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2023-2024学年河北省保定师范附属学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河北省保定师范附属学校八年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数：237、3.14、 27、0．2⋅、−0.8、38、0.3131131113中，其中无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.在下列由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是( )
A. a=3，b=5，c=7B. a=4，b=6，c=8
C. a=5，b=7，c=9D. a=6，b=8，c=10
3.在平面直角坐标系中，点A(4,−3)关于y轴对称点为B，则点B所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.小明作业中出现的情况，结果正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. −36−4= −36 −4C. ( 3)2=3D. 18= 88
5.点P在第三象限，若该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标是( )
A. (−1,3)B. (−3,−1)C. (3,−1)D. (−1,−3)
6.关于 5，37，2大小比较正确的是( )
A. 37<2< 5B. 5<37<2C. 37< 5<2D. 2< 5<37
7.若|x−3|+ y+4=0，则(x+y)2022的值为( )
A. −1B. −2C. 2D. 1
8.如图是做课间操时小明、小刚和小红三人的相对位置，如果用(2,3)表示小明的位置，(0,2)表示小刚的位置，则小红的位置可表示为( )
A. (−1,−1)
B. (0,0)
C. (1,0)
D. (1,1)
9.已知直线y=−3x+b经过点A(1,y1)和点B(−2,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y110.已知点(m,n)为第二象限内的点，则一次函数y=−mnx−m的图象大致是( )
A. B. C. D.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，则AB=( )
A. 5B. 7C. 13D. 15
12.一次函数y=kx+b的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是( )
A. y随x的增大而增大
B. x=2是方程kx+b=0的解
C. 一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限
D. 一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(12,0)
13.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M为( )
A. 2B. 5−1C. 10−1D. 5
14.如图，圆柱底面半径为4πcm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为( )
A. 21cm
B. 24cm
C. 30cm
D. 32cm
15.如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(8,0)，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为( )
A. (2,0)B. (72,0)C. (174,0)D. (5,0)
16.公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村(到了C村不继续往前骑行，也不返回)，如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系，下列结论：
①A，B两村相距12km；
②小明每小时比小红多骑行8km；
③出发1.5h后两人相遇；
④图中a=1.65．
其中正确的是( )
A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.计算：− 25=______．
18.若点P的坐标是(2,−4)，平行于x轴的线段PQ的长为3，则点Q的坐标是______．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1//y轴，交直线y=12x于点B，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2//y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，以A2为直角顶点.A2B2为直角边，在A2B2的右侧作等腰直角三角形A1B1C1，按此规律进行下去，点C1的横坐标为______，点C2021的横坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
20.观察：∵ 4< 7< 9，即2< 7<3，∴ 7的整数部分为2，小数部分为 7−2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
(1)规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[45]=0，[π]=3，
填空：[ 10+2]=______；[5− 13]=______．
(2)如果5+ 13的小数部分为a，5− 13的小数部分为b，求a+b的值．
四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题16分)
计算：
(1) 12× 75；
(2)( 3+ 2)( 2− 3)；
(3) 20+ 5 5−2；
(4) 28+ 700− 17．
22.(本小题7分)
海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
23.(本小题9分)
如图，在直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，请回答下列问题：
(1)请直接写出A、B、C三点的坐标______、______、______．
(2)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
(3)△ABC的面积为______．
(4)在x轴上找到一点P，使△ABP的周长最小，直接写出这个周长的最小值：______．
24.(本小题8分)
在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．
(1)上表反映了两个变量之间的关系，______是自变量；______是因变量；
(2)当不挂重物时，弹簧的长度为______；
(3)当所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加______；
(4)根据上表，y(cm)与x(kg)的关系式为______，当所注物为7kg时(在允许范围内)，弹簧长度为______．
25.(本小题10分)
综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
等式1： 1+13=2 13；
等式2： 2+14=3 14；
等式3： 3+15=4 15；
等式4：______；
(2)观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为______，并证明你的猜想；
(3)应用运算规律．
化简： 99+1101× 199+1201× 402× 101．
26.(本小题10分)
如图，已知直线AB与正比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(5,5)，与x轴交于点B，与y轴交于点C(0,53).点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，向右作矩形PDEF，满足PD//x轴，且PD=1，PF=2．
(1)求k值及直线AB的函数表达式；
(2)判定t=1时，点E是否落在直线AB上，请说明理由；
(3)在点P运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 27是无理数．
故选：A．
理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查的是无理数，无理数就是无限不循环小数．
2.【答案】D
【解析】解：A、32+52≠72，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、42+62≠82，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
C、52+72≠92，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
D、62+82=102，故线段a、b、c组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】C
【解析】解：∵点A(4,−3)关于y轴对称点为B(−4,−3)，
∴点B所在的象限为第三象限，
故选：C．
点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)，由此可得结论．
本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
4.【答案】C
【解析】解：A． 2和 3不能合并，故本选项不符合题意；
B. −36−4= 364= 36 4，故本选项不符合题意；
C.( 3)2=3，故本选项符合题意；
D. 18= 1×28×2= 24，故本选项不符合题意．
故选：C．
先根据二次根式的加法，二次根式的除法，二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∴点的纵坐标是±3，横坐标是±1，
又∵第三象限内的点横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴点的横坐标是−1，纵坐标是−3．
故点P的坐标为(−1,−3)．
故选：D．
根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可．
本题主要考查了点的坐标的几何意义：横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
6.【答案】A
【解析】解：∵ 5> 4=2，
∴ 5>2，
∵37<38=2，
∴37<2，
∴37<2< 5，
故选：A．
一个正数越大，它的算术平方根和立方根也就越大，从而可以得到 5> 4=2，37<38=2，即可得到答案．
本题考查了实数大小比较的方法，掌握“一个正数越大，它的算术平方根和立方根也就越大”是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：|x−3|=3， y+4=0，
∴x−3=0，y+4=0，
解得x=3，y=−4，
则(x+y)2022=(−1)2022=1．
故选：D．
本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再把x、y的值代入求解．
本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
8.【答案】A
【解析】解：坐标原点如图所示，
小红的位置为(−1,−1)．
故选A．
根据小刚的位置向下2个单位确定出坐标原点的位置，然后建立平面直角坐标系，再写出小红的位置即可．
本题考查了坐标位置的确定，根据已知小刚的位置确定出坐标原点的位置是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵k=−3<0，y将随x的增大而减小，1>−2，
∴y1故选：B．
根据k=−3<0，y将随x的增大而减小，得出y1与y2的大小关系．
本题考查一次函数的图象性质，关键是根据当k>0，y随x增大而增大；当k<0时，y将随x的增大而减小．
10.【答案】A
【解析】解：∵点(m,n)为第二象限内的点，
∴m<0，n>0，
∴−mn>0，−m>0，
∴一次函数y=−mnx−m的图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
根据点(m,n)为第二象限内的点，可判定m，n的符号，判定−mn，−m的符号，再根据一次函数图象的性质即可求解．
本题主要考查一次函数图象的性质，掌握点在平面直角坐标系中的特点，一次函数图象的性质是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，
∴BC=4，AC=3，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得，AB= BC2+AC2= 42+32=5，
故选：A．
根据勾股定理的证明得出AB解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理的证明得出AB解答．
12.【答案】C
【解析】解：由题意得，当x=1时，y=−1，当x=0时，y=2，
则k+b=−1b=2，
解得：k=−3b=2，
函数解析式为：y=−3x+2，
A、∵k=−3<0，
∴y随x的增大而减小，故错误；
B、当x=2时，y=−3×2+2=−4，
∴x=2是方程kx+b=4的解，故错误；
C、∵k=−3<0，b=2>0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，故正确；
D、令y=0，则−3x+2=0，解得x=23，
∴一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点为(23,0)，故错误；
故选：C．
根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可．
本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：由题意得，AC= AB2+BC2= AD2+DC2= 10，
故可得AM= 10，
∴点M为 10−1，．
故选：C．
在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M表示的数．
此题考查了勾股定理及数轴轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．
14.【答案】C
【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是AD→DE→EB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：AD+DE+EB；
∵圆柱体底面半径为4πcm，
∴AC=2π×4π=8cm，
∵圆柱体的高h=18cm，
∴CD=13h=6cm，
∴在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2= 62+82=10cm，
∵AD=DE=EB，
∴AD+DE+EB=3AD=30cm．
故选：C．
要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．
本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．
15.【答案】C
【解析】解：作出题目中给出的图形：
已知AC=3，OC=2，OB=8，
在D点小蓓与汽车相遇，设OD=x，
则CD=x−2，
在直角△ACD中，AD为斜边，
则AD2=AC2+CD2，
AD= 32+(x−2)2
∵OD=x，则BD=8−x，
存在8−x= 32+(x−2)2，
两边平方得到，(8−x)2=32+(x−2)2，
整理得：12x=51
解得：x=174，
故D点坐标(174,0)
故选：C．
在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD=x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC=OB−OC=8，根据BD=AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了根据题意画出图形的能力，本题中找到汽车行驶速度为摩托车速度的2倍的等量关系，并且根据其求D点坐标是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：由图象可得，
A，B两村相距12km，故①正确，符合题意；
小明的速度为：12÷0.6=20(km/h)，小红的速度为：33÷2.75=12(km/h)，
则小明每小时比小红多骑行20−12=8km，故②正确，符合题意；
设出发mh后两人相遇，
则20(m−0.6)=12m，
解得：m=1.5，
即出发1.5h后两人相遇，故③正确，符合题意；
a=0.6+33÷20=2.25，故④错误，不符合题意；
故选：C．
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】−5
【解析】解：∵52=25，
∴ 25=5，
∴− 25=−5，
故答案为：−5．
依据算术平方根的定义和相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
18.【答案】(−1,−4)或(5,−4)
【解析】解：因为线段PQ平行于x轴，
所以P，Q两点的纵坐标相等，
又P点的坐标是(2,−4)，
所以点Q的纵坐标是−4，
又PQ=3，
所以点Q的横坐标为−1或5．
因此点Q的坐标是(−1,−4)或(5,−4)．
根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等可解决问题．
本题考查坐标与图形的性质，熟知平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等是解题的关键．
19.【答案】3 2×(32)2021
【解析】解：∵点A1(2,2)，A1B1//y轴交直线y=12x于点B，
∴B1(2,1)，
∴A1B1=2−1=1，即A1C1=1，
∵A1C1=A1B1=1，
∴点C1的横坐标为3=2×32，
∵过点C1作A2B2//y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，
∴A2(3,3)，B2(3,32)
∴A2B2=3−32=32，
∴A2C2=32，
∴点C2的横坐标为，92=2×(32)2；
以此类推，
A3B3=94，即A3C3=94，
∴点C3的横坐标为274=2×(32)3，
A4B4=278，即A4C4=278；
点C4的横坐标为818=2×(32)4…
∴AnBn=(32)n−1，即AnCn=(32)n−1．
∴点Cn的横坐标为2×(32)n，
∴点C2021的横坐标为2×(32)2021．
故答案为：3,2×(32)2021．
先根据题目中的已知条件求出点C1的横坐标为3=2×32，点C2的横坐标为92=2×(32)2，点C3的横坐标为274=2×(32)3，点C4的横坐标为818=2×(32)4…，由此总结得出点Cn的横坐标为2×(32)n，最后求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点Cn的横坐标为2×(32)n．
本题考查等腰直角三角形的性质、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，掌握等腰直角三角形的性质是解题关键．
20.【答案】解：(1)5 ；1 ；
(2)根据题意得：a=5+ 13−8，b=5− 13−1，
则a+b=5+ 13−8+5− 13−1=1．
【解析】【分析】
此题考查了估算无理数的大小，弄清题中的新规定是解本题的关键．
(1)根据已知的新定义确定出所求即可；
(2)根据题意确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：(1)根据题意得：[ 10+2]=5；[5− 13]=1；
故答案为5；1；
(2)根据题意得：a=5+ 13−8，b=5− 13−1，
则a+b=5+ 13−8+5− 13−1=1．
21.【答案】解：(1) 12× 75
=2 3×5 3
=10×( 3)2
=30；
(2)( 3+ 2)( 2− 3)
=( 2)2−( 3)2
=2−3
=−1；
(3) 20+ 5 5−2
=2 5+ 5 5−2
=3 5 5−2
=3−2
=1；
(4) 28+ 700− 17
=2 7+10 7−17 7
=837 7．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
(2)先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可；
(3)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算，算除法，最后算减法即可；
(4)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和分母有理化等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=202−122=256，
所以，CD=16(负值舍去)，
所以，CE=CD+DE=16+1.62=17.62(米)，
答：风筝的高度CE为17.62米；
(2)由题意得，CM=11米，
∴DM=5米，
∴BM= DM2+BD2= 52+122=13(米)，
∴BC−BM=20−13=7(米)，
∴他应该往回收线7米．
【解析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)(1,4)，(4,2)，(3,5)；
(2)如图，△A1B1C1为所作；
(3) 3.5；
(4) 3 5+ 13．
【解析】解：(1)A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)；
故答案为：(1,4)，(4,2)，(3,5)；
(2)见答案；
(3)△ABC的面积=3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=3.5；
(4)如图，点P为所作，△ABP的周长=AB1+AB= 32+62+ 22+32=3 5+ 13，
故答案为：3 5+ 13．
(1)根据点的坐标的表示方法求解；
(2)利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
(4)连接AB1交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，然后根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
24.【答案】所挂物体质量 弹簧长度 19cm 2cm y=2x+19 33cm
【解析】解：(1)上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量，
故答案为：所挂物体质量；弹簧长度；
(2)由表格数据可知，当x=0时，y=19，
∴当不挂重物时，弹簧的长度为19cm，
故答案为：19cm；
(3)由表格数据可知，当所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，
故答案为：2cm；
(4)设y(cm)与x(kg)的关系式为y=kx+b，
把x=0，y=19；x=1，y=21代入解析式得b=19k+b=21，
解得k=2b=19，
∴y(cm)与x(kg)的关系式为y=2x+19；
当x=7时，y=2×7+19=33，
∴弹簧长度为33cm，
故答案为：y=2x+19；33cm．
(1)利用自变量与因变量的定义分析得出答案；
(2)根据表格数据即可得出结论；
(3)根据表格数据即可得出结论；
(4)由表中的数据可知，x=0时，y=19，并且每增加1千克的质量，长度增加2cm，进而求出一次函数解析式，依此可求所挂重物为7千克时(在允许范围内)时的弹簧长度．
此题主要考查了一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
25.【答案】 4+16=5 16 n+1n+2=(n+1) 1n+2
【解析】解：(1)等式1： 1+13=2 13；
等式2： 2+14=3 14；
等式3： 3+15=4 15；
等式4： 4+16=5 16
故答案为 4+16=5 16．
(2)猜想： n+1n+2=(n+1) 1n+2，证明如下：
左边= n2+2n+1n+2= (n+1)2n+2=(n+1)． 1n+2=右边，
所以猜想成立．
故答案为： n+1n+2=(n+1) 1n+2；
(3) 99+1101× 199+1201× 402× 101
=100 1101×200 1201× 402× 101
=(100×200)×( 1101× 101)×( 1201× 201)× 2
=20000 2．
(1)根据所给的特例的形式进行列式即可；
(2)分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证；
(3)利用(2)中的规律进行求解即可．
本题主要考查二次根式混合运算、数字的变化规律等知识点，由所给的式子总结出存在的规律是解答的关键．
26.【答案】解：(1)将点A(5,5)代入y=kx，
得5k=5，
解得k=1，
设直线AB的解析式：y=mx+n(m≠0)，
根据题意，将点A(5,5)，点C(0,53)代入解析式，
得5m+n=5n=53，
解得m=23n=53，
∴直线AB的解析式：y=23x+53；
(2)当t=1时，
∵点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，
∴点P坐标为(1,1)，
在矩形PDEF中，ED=PF=2，且ED⊥PD，
∵PD//x轴，且PD=1，
∴点E坐标为(2,3)，
当x=2时，y=23x+53=23×2+53=3，
∴点E在直线AB上；
(3)∵点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，
∴点P(t,t)，
∵PF=2，PD//x轴，且PD=1，
∴点F(t,t+2)，点D(t+1,t)，
∵矩形PDEF与直线AB有公共点，
当点F落在直线AB上时，
23t+53=t+2，
解得t=−1，
当点D落在直线AB上时，
23(t+1)+53=t，
解得t=7，
∴矩形PDEF与直线AB有公共点，t的取值范围是−1≤t≤7．
【解析】(1)待定系数法求解析式即可；
(2)当t=1时，根据矩形的性质求出点E的坐标，再进行验证即可；
(3)根据题意求出点P坐标，表示出点D和点F坐标，再分别代入直线AB的解析式，分别求出t的值，进一步确定t的取值范围．
本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，本题综合性较强，根据题意表示出点D和点F坐标是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
y
…
5
2
−1
−4
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
19
21
23
25
27
29
1.下列各数：237、3.14、 27、0．2⋅、−0.8、38、0.3131131113中，其中无理数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.在下列由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是( )
A. a=3，b=5，c=7B. a=4，b=6，c=8
C. a=5，b=7，c=9D. a=6，b=8，c=10
3.在平面直角坐标系中，点A(4,−3)关于y轴对称点为B，则点B所在的象限为( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.小明作业中出现的情况，结果正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. −36−4= −36 −4C. ( 3)2=3D. 18= 88
5.点P在第三象限，若该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标是( )
A. (−1,3)B. (−3,−1)C. (3,−1)D. (−1,−3)
6.关于 5，37，2大小比较正确的是( )
A. 37<2< 5B. 5<37<2C. 37< 5<2D. 2< 5<37
7.若|x−3|+ y+4=0，则(x+y)2022的值为( )
A. −1B. −2C. 2D. 1
8.如图是做课间操时小明、小刚和小红三人的相对位置，如果用(2,3)表示小明的位置，(0,2)表示小刚的位置，则小红的位置可表示为( )
A. (−1,−1)
B. (0,0)
C. (1,0)
D. (1,1)
9.已知直线y=−3x+b经过点A(1,y1)和点B(−2,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2B. y1
A. B. C. D.
11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，则AB=( )
A. 5B. 7C. 13D. 15
12.一次函数y=kx+b的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论正确的是( )
A. y随x的增大而增大
B. x=2是方程kx+b=0的解
C. 一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限
D. 一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(12,0)
13.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M为( )
A. 2B. 5−1C. 10−1D. 5
14.如图，圆柱底面半径为4πcm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点B在点A的正上方，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为( )
A. 21cm
B. 24cm
C. 30cm
D. 32cm
15.如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(8,0)，汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为( )
A. (2,0)B. (72,0)C. (174,0)D. (5,0)
16.公路旁依次有A，B，C三个村庄，小明和小红骑自行车分别从A村、B村同时出发匀速前往C村(到了C村不继续往前骑行，也不返回)，如图所示，l1，l2分别表示小明和小红与B村的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系，下列结论：
①A，B两村相距12km；
②小明每小时比小红多骑行8km；
③出发1.5h后两人相遇；
④图中a=1.65．
其中正确的是( )
A. ②④B. ①③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共3小题，共10分。
17.计算：− 25=______．
18.若点P的坐标是(2,−4)，平行于x轴的线段PQ的长为3，则点Q的坐标是______．
19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A1(2,2)在直线y=x上，过点A1作A1B1//y轴，交直线y=12x于点B，以A1为直角顶点，A1B1为直角边，在A1B1的右侧作等腰直角三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2//y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，以A2为直角顶点.A2B2为直角边，在A2B2的右侧作等腰直角三角形A1B1C1，按此规律进行下去，点C1的横坐标为______，点C2021的横坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
20.观察：∵ 4< 7< 9，即2< 7<3，∴ 7的整数部分为2，小数部分为 7−2，请你观察上述式子规律后解决下面问题．
(1)规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[45]=0，[π]=3，
填空：[ 10+2]=______；[5− 13]=______．
(2)如果5+ 13的小数部分为a，5− 13的小数部分为b，求a+b的值．
四、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题16分)
计算：
(1) 12× 75；
(2)( 3+ 2)( 2− 3)；
(3) 20+ 5 5−2；
(4) 28+ 700− 17．
22.(本小题7分)
海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为12米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为20米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.62米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
23.(本小题9分)
如图，在直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，请回答下列问题：
(1)请直接写出A、B、C三点的坐标______、______、______．
(2)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1．
(3)△ABC的面积为______．
(4)在x轴上找到一点P，使△ABP的周长最小，直接写出这个周长的最小值：______．
24.(本小题8分)
在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定、在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的一组对应值．
(1)上表反映了两个变量之间的关系，______是自变量；______是因变量；
(2)当不挂重物时，弹簧的长度为______；
(3)当所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加______；
(4)根据上表，y(cm)与x(kg)的关系式为______，当所注物为7kg时(在允许范围内)，弹簧长度为______．
25.(本小题10分)
综合与实践
小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，下面是小丽的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
等式1： 1+13=2 13；
等式2： 2+14=3 14；
等式3： 3+15=4 15；
等式4：______；
(2)观察、归纳，得出猜想．
n为正整数，猜想等式n可表示为______，并证明你的猜想；
(3)应用运算规律．
化简： 99+1101× 199+1201× 402× 101．
26.(本小题10分)
如图，已知直线AB与正比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(5,5)，与x轴交于点B，与y轴交于点C(0,53).点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，以点P为顶点，向右作矩形PDEF，满足PD//x轴，且PD=1，PF=2．
(1)求k值及直线AB的函数表达式；
(2)判定t=1时，点E是否落在直线AB上，请说明理由；
(3)在点P运动的过程中，若矩形PDEF与直线AB有公共点，求t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解： 27是无理数．
故选：A．
理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查的是无理数，无理数就是无限不循环小数．
2.【答案】D
【解析】解：A、32+52≠72，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
B、42+62≠82，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
C、52+72≠92，故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意；
D、62+82=102，故线段a、b、c组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意．
故选：D．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】C
【解析】解：∵点A(4,−3)关于y轴对称点为B(−4,−3)，
∴点B所在的象限为第三象限，
故选：C．
点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(−x,y)，由此可得结论．
本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
4.【答案】C
【解析】解：A． 2和 3不能合并，故本选项不符合题意；
B. −36−4= 364= 36 4，故本选项不符合题意；
C.( 3)2=3，故本选项符合题意；
D. 18= 1×28×2= 24，故本选项不符合题意．
故选：C．
先根据二次根式的加法，二次根式的除法，二次根式的性质进行计算，再根据求出的结果找出选项即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∴点的纵坐标是±3，横坐标是±1，
又∵第三象限内的点横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴点的横坐标是−1，纵坐标是−3．
故点P的坐标为(−1,−3)．
故选：D．
根据点的坐标的几何意义及第三象限点的坐标特点解答即可．
本题主要考查了点的坐标的几何意义：横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．
6.【答案】A
【解析】解：∵ 5> 4=2，
∴ 5>2，
∵37<38=2，
∴37<2，
∴37<2< 5，
故选：A．
一个正数越大，它的算术平方根和立方根也就越大，从而可以得到 5> 4=2，37<38=2，即可得到答案．
本题考查了实数大小比较的方法，掌握“一个正数越大，它的算术平方根和立方根也就越大”是解决问题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意得：|x−3|=3， y+4=0，
∴x−3=0，y+4=0，
解得x=3，y=−4，
则(x+y)2022=(−1)2022=1．
故选：D．
本题可根据非负数的性质“两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再把x、y的值代入求解．
本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
8.【答案】A
【解析】解：坐标原点如图所示，
小红的位置为(−1,−1)．
故选A．
根据小刚的位置向下2个单位确定出坐标原点的位置，然后建立平面直角坐标系，再写出小红的位置即可．
本题考查了坐标位置的确定，根据已知小刚的位置确定出坐标原点的位置是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵k=−3<0，y将随x的增大而减小，1>−2，
∴y1
根据k=−3<0，y将随x的增大而减小，得出y1与y2的大小关系．
本题考查一次函数的图象性质，关键是根据当k>0，y随x增大而增大；当k<0时，y将随x的增大而减小．
10.【答案】A
【解析】解：∵点(m,n)为第二象限内的点，
∴m<0，n>0，
∴−mn>0，−m>0，
∴一次函数y=−mnx−m的图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
根据点(m,n)为第二象限内的点，可判定m，n的符号，判定−mn，−m的符号，再根据一次函数图象的性质即可求解．
本题主要考查一次函数图象的性质，掌握点在平面直角坐标系中的特点，一次函数图象的性质是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵以AC为边在△ABC外作正方形，其面积为9，以BC为斜边在△ABC外作等腰直角三角形，其面积为4，
∴BC=4，AC=3，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得，AB= BC2+AC2= 42+32=5，
故选：A．
根据勾股定理的证明得出AB解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理的证明得出AB解答．
12.【答案】C
【解析】解：由题意得，当x=1时，y=−1，当x=0时，y=2，
则k+b=−1b=2，
解得：k=−3b=2，
函数解析式为：y=−3x+2，
A、∵k=−3<0，
∴y随x的增大而减小，故错误；
B、当x=2时，y=−3×2+2=−4，
∴x=2是方程kx+b=4的解，故错误；
C、∵k=−3<0，b=2>0，
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，故正确；
D、令y=0，则−3x+2=0，解得x=23，
∴一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点为(23,0)，故错误；
故选：C．
根据待定系数法求得解析式，然后根据一次函数的特点进行选择即可．
本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：由题意得，AC= AB2+BC2= AD2+DC2= 10，
故可得AM= 10，
∴点M为 10−1，．
故选：C．
在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M表示的数．
此题考查了勾股定理及数轴轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．
14.【答案】C
【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的最短路线是AD→DE→EB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分为3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的最短路线：AD+DE+EB；
∵圆柱体底面半径为4πcm，
∴AC=2π×4π=8cm，
∵圆柱体的高h=18cm，
∴CD=13h=6cm，
∴在Rt△ACD中，AD= AC2+CD2= 62+82=10cm，
∵AD=DE=EB，
∴AD+DE+EB=3AD=30cm．
故选：C．
要求圆柱体中两点之间的最短路径，常用“化曲面为平面”的思想，将圆柱体的侧面展开，利用勾股定理计算斜边长度．
本题主要考查勾股定理在计算最短路径中的应用，要求学生具有一定空间想象能力，利用化曲面为平面的思想，准确画出侧面展开图并结合勾股定理进行计算是本题的解题关键．
15.【答案】C
【解析】解：作出题目中给出的图形：
已知AC=3，OC=2，OB=8，
在D点小蓓与汽车相遇，设OD=x，
则CD=x−2，
在直角△ACD中，AD为斜边，
则AD2=AC2+CD2，
AD= 32+(x−2)2
∵OD=x，则BD=8−x，
存在8−x= 32+(x−2)2，
两边平方得到，(8−x)2=32+(x−2)2，
整理得：12x=51
解得：x=174，
故D点坐标(174,0)
故选：C．
在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD=x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC=OB−OC=8，根据BD=AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标．
本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了根据题意画出图形的能力，本题中找到汽车行驶速度为摩托车速度的2倍的等量关系，并且根据其求D点坐标是解题的关键．
16.【答案】C
【解析】解：由图象可得，
A，B两村相距12km，故①正确，符合题意；
小明的速度为：12÷0.6=20(km/h)，小红的速度为：33÷2.75=12(km/h)，
则小明每小时比小红多骑行20−12=8km，故②正确，符合题意；
设出发mh后两人相遇，
则20(m−0.6)=12m，
解得：m=1.5，
即出发1.5h后两人相遇，故③正确，符合题意；
a=0.6+33÷20=2.25，故④错误，不符合题意；
故选：C．
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】−5
【解析】解：∵52=25，
∴ 25=5，
∴− 25=−5，
故答案为：−5．
依据算术平方根的定义和相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
18.【答案】(−1,−4)或(5,−4)
【解析】解：因为线段PQ平行于x轴，
所以P，Q两点的纵坐标相等，
又P点的坐标是(2,−4)，
所以点Q的纵坐标是−4，
又PQ=3，
所以点Q的横坐标为−1或5．
因此点Q的坐标是(−1,−4)或(5,−4)．
根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等可解决问题．
本题考查坐标与图形的性质，熟知平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等是解题的关键．
19.【答案】3 2×(32)2021
【解析】解：∵点A1(2,2)，A1B1//y轴交直线y=12x于点B，
∴B1(2,1)，
∴A1B1=2−1=1，即A1C1=1，
∵A1C1=A1B1=1，
∴点C1的横坐标为3=2×32，
∵过点C1作A2B2//y轴，分别交直线y=x和y=12x于A2，B2两点，
∴A2(3,3)，B2(3,32)
∴A2B2=3−32=32，
∴A2C2=32，
∴点C2的横坐标为，92=2×(32)2；
以此类推，
A3B3=94，即A3C3=94，
∴点C3的横坐标为274=2×(32)3，
A4B4=278，即A4C4=278；
点C4的横坐标为818=2×(32)4…
∴AnBn=(32)n−1，即AnCn=(32)n−1．
∴点Cn的横坐标为2×(32)n，
∴点C2021的横坐标为2×(32)2021．
故答案为：3,2×(32)2021．
先根据题目中的已知条件求出点C1的横坐标为3=2×32，点C2的横坐标为92=2×(32)2，点C3的横坐标为274=2×(32)3，点C4的横坐标为818=2×(32)4…，由此总结得出点Cn的横坐标为2×(32)n，最后求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点Cn的横坐标为2×(32)n．
本题考查等腰直角三角形的性质、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，掌握等腰直角三角形的性质是解题关键．
20.【答案】解：(1)5 ；1 ；
(2)根据题意得：a=5+ 13−8，b=5− 13−1，
则a+b=5+ 13−8+5− 13−1=1．
【解析】【分析】
此题考查了估算无理数的大小，弄清题中的新规定是解本题的关键．
(1)根据已知的新定义确定出所求即可；
(2)根据题意确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：(1)根据题意得：[ 10+2]=5；[5− 13]=1；
故答案为5；1；
(2)根据题意得：a=5+ 13−8，b=5− 13−1，
则a+b=5+ 13−8+5− 13−1=1．
21.【答案】解：(1) 12× 75
=2 3×5 3
=10×( 3)2
=30；
(2)( 3+ 2)( 2− 3)
=( 2)2−( 3)2
=2−3
=−1；
(3) 20+ 5 5−2
=2 5+ 5 5−2
=3 5 5−2
=3−2
=1；
(4) 28+ 700− 17
=2 7+10 7−17 7
=837 7．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
(2)先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可；
(3)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算，算除法，最后算减法即可；
(4)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和分母有理化等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】解：(1)在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2−BD2=202−122=256，
所以，CD=16(负值舍去)，
所以，CE=CD+DE=16+1.62=17.62(米)，
答：风筝的高度CE为17.62米；
(2)由题意得，CM=11米，
∴DM=5米，
∴BM= DM2+BD2= 52+122=13(米)，
∴BC−BM=20−13=7(米)，
∴他应该往回收线7米．
【解析】(1)利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
(2)根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)(1,4)，(4,2)，(3,5)；
(2)如图，△A1B1C1为所作；
(3) 3.5；
(4) 3 5+ 13．
【解析】解：(1)A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)；
故答案为：(1,4)，(4,2)，(3,5)；
(2)见答案；
(3)△ABC的面积=3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=3.5；
(4)如图，点P为所作，△ABP的周长=AB1+AB= 32+62+ 22+32=3 5+ 13，
故答案为：3 5+ 13．
(1)根据点的坐标的表示方法求解；
(2)利用关于x轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(3)用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
(4)连接AB1交x轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件，然后根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图−轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
24.【答案】所挂物体质量 弹簧长度 19cm 2cm y=2x+19 33cm
【解析】解：(1)上表反映了弹簧长度与所挂物体质量之间的关系；其中所挂物体质量是自变量，弹簧长度是因变量，
故答案为：所挂物体质量；弹簧长度；
(2)由表格数据可知，当x=0时，y=19，
∴当不挂重物时，弹簧的长度为19cm，
故答案为：19cm；
(3)由表格数据可知，当所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，
故答案为：2cm；
(4)设y(cm)与x(kg)的关系式为y=kx+b，
把x=0，y=19；x=1，y=21代入解析式得b=19k+b=21，
解得k=2b=19，
∴y(cm)与x(kg)的关系式为y=2x+19；
当x=7时，y=2×7+19=33，
∴弹簧长度为33cm，
故答案为：y=2x+19；33cm．
(1)利用自变量与因变量的定义分析得出答案；
(2)根据表格数据即可得出结论；
(3)根据表格数据即可得出结论；
(4)由表中的数据可知，x=0时，y=19，并且每增加1千克的质量，长度增加2cm，进而求出一次函数解析式，依此可求所挂重物为7千克时(在允许范围内)时的弹簧长度．
此题主要考查了一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
25.【答案】 4+16=5 16 n+1n+2=(n+1) 1n+2
【解析】解：(1)等式1： 1+13=2 13；
等式2： 2+14=3 14；
等式3： 3+15=4 15；
等式4： 4+16=5 16
故答案为 4+16=5 16．
(2)猜想： n+1n+2=(n+1) 1n+2，证明如下：
左边= n2+2n+1n+2= (n+1)2n+2=(n+1)． 1n+2=右边，
所以猜想成立．
故答案为： n+1n+2=(n+1) 1n+2；
(3) 99+1101× 199+1201× 402× 101
=100 1101×200 1201× 402× 101
=(100×200)×( 1101× 101)×( 1201× 201)× 2
=20000 2．
(1)根据所给的特例的形式进行列式即可；
(2)分析所给的等式的形式进行总结即可；对等式的左边进行整理，即可求证；
(3)利用(2)中的规律进行求解即可．
本题主要考查二次根式混合运算、数字的变化规律等知识点，由所给的式子总结出存在的规律是解答的关键．
26.【答案】解：(1)将点A(5,5)代入y=kx，
得5k=5，
解得k=1，
设直线AB的解析式：y=mx+n(m≠0)，
根据题意，将点A(5,5)，点C(0,53)代入解析式，
得5m+n=5n=53，
解得m=23n=53，
∴直线AB的解析式：y=23x+53；
(2)当t=1时，
∵点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，
∴点P坐标为(1,1)，
在矩形PDEF中，ED=PF=2，且ED⊥PD，
∵PD//x轴，且PD=1，
∴点E坐标为(2,3)，
当x=2时，y=23x+53=23×2+53=3，
∴点E在直线AB上；
(3)∵点P为直线OA上的动点，点P的横坐标为t，
∴点P(t,t)，
∵PF=2，PD//x轴，且PD=1，
∴点F(t,t+2)，点D(t+1,t)，
∵矩形PDEF与直线AB有公共点，
当点F落在直线AB上时，
23t+53=t+2，
解得t=−1，
当点D落在直线AB上时，
23(t+1)+53=t，
解得t=7，
∴矩形PDEF与直线AB有公共点，t的取值范围是−1≤t≤7．
【解析】(1)待定系数法求解析式即可；
(2)当t=1时，根据矩形的性质求出点E的坐标，再进行验证即可；
(3)根据题意求出点P坐标，表示出点D和点F坐标，再分别代入直线AB的解析式，分别求出t的值，进一步确定t的取值范围．
本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，本题综合性较强，根据题意表示出点D和点F坐标是解题的关键．x
…
−1
0
1
2
…
y
…
5
2
−1
−4
…
所挂物体质量x/kg
0
1
2
3
4
5
弹簧长度y/cm
19
21
23
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