列出一元二次方程，解值取其正值即可；
(2)求出8月的工程量和10月的工程量，即可解决问题．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】(1)解：根据题意得，1−xx=x，
解得，x1=−1− 52(舍)，x2=−1+ 52≈0.618．
(2)证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=180°−362=72°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠C，△BCD∽△ABC．
∴AD=BD，BC=BD．
又∵△BCD∽△ABC，
∴DCBC=BDAC，
∴DCAD=ADAC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
(3)解：设BE=CE=m，
∴CD=2m，
∴DE= CE2+DC2= 5m，
由作图可知，DE=EF= 5m，
∴BF=m+ 5m，
由作图可知四边形ABFG是矩形，
∴AG=BF=2 5，
∴m+ 5m=2 5，
∴m=5− 52，
∴AB=5− 5．
【解析】(1)解一元二次方程可得出答案；
(2)证明△BCD∽△ABC，得出DCBC=BDAC，则可得出结论；
(3)由勾股定理求出BE即可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了黄金分割，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵一元二次方程3x2−4x−2=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−−43=43，x1x2=−23=−23；
(2)∵一元二次方程x2+2x−4=0的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−2，x1x2=−4，
∴x1x2+x2x1=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−4)−4=−3．
(3)∵方程x2−(2m−3)x+m2−34=0有两个实数根，
∴Δ=(2m−3)2−4(m2−34)≥0，
解得m≤1，
∵x1，x2为关于x的方程x2−(2m−3)x+m2−34=0的两个实数根，
∴x1+x2=2m−3，x1x2=m2−34，
∴x12+x22
=(x1+x2)2−2x1x2
=(2m−3)2−2(m2−34)
=2m2−12m+212
=2(m−3)2−152．
∵m≤1，
∴m=1时，x12+x22有最小值，最小值为12．
【解析】(1)利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值；
(2)将x1+x2=−2，x1x2=−4代入x1x2+x2x1变形后的式子即可求出结论；
(3)先求得m的取值范围，然后利用根与系数的关系，即可得出x1+x2及x1x2的值，x12+x22变形为(x1+x2)2−2x1x2，把x1+x2及x1x2的值代入即可得到x12+x22关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求得x12+x22的最小值．
本题考查根的判别式，根与系数的关系，二次函数的性质，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
24.【答案】解：(1)当点P在AB上时，即0≤t<2，
∴AP=AB−BP=10−5t；
当点P在AD上时，即2≤t≤6，
∴AP=AD−PD=10t−20．
(2)当点P在AD上时，如图，即2≤t<6，作AM⊥BC交于点N，

∵PQ⊥BC，tanB=AMBM=43，AB=10，
∴BM=6，
∴点Q比点P的路程多6，
∴5t=6+10(t−2)，
解得：t=145；
如图，当6≤t≤8时，

∴5t=6+100−10t，
∴t=10615．
综上，t=145或t=10615；
(3)当点P在BA上时，如图，0≤t<2时，

∴S△APQ=12AP⋅MQ=−10t2+20t=8，
解得：t1=5+ 55，t2=5− 55．
如图①，2≤t≤6时，40t−80=8，t3=115，
如图②，6≤t≤8时，−40t+400=8，t=495(舍)．
(4)t=103或t=629．
如图④，

∵csB=csB′=A′B′QB′，
∴105t=35，
∴t=103；
如图⑤，过点A作AF⊥BC于点F，QE⊥AD于点E，B′A′⊥BC于点N，延长B′N交AD的延长线于点M，

∵sinB′=sinB=QNQB′=45，BQ=5t，
∴QN=4t=EM，PA=PA′=−10t+100，
PM=−8t+80，AE=FQ=5t−6，
∴PE=AP−AE=−15t+106，
∵PM+PE=QN，
∴−15t+106−8t+80=4t，
解得t=629．
【解析】(1)当点P在BA上时，即0≤1<2，AP=AB−BP，当点P在AD上时，即2≤t≤6，AP=AD−PD；
(2)当PQ⊥BC时，因为tanB=43，所以点Q比点P的路程多6，由此列方程即可求解；
(3)当点P在BA上时，即0<1<2，△APQ的面积等于−10t2+20t=8，当点P在AD上时，即2≤t≤6，由tanB=43得平行线间的距离为8，△APQ的面积等于12×8×CQ即可求解；
(4)分两种情况讨论，当点P在移动时或点P在未移动时，由翻折的性质可列方程求解．
本题为四边形的综合题涉及到解直角三角形、动点问题等，分类求解和数形结合是解题的关键． x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
−22
−13
m
−1
2
3
2
−1
−6
…