2023-2024学年河南省鹤壁市部分学校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省鹤壁市部分学校联考九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.式子 −2x+1x+1有意义的x的取值范围是( )
A. x≥12B. x≠−1C. x≤12且x≠−1D. x<12且x≠−1
2.下列各式计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 4 3−3 3=1C. 27÷ 3=3D. 2 3×3 3=6
3.某品牌今年推出新品销售，1月份销售量为5万件，由于质量过硬，市场反馈良好，销售量逐月增加，一季度共销售23.75万件，已知2、3两个月份销售量的月增长率相同.设2月份销售量的月增长率为x，则可列方程为( )
A. 5(1+x)2=23.75B. 5+5(1+x)2=23.75
C. 5(1+2x)2=23.75D. 5+5(1+x)+5(1+x)2=23.75
4.关于a的一元二次方程(n+2)a2+(n2−3)a+1=0的一个根是−1，则n的值为( )
A. 3B. 0.2C. 3或−2D. −2
5.如图所示，在菱形ABCD中，BC=13，点E在BD上，点F为AD的中点，FE⊥BD，垂足为点E，EF=6，则BD的长为( )
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
6.如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC的顶点都在格点上，则cs∠ABC的值是( )
A. 13
B. 12
C. 55
D. 2 55
7.如图所示，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中，错误的是( )
A. △ABC与△DEF是位似图形
B. △ABC与△DEF的相似比为1：2
C. △ABC与△DEF的周长之比为2：1
D. △ABC与△DEF的面积之比为4：1
8.如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕点C(0,−2)的坐标旋转180°得到△A1B1C，设点A1的坐标为(a,b)，则点A的坐标为( )
A. (−a,−b+4)
B. (−a+4,−b)
C. (−a−4,−b)
D. (−a,−b−4)
10.如图，四边形ABCD为正方形，∠CAB的平分线交BC于点E，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，延长AE交CF于点G，连接BG，DG，DG与AC相交于点H.有下列结论：①BE=BF；②∠ACF=∠F；③BG⊥DG；④AEDH= 2.其中正确的是( )
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知 3−x+ x−3+1=y，则x+y的算术平方根是______．
12.已知ab=cd=ef=35，b+d+f=10，那么a+c+e= ______．
13.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，AB=12cm，AE=6cm，EC=4cm，且ADDB=AEEC，则AD= ______．
14.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果C△ADCC△CDB=32，AD=9，那么BC的长为______．
15.如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG、BF、CF，∠GAE=45°.下列结论：①△ABG≌△AFG；②FG=CG；③AG/​/CF；④S△BFC=365.其中正确结论是______.(请填写正确选项序号)
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：3tan30°−2tan45°×cs30°+(−12)−2；
(2)解方程：2x(x+2)+x=−2．
17.(本小题9分)
先化简，后求值：x2+y2−2x+2y+2，其中x= 2+1，y= 2−1．
18.(本小题9分)
关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+2k=0．
(1)求证：无论k取任何实数，方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个根x1，x2满足3x1+3x2−x1x2=6，求k的值．
19.(本小题9分)
如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，AE⊥DE，∠DAE=30°，若DE=m+n，且m、n满足m= n−8+ 16−2n+2，试求BE的长．
20.(本小题9分)
鸿星尔克专卖店销售一批衬衫、会计做账时发现如果每件衬衫盈利40元，平均每天可售出20件老板为了用扩大销售量来增加盈利.该商场决定采取适当降价措施.发现如果每件衬衫每降价1元.该商场平均每天可多售出2件衬衫．
(1)若某天该衬衫每件降价3元，当天可获利多少？
(2)如果该商场平均每天盈利1200元且要求尽可能减少库存，用那么该衬衫每件应降价多少元？
21.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动；同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动.当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动.设点P、Q运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，△PBQ的面积为9？
(2)当△PBQ与△ABC相似时，t的值是多少？
22.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，点G是对角线上一点，CG的延长线交AB于点E，交DA的延长线于点F，连接AG．
(1)求证：AG=CG；
(2)求证：△AEG∽△FAG；
(3)若GE⋅GF=9，求CG的长．
23.(本小题10分)
【问题发现】
(1)如图1所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为AC边上一点，且AD=2DC，过点D作DE/​/AB，交BC边于点E，AD与BE的数量关系为______，直线AD与BE所夹锐角为______；
【知识迁移】
(2)如图2所示，将(1)中的△DEC绕点C顺时针旋转，连接AD，BE，两线交于点P，请问(1)中的结论还成立吗？请说明你的理由；
【经验升华】
(3)如图3所示，∠ABC=60°，AB=3，其他条件同(1)，在△DCE绕点C的旋转过程中，请直接写出A，D，E三点共线时AE的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，−2x+1≥0且x+1≠0，
解得x≤12且x≠−1．
故选：C．
根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】C
【解析】解：∵ 2+ 3不能合并，故选项A错误；
∵4 3−3 3= 3≠1，故选项B错误；
∵ 27÷ 3= 9=3，故选项C正确；
∵2 3×3 3=18≠6，故选项D错误；
故选：C．
计算出各个选项中式子的正确结果，然后对照，即可得到哪个选项是正确的．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
3.【答案】D
【解析】解：∵1月份销售量为5万件，2、3两个月份销售量的月增长率为x，
∴2月份销售量为5(1+x)万件，3月份销售量为5(1+x)2万件．
根据题意得：5+5(1+x)+5(1+x)2=23.75．
故选：D．
由1月份的销售量及2、3两个月份销售量的月增长率，可得出2、3两个月份的销售量，结合一季度共销售23.75万件，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵关于a的一元二次方程(n+2)a2+(n2−3)a+1=0的一个根是−1，
∴n+2−(n2−3)+1=0，
整理得，n2−n−6=0，
解得n1=3，n2=−2，
故选：A．
把a=−1代入方程得n2−n−6=0，再求解即可．
本题考查一元二次方程的解、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，AD=BC=13，AC⊥BD，
∵FE⊥BD，
∴FE/​/AC，
∵F为AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OA=2EF=12，
∴OD= AD2−OA2= 132−122=5，
∴BD=2OD=10，
故选：B．
连接AC交BD于O，由菱形的性质得OB=OD，AD=BC=13，AC⊥BD，再证EF是△AOD的中位线，得OA=2EF=10，然后由勾股定理求出OD=5，即可求解．
本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：观察图象可知：∠ACB=90°，
∵AB= 32+42=5，BC= 12+22= 5，
∴cs∠ABC=BCAB= 55，
故选：C．
首先判断∠ACB=90°，利用勾股定理求出AB，BC即可解决问题．
本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7.【答案】B
【解析】解：A.根据位似性质得出：△ABC与△DEF是位似图形，则A选项正确，不符合题意；
B.△ABC与△DEF是相似图形，相似比为2：1，则B选项错误，符合题意；
C.∵将△ABC的三边缩小的原来的12，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故C选项正确，不符合题意；
D.根据面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，则C选项正确，不符合题意．
故选：B．
根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出；△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵D、E分别是边BC、AB的中点，AD、BF相交于G，
∴G为△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∵AD=6，
∴AG=4，
故选：C．
根据D、E分别是边BC、AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长．
此题主要考查了三角形重心的性质，根据已知得出G为△ABC的重心是解决问题的关键．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
9.【答案】D
【解析】解：由题知，
点C是AA1的中点，
又C(0,−2)，A1(a,b)，
所以：a+xA2=0，b+yA2=−2．
得xA=−a，yA=−b−4．
即A(−a,−b−4)．
故选：D．
利用中心对称的性质可知，点C是AA1的中点，再根据中点坐标公式可得点A的坐标．
本题考查利用中心对称求点的坐标，发现点C是AA1的中点，并正确使用中点坐标公式是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠CBF=90°，
∵AG⊥CF，
∴∠AGF=90°，
∴∠GAF+∠F=90°，
∵∠BAF+∠F=90°，
∴∠GAF=∠BCF，
∴△ABE≌△CBF(ASA)，
∴BE=BF，
故①正确；
②由正方形的性质得∠BAC=∠ACB=45°，
∵AE平分∠ACB，
∴∠BAE=∠BCF=22.5°，
∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=67.5°，∠F=∠AEB=90°−22.5°=67.5°，
∴∠ACF=∠F=67.5°，
故②正确；
③∵∠CBF=90°，FG=CG，
∴BG=CG，
∴∠CBG=∠BCG，
∵∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠ABG=∠DCG，
∵AB=DC，
∴△ABG≌△DCG(SAS)，
∴∠AGB=∠DGC，
∵∠ACF=∠F，AE平分∠ACB，
∴AG⊥CF，
∴∠AGB+∠DGA=∠DGC+∠DGA=90°，
∴BG⊥DG，
故③正确；
④∵△ABG≌△DCG，
∴∠CDG=∠BAG=∠CAG，
∵∠DCH=∠ACE，
∴△DCH∽△ACE，
∴DHAE=DCAC= 22，
∴AEDH= 2，
故④正确，
综上，正确的结论是①②③④，
故选：D．
①由旋转的性质得△ABE≌△CBF，可得BE=BF；②由正方形的性质得∠BAC=∠ACB=45°，即∠BAE=∠BCF=22.5°，进而可得∠ACF=∠F=67.5°；③先证明△ABG≌△DCG(SAS)，可得∠AGB=∠DGC，根据∠ACF=∠F，AE平分∠ACB可得AG⊥CF进而可得BG⊥DG；④先证明△DCH∽△ACE，可得DHAE=DCAC= 22，即AEDH= 2，故可求解．
本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判断，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大，灵活运用这些知识解题是关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵ 3−x与 x−3同时成立，
∴3−x≥0x−3≥0，解得x=3，故y=1，x+y=4，
∴x+y的算术平方根是2．
根据 3−x与 x−3同时成立，被开方数为非负数，列不等式组先求得x的值，再求y的值，从而求得x+y的值．
根据 3−x与 x−3同时成立，得到x的值是解答问题的关键．
12.【答案】6
【解析】解：设ab=cd=ef=35，
∴a=35b，c=35d，e=35f，
∴a+c+eb+d+f=35b+35d+35fb+d+f=35，
∵b+d+f=10，
∴a+c+e10=35，
∴a+c+e=35×10=6．
故答案为：6．
根据比例的性质求出a=35b，c=35d，e=35f，求出a+c+eb+d+f=35，把b+d+f=10代入，再求出答案即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
13.【答案】365cm
【解析】解：∵ADBD=AEEC，即ADAB−AD=AEEC，
∴AD12−AD=64=32，
∴AD=365．
故答案为：365cm．
利用比例线段得到AD12−AD=32，然后根据比例性质求AD．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．也考查了比例的性质．
14.【答案】2 13
【解析】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD，△ADC∽△CDB，
∴ABCB=BCBD，C△ADCC△CDB=ADCD=DCDB=32，
∴BC2=AB⋅BD，CD=23AD=6，
∴DB=23DC=4，
∴AB=AD+DB=13，
∵BC2=AB⋅BD，
即BC2=13×4=52，
∴BC=2 13，
故答案为：2 13．
证明△ABC∽△CBD得到BC2=AB⋅BD，再根据相似图形的性质求出DB=4，AB=13，从而得解．
本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15.【答案】①②③④
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，
∴DE=2，EC=4，
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，
∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
AG=AGAB=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=12∠BAD=45°，故①正确；
设BG=x，则GF=x，CG=BC−BG=6−x，
在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6−x，
∵CG2+CE2=GE2，
∴(6−x)2+42=(x+2)2，解得x=3，
∴BG=3，CG=6−3=3
∴BG=CG=FG，故②正确；
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠GCF，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB=∠AGF，
而∠BGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠GCF，
∴CF/​/AG，故③正确；
过F作FH⊥DC于H，
∵BC⊥DH，
∴FH//GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴FHGC=EFEG，
∵EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴FHGC=EFEG=25，
∴FH=25GC=25×3=65，
∴S△FGC=S△GCE−S△FEC=12×3×4−12×4×65=185，
∵BG=GC，
∴S△BFC=2S△FGC=365，故④正确．
故答案为：①②③④．
先求出DE=2，EC=4，由折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，由“HL”证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=12∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC−BG=6−x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得(6−x)2+42=(x+2)2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF/​/AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为25，可计算S△FGC，即可求解．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
16.【答案】解：(1)3tan30°−2tan45°×cs30°+(−12)−2
=3× 33−2×1× 32+4
=4；
(2)2x(x+2)+x=−2，
∴2x(x+2)+(x+2)=0，
即(x+2)(2x+1)=0，
∴x+2=0或2x+1=0，
解得x1=−2，x2=−12．
【解析】(1)根据特殊角的三角函数值以及负整数正数幂的定义计算即可；
(2)方程整理后，利用因式分解法求解即可．
本题考查了特殊角的三角函数值以及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值以及因式分解法是解答本题的关键．
17.【答案】解：∵x= 2+1，y= 2−1，
∴x+y=2 2，x−y=2，xy=2−1=1，
∴x2+y2−2x+2y+2
=(x+y)2−2xy−2(x−y)+2
=(2 2)2−2×1−2×2+2
=8−2−4+2
=4．
【解析】先将x2+y2−2x+2y+2变形为(x+y)2−2xy−2(x−y)+2，然后将x和y的值代入求解即可．
本题考查了二次根式的化简，解答本题的关键在于先将x2+y2−2x+2y+2变形为(x+y)2−2xy−2(x−y)+2，然后将x和y的值代入求解．
18.【答案】(1)证明：∵Δ=[−(2k+1)]2−4×1×2k
=(2k−1)2≥0，
∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；
(2)解：根据题意得x1+x2=2k+1，x1⋅x2=2k，
∵3(x1+x2)−x1⋅x2=6，
∴3(2k+1)−2k=6，
∴k=34．
【解析】(1)计算判别式的值，再利用配方法得到Δ=(2k−1)2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
(2)根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+1，x1⋅x2=2k，而3(x1+x2)−x1⋅x2=6，所以3(2k+1)−2k=6，然后解关于k的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
19.【答案】解：∵m、n满足m= n−8+ 16−2n+2，
∴n−8≥016−2n≥0，
∴n=8，
∴m=2，
∵DE=m+n，
∴DE=10，
∵AE⊥DE，∠DAE=30°，
∴AD=2DE=20，∠ADE=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，BC=AD=20，
∴∠CDE=30°，
∴CE=12DE=5，
∴BE=BC−CE=20−5=15．
【解析】本题考查了二次根式有意义的条件、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握二次根式有意义的条件、矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
根据二次根式的意义求出m、n，得出DE，再由含30°角的直角三角形的性质得出AD，由矩形的性质得出∠ADC=90°，BC=AD=20，得出∠CDE=30°，求出CE，即可得出BE的长．
20.【答案】解：(1)(20+2×3)×(40−3)=962元．
(2)若商场平均每天要盈利1200元，设每件衬衫应降价x元，
依题意得：(20+2x)(40−x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
答：每件衬衫降价10元或20元时，商场平均每天可以盈利1200元．
【解析】(1)根据题意列出算式即可求解；
(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是找到等量关系．
21.【答案】解：(1)由题意得，AP=t，BQ=2t，则PB=6−t．
∴S△PBQ=12PB⋅BQ
=12 (6−t)⋅2t
=−t2+6t，
由题意得−t2+6t=9，
解得t1=t2=3，
所以运动时间t为3s；
(2)若当△PBQ∽△ABC时，PBBQ=ABBC．
即6−t2t=68，
解得t=125；
当△PBQ∽△CBA时，PBBQ=BCAB．
即6−t2t=86，
解得t=1811．
综上所述，当△PBQ与△ABC相似时，t的值是125或1811．
【解析】(1)设经过x秒，△PBQ的面积等于9，先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出；
(2)利用相似三角形对应边的比相等列出方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用及相似三角形的判定．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．
22.【答案】(1)证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，
在△ADG和△CDG中，
AD=CD∠ADG=∠CDGDG=DG，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴AG=CG；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD/​/CB，
∴∠FCB=∠F，
由(1)可知△ADG≌△CDG，
∴∠DAG=∠DCG，
∴∠DAB−∠DAG=∠DCB−∠DCG，即∠BCF=∠BAG，
∴∠EAG=∠F，
又∠EGA=∠AGF，
∴△AEG∽△FAG；
(3)解：由(2)得△AEG∽△FAG，
∴GEAG=GAFG，即GA2=GE⋅GF=9，
∴GA=3或GA=−3(舍去)，
根据(1)中的结论得AG=CG，
∴CG=3．
【解析】(1)根据正方形的性质得到∠ADB=∠CDB=45°，AD=CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG(SAS)，进而利用全等三角形的性质进行证明即可；
(2)根据正方形的性质得到AD/​/CB，推出∠FCB=∠F，由(1)可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG=∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB−∠DAG=∠DCB−∠DCG，推出∠BCF=∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理即可得到△AEG∽△FAG；
(3)根据相似三角形的性质进行求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系．
23.【答案】AD= 22BE 45°
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=45°，
∴sin∠ABC=sin45°=ACBC= 22，∠C=90°−45°=45°，
∵DE//AB，
∴∠EDC=∠A=90°，ADBE=ACBC= 22，
∴AD= 22BE，
∵∠C=45°，
∴直线AD与BE所夹锐角为45°，
故答案为：AD= 22BE，45°；
(2)(1)中的结论还成立，理由如下：
∵△ABC和△DEC是等腰直角三角形，
∴DCEC=ACBC= 22，∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽ACD，
∴ADBE=ACBC= 22，∠CBE=∠CAD，
∴AD= 22BE，
在△APB中，∠APB=180°−∠BAP−∠ABP=180°−∠BAC−∠ABC=45°，
故(1)中的结论还成立；
(3)在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=3，
∴∠ACB=30°，
∴BC=2AB=6，AC=AB⋅tan60°=3 3，
∴CD= 3，
同上结论可得，ADBE= 32，直线AD与BE所夹锐角为30°，
∴∠AEB=30°，∠CED=60°，
∴∠BEC=180°−30°−60°=90°，
在Rt△CED中，DE=CD⋅tan30°= 3× 33=1，
∴CE=2DE=2，
如图4，E在线段AD上时，
在Rt△BEC中，BC=6，CE=2，
∴BE= BC2−CE2= 62−22=4 2，
由ADBE= 32得，AD= 32BE=2 6，
∴AE=AD−DE=2 6−1，
如图5，E在线段AD的延长线上时，AE=AD+DE=2 6+1，
综上，A，D，E三点共线时AE的值为2 6−1或2 6+1．
(1)解直角三角形sin∠ABC=ACBC= 22，∠C=45°，根据平行线分线段成比例定理求解即可；
(2)结合等腰直角三角形的性质推出△BCE∽ACD，根据相似三角形的性质及三角形内角和定理求解即可；
(3)解直角三角形求出BC=2AB=6，CD= 3，同(2)结论可得，ADBE= 32，直线AD与BE所夹锐角为30°，则DE=CD⋅tan30°=1，CE=2DE=2，分两种情况：E在线段AD上时，E在线段AD的延长线上时，根据勾股定理及线段的和差求解即可．
此题是几何变换的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意画出正确的图形是解本题的关键．