2023-2024学年海南省海南中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年海南省海南中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( )
A. y=(a+2)x2+1B. y=1x2+1
C. y=(x+2)(x+1)−x2D. y=2x2+3x
2.下列各点在一次函数y=2x−1的图象上的是( )
A. (0,−1)B. (2,−1)C. (1,0)D. (2,1)
3.当二次函数y=ax2+bx+c有最大值时，a可能是( )
A. 1B. 2C. −2D. 3
4.抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是( )
A. (1,2)B. (1,−2)C. (−1,2)D. (−1,−2)
5.将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为( )
A. y=(x−1)2+2B. y=(x+1)2+2C. y=(x−1)2−2D. y=(x+1)2−2
6.一次函数y=5x−2的图象不经过下列哪个象限( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
7.已知点(−3,y1)，(−2,y2)都在函数y=3x2−2的图象上，则( )
A. y1y2C. y1=y2D. 无法确定
8.一次函数y=(k−1)x+3中，函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是( )
A. k<1B. k>1C. k≠1D. k≤1
9.将商品按单件利润为20元售出时，能卖出100个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( )
A. y=(20+x)(100−5x)B. y=(20−x)(100−5x)
C. y=(20−x)(100+5x)D. y=(20+x)(100+5x)
10.已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)和点(−3,0)，则该抛物线的对称轴为( )
A. y轴B. 直线x=−1C. 直线x=−2D. 直线x=2
11.将二次函数y=x2−4x+5化为y=x−h2+k的形式，结果为( )
A. y=x−22+1B. y=x+22+1C. y=x−42+1D. y=x+42+1
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列四个说法中：①abc<0；②当x<1时，y随x的增大而减小；③b2−4ac>0；④4a+2b+c>0；正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
13.抛物线y=2x2−12x+11的顶点坐标是______．
14.二次函数y=(x+5)2−8的最小值为______．
15.已知抛物线y=x2+x−1经过点P(m,1)，则代数式m2+m+2023的值为______．
16.一次函数y=3x−6与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______．
17.已知函数y=(m+1)x2−4x+2(m是常数)的图象与x轴只有一个交点，则m=______．
18.已知抛物线的顶点坐标为(2,1)，且经过点(1,4)，则抛物线的解析式为______．
19.抛物线y=ax2+bx+3的图象如图2所示，那么一元二次方程ax2+bx+3=0的根是______．
20.如图，二次函数y=−x2−2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接EC和EA，则EC+EA的最小值是______．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题10分)
如图，用长度为26米的篱笆(虚线部分)围成一个两边靠墙的矩形花园ABCD，假设墙足够长，设AB的长为x m，矩形的面积为y m2．
(1)直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；
(2)当AB的长度为多少时，矩形的面积达到最大？最大面积为多少？
22.(本小题15分)
如图，已知直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+b的图象相交于点A，点A的横坐标为2，直线l2与x轴相交于点B(4,0)．
(1)求直线l2的解析式；
(2)在直线l2上是否存在点N，使得S△NOB=52S△AOB，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
23.(本小题15分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+5经过点A(−1,0)和点C(5,0)，抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，若点P是在直线AB上方抛物线上的动点，连接AP、PB，请求出△ABP面积的最大值；
(3)如图3，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，是否存在点P，使△BEC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、y=(a+2)x2+1(a≠−2)，是二次函数，故A不符合题意；
B、y=1x2+1，不是二次函数，故B不符合题意；
C、y=(x+2)(x+1)−x2=3x+2，是一次函数，故C不符合题意；
D、y=2x2+3x，是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
根据二次函数的一般形式：形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、把(0,−1)代入得，0−1=−1，故本题选项正确；
B、把(2,−1)代入得，2×2−1=3≠−1，故本选项错误；
C、把(1,0)代入得，2×1−1=1≠0，故本选项错误；
D、把(2,−2)代入得，2×2−1=3≠−2，故本选项错误．
故选：A．
将四个点分别代入函数的解析式进行验证即可．
此题比较简单，考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此一次函数的解析式．
3.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c有最大值，
∴a<0，
故选：C．
根据二次函数有最大值，a<0即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
【解答】
解：∵顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，
∴抛物线y=(x−1)2+2的顶点坐标是(1,2)．
故选A．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【解答】
解：将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为y=(x−1)2+2．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】解：∵k=5>0，b=−2<0，
∴一次函数y=5x−2的图象经过第一、三、四象限，
∴不经过第二象限．
故选：B．
一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0，b>0时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当k>0，b<0时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当k<0，b>0时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当k<0，b<0时，一次函数图象经过第二、三、四象限．根据题意可得一次函数y=5x−2的图象经过第一、三、四象限，据此选择答案即可．
本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握根据一次函数解析式判断其经过的象限是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵函数解析式为y=3x2−2，
∴函数图象抛物线开口向上，对称轴为y轴，
∴当x<0时，y随x的增大而减小，
∵点(−3,y1)，(−2,y2)，
∴−2>−3，
∴y1>y2．
故选：B．
根据二次函数y=3x2−2的图象和性质，得出当x<0时，y随x的增大而减小，判断y1、y2的大小情况，选择答案即可．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=(k−1)x+3中，y随x的增大而减小，
∴k−1<0，
解得k<1；
故选：A．
利用一次函数图象与系数的关系列出关于m的不等式k−1<0，然后解不等式即可．
本题主要考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意可得：利润为每个(20+x)元，销售量为(100−5x)个，
那么y=(20+x)(100−5x)，
故选：A．
根据总利润等于每个利润乘上销售量，依题意：设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，即利润为每个(20+x)元，销售量为(100−5x)个，结合获得的利润为y元，可列方程．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
10.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)和点(−3,0)，
∴抛物线对称轴为直线x=−3+12=−1，
故选：B．
根据A、B两点的纵坐标相同可知A、B两点关于对称轴对称，据此即可求出答案．
本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：y=x2−4x+5=x−22+1，
故选：A．
利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；
(2)顶点式：y=ax−h2+k；(a≠0,a、h、k为常数)
(3)交点式(函数图象与x轴交点的横坐标为x1,x2)：y=ax−x1x−x2.(a≠0,a、x1、x2为常数)
12.【答案】B
【解析】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a>0，c<0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1>0，
∴b<0，
∴abc>0
故结论①错误；
②∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，结论②正确；
③由图象可知，抛物线与x轴有两个交点
∴b2−4ac>0，结论③正确；
④∵当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，结论④错误．
正确的是②③，
故选：B．
由抛物线的开口方向及与y轴交点的位置，即可得出a>0，c<0，由对称轴的位置判断出b<0，结论①错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当x<1时，y随x的增大而减小，结论②正确；由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，b2−4ac>0，结论③正确；由当x=2时，y<0可得出4a+2b+c<0，结论④错误．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
13.【答案】(3,−7)
【解析】解：∵y=2x2−12x+11=2(x−3)2−7，
∴抛物线的顶点坐标是(3,−7)．
故答案为：(3,−7)．
把抛物线解析式化为顶点式，即可求解．
本题主要考查二次函数顶点式，解题的关键在于熟练掌握配方法．
14.【答案】−8
【解析】解：∵y=(x+5)2−8，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为(−5,−8)，
∴当x=−5时，二次函数y=(x+5)2−8取最小值，最小值为−8，
故答案为：−8．
根据二次函数解析式得出顶点坐标，即可得出答案．
本题考查求二次函数的最值问题，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
15.【答案】2025
【解析】解：依题意，
把P(m,1)代入抛物线y=x2+x−1，
则1=m2+m−1，
即m2+m=2，
那么m2+m+2023=2+2023=2025，
故答案为：2025．
把P(m,1)代入抛物线y=x2+x−1，得m2+m=2，即可知道m2+m+2023的值．
本题考查了二次函数的图象性质，以及整体代入法求代数式的值等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
16.【答案】(2,0)；(0,−6)
【解析】解：当y=0时，3x−6=0，解得x=2，则一次函数与x轴的交点坐标为(2,0)；
当x=0时，y=3x−6=−6，则一次函数与y轴的交点坐标为(0,−6)．
故答案为(2,0)，(0,−6)．
根据坐标轴上点的坐标特征分别计算函数值为0时自变量的值和自变量为0所对应的函数值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，(k≠0，且k，b为常数)的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是(−bk,0)；与y轴的交点坐标是(0,b).直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．
17.【答案】±1
【解析】解：(1)当m+1=0时，直线y=−4x+2与x轴只有一个交点，则m=−1；
(2)当m+1≠0时，图象与x轴只有一个交点则
(−4)2−4×(m+1)×2=0，
16−8m−8=0，
−8m+8=0，
m=1，
故答案为：±1．
此题要分两种情况进行讨论：(1)当m+1=0时，此函数为一次函数，图象与x轴只有一个交点；(2)当m+1≠0时，此函数为二次函数，当△=0时，图象与x轴只有一个交点，分别计算即可．
此题主要考查了抛物线与x轴交点，关键是注意分类讨论，不要漏解．
18.【答案】y=3(x−2)2+1
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为(2,1)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+1，
把点(1,4)代入得到4=a(1−2)2+1，
∴a=3，
∴抛物线的解析式为y=3(x−2)2+1，
故答案为：y=3(x−2)2+1．
先根据顶点坐标(2,1)，设抛物线的解析式为y=a(x−2)2+1，再把(1,4)代入解析式，得到a的值．
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19.【答案】−2或5
【解析】解：由函数的图象知，函数和x轴的交点横坐标为−2或5，
故一元二次方程ax2+bx+3=0的根是−2或5，
故答案为：−2或5．
解：由函数的图象知，函数和x轴的交点横坐标为−2或5，
故一元二次方程ax2+bx+3=0的根是−2或5，
故答案为：−2或5．
本题考查了二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系，是一道基本题．
20.【答案】3 2
【解析】解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接ED，连接AD交对称轴于点E′，
则EC+EA=ED+EA≥AD，
令y=−x2−2x+3=0，
解得x1=1，x2=−3，
∴A(1,0)．
令x=0，则y=3，
∴C(0,3)．
又∵抛物线对称轴为直线x=−−22×(−1)=−1，点C与点D关于对称轴对称，
∴D(−2,3)．
∴AD= (−2−1)2+(3−0)2=3 2，
∴EC+EA的最小值是3 2，
故答案为：3 2．
作点C关于抛物线对称轴的对称点D，可得EC+EA=ED+EA≥AD，由此可解．
本题考查抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点坐标，线段的最值问题，两点间距离公式等，解题的关键是掌握抛物线的对称性．
21.【答案】解：(1)根据题意得，y=x(26−x)=−x2+26x，
∵x>0，且26−x>0，
∴0∴y与x的函数关系式是y=−x2+26x(0(2)∵y=−x2+26x=−(x−13)2+169，
∵−1<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=13时，y有最大值，y的最大值为169，
∴当AB长为13m时，矩形的面积最大，最大面积为169m2．
【解析】(1)根据矩形的面积公式可以得到y与x的函数关系式并求出自变量的取值范围；
(2)根据(1)中的函数关系式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用、解题的关键是明确题意，建立二次函数模型再利用二次函数的性质求解．
22.【答案】解：(1)将x=2代入y=2x，得y=2×2=4，
∴A(2,4)，
将A(2,4)，B(4,0)代入y=kx+b，得：
2k+b=44k+b=0，
解得k=−2b=8，
∴直线l2的解析式为y=−2x+8；
(2)存在，
∵点N在直线l2：y=−2x+8上，
∴设N(n,−2n+8)，
∵S△NOB=52S△AOB，
∴12OB⋅|yN|=52×12OB⋅yA，
∴|yN|=52yA=52×4=10，
∴yN=±10，
当yN=−2n+8=10时，
解得n=−1，即N(−1,10)；
当yN=−2n+8=−10时，
解得n=9，即N(9,−10)；
综上可知，存在，点N的坐标为(−1,10)或(9,−10)．
【解析】(1)先求A点坐标，再利用待定系数法求l2的解析式；
(2)设N(n,−2n+8)，由S△NOB=52S△AOB可得12OB⋅|yN|=52×12OB⋅yA，由此可解．
本题考查求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式等，解题的关键是能够用待定系数法求出直线l2的解析式，第二问注意分情况讨论．
23.【答案】解：(1)将点A(−1,0)和点C(5,0)代入y=ax2+bx+5，
∴a−b+5=025a+5b+5=0，
解得a=−1b=4，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4x+5；
(2)过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，
设P(t,−t2+4t+5)，则E(t,t+1)，
∴PE=−t2+4t+5−t−1=−t2+3t+4=−(t−32)2+254，
∴S△ABP=12×6×(−t2+3t+4)=−3(t−32)2+754，
当t=32时，△ABP的面积的最大值为754；
(3)存在点P，使△BEC为等腰三角形，理由如下：
设P(t,−t2+4t+5)，则E(t,t+1)，
当x+1=−x2+4x+5时，解得x=−1或x=4，
∴B(4,5)，
∴BE= 2|t−4|，BC= 26，CE= 2t2−8t+26，
当BE=BC时， 2|t−4|= 26，解得t=4+ 13或t=4− 13，
∴P(4+ 13,−8−4 13)或(4− 13,−8+4 13)；
当BE=CE时， 2|t−4|= 2t2−8t+26，解得t=34，
∴P(34,11916)；
当BC=CE时， 26= 2t2−8t+26，解得t=0(舍)或t=4，
∴P(4,5)；
综上所述：P点坐标为(4+ 13,−8−4 13)或(4− 13,−8+4 13)或(34,11916)或(4,5)．
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设P(t,−t2+4t+5)，则E(t,t+1)，则S△ABP=−3(t−32)2+754，当t=32时，△ABP的面积的最大值为754；
(3)设P(t,−t2+4t+5)，则E(t,t+1)，分别求出BE= 2|t−4|，BC= 26，CE= 2t2−8t+26，再由等腰三角形的性质，分三种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质是解题的关键．