2023-2024学年广东省江门市蓬江区怡福中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省江门市蓬江区怡福中学八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算正确的( )
A. a2⋅a3=a6B. a7−a5=a2C. (−2a2)3=−8a6D. a6÷a3=a2
2.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，2，4C. 2，3，4D. 2，4，8
3.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的( )
A. x2+x−2=(x+2)(x−1)B. 2(x−3y)=2x−6y
C. (x+2)2=x2+4x+4D. ax+bx+c=x(a+b)+c
4.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A. 两点确定一条直线
B. 三角形的稳定性
C. 两点之间线段最短
D. 垂线段最短
5.下列各式中，不能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. x2−4y2B. −x2−y2C. −x2y2+9D. 49x2−25y2
6.下列说法正确的是
( )
A. 三角形的三条中线交于一点
B. 三角形的三条高都在三角形内部
C. 三角形不一定具有稳定性
D. 三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部
7.计算(−0.25)2023×(−4)2024的结果是( )
A. −14B. 14C. −4D. 4
8.多项式ax−b与2x2−3x−4的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为12，则ab的值为( )
A. −4B. −6C. −8D. −10
9.图中能表示△ABC的BC边上的高的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG的边长分别为a，b，如果a−b=2，ab=4，那么阴影部分的面积为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x2−9= ．
12.若5x=2，5y=3，则5x+2y= ______．
13.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=21，BC=12，则△ABD和△BCD的周长的差是______．
14.若多项式4x²+mx+1是一个完全平方式，则m的值为______．
15.已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a−b+c|−|a−b−c|=______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.(1)(−1)2012+(−12)−2−(3.14−π)0；
(2)(2x3y)2⋅(−2xy)+(−2x3y)3÷(2x2)
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
因式分解：
(1)m3n−9mn；
(2)4x2y+4x2y2+xy2．
18.(本小题8分)
若一等腰三角形的周长为24，且两边的差为9，求这个等腰三角形的底边长．
19.(本小题9分)
先化简，再求值：[(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)]÷(−12b)，其中a，b满足：|a−1|+(b+2)2=0．
20.(本小题9分)
如图，按下列要求作图：
(1)作出△ABC的高CF；
(2)作出△ABC的中线BE；(不写作法)
(3)若AB=3，△ABE周长比△BCE周长少3，求BC长度．
21.(本小题9分)
如图，某体育训练基地，有一块长(3a−5b)米，宽(a−b)米的长方形空地，现准备在这块长方形空地上建一个长a米，宽(a−2b)米的长方形游泳池，剩余四周全部修建成休息区.(结果需要化简)
(1)求长方形游泳池面积；
(2)求休息区面积；
(3)比较休息区与游泳池面积的大小关系．
22.(本小题12分)
实践与探索
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示)．
(1)上述操作能验证的等式是______.(请选择正确的一个)
A.a2−b2=(a+b)(a−b)
B.a2−2ab+b2=(a−b)2
C.a2+ab=a(a+b)
(2)请应用(1)中的等式完成下列各题：
①已知4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b= ______；
②计算：1002−992+982−972+…+42−32+22−12；
③计算：(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−1992)×(1−11002).
23.(本小题12分)
教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3．
原式=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=(x+2)2+2．
∵(x+2)2≥0，
∴当x=−2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5；
(2)求代数式x2−6x+12的最小值；
(3)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−6c+43=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项错误；
B、a7和a5不是同类项，不能进行加减运算，故本选项错误；
C、(−2a2)3=−8a6，故本选项正确；
D、a6÷a3=a6−3=a3，故本选项错误，
故选：C．
根据相应的运算法则逐一运算判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方，熟悉掌握其运算的法则是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，1+2=3，不能组成三角形；
B中，2+2<4，不能组成三角形；
C中，3+2>4，能够组成三角形；
D中，2+4<8，不能组成三角形．
故选：C．
根据三角形的三边关系进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
3.【答案】A
【解析】解：A.x2+x−2=(x+2)(x−1)，从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B.2(x−3y)=2x−6y，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.(x+2)2=x2+4x+4，从左边到右边的变形是整式乘法计算，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.ax+bx+c=x(a+b)+c，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据因式分解的定义判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
4.【答案】B
【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：B．
根据三角形的稳定性即可解决问题．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、原式=(x+2y)(x−2y)，不符合题意；
B、原式=−(x2+y2)，不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
C、原式=(3+xy)(3−xy)，不符合题意；
D、原式=(7x+5y)(7x−5y)，不符合题意，
故选：B．
利用平方差公式的结构特征判断即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】【解答】
解：A.三角形的三条中线交于一点，正确；
B.只有锐角三角形的三条高都在三角形内部，错误；
C.三角形一定具有稳定性，错误；
D.三角形的角平分线一定在三角形的内部，错误；
故选A．
【分析】
本题主要考查了三角形角平分线、中线以及高线的概念，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
依据三角形角平分线、中线以及高线的概念，即可得到正确结论．
7.【答案】C
【解析】解：(−0.25)2023×(−4)2024
=[(−0.25)2023×(−4)2023]×(−4)
=[(−0.25)×(−4)]2023×(−4)
=12023×(−4)
=1×(−4)
=−4，
故选：C．
积的乘方，等于积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；应用它的逆运算将原式变形为[(−0.25)×(−4)]2023×(−4)，计算即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：(ax−b)(2x2−3x−4)
=2ax3−3ax2−4ax−2bx2+3bx+4b
=2ax3+(−3a−2b)x2+(−4a+3b)x+4b，
∵展开式中不含x的二次项，且常数项为12，
∴−3a−2b=0，4b=12，
解得：a=−2，b=3，
∴ab=−2×3=−6．
故选：B．
利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件求解即可．
本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9.【答案】D
【解析】解：图D是过点A作BC的垂线，故图中能表示△ABC的BC边上的高的选项D．
故选：D．
根据三角形高线的定义对各选项进行判断．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形的角平分线、高和中线的定义．
10.【答案】B
【解析】解：由图形得出阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去两个三角形面积，
即S阴影=a2+b2−12a2−12b(a+b)
=12(a2+b2−ab)
=12[(a−b)2+ab]，
∵a−b=2，ab=4，
∴S阴影=12×(22+4)=4，
故答案为：B．
先由图形得出阴影部分的面积等于两个正方形面积之和减去两个三角形面积．然后在化简计算过程中配成含有(a−b)2和ab的式子，然后将a−b=2，ab=4代入计算即可求得．
本题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，多项式乘多项式，去括号原则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键．
11.【答案】(x+3)(x−3)
【解析】【分析】
直接运用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
【解答】
解：x2−9=(x+3)(x−3)．
故答案为：(x+3)(x−3)．
12.【答案】18
【解析】解：5x+2y
=5x⋅52y
=5x⋅(5y)2
=2×32
=2×9
=18．
故答案为：18．
逆运用同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘进行计算即可得解．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
13.【答案】9
【解析】解：∵BD是△ABC的中线，
∴AD=DC，
∴△ABD和△BCD的周长的差为：(AB+BD+AD)−(BC+BD+CD)=AB−BC=21−12=9，
故答案为：9．
根据三角形的中线的概念得到AD=DC，再根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
14.【答案】±4
【解析】解：∵4x²+mx+1是一个完全平方式，
∴m=±2×2，即k=±4，
故答案为：±4．
根据完全平方公式的特征即可得到m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15.【答案】2a−2b
【解析】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴a+c>b，b+c>a，
∴a−b+c>0，a−b−c<0，
∴|a−b+c|−|a−b−c|=(a−b+c)−(b+c−a)=a−b+c−b−c+a=2a−2b，
故答案为：2a−2b．
先根据三角形的三边关系定理得出a+c>b，b+c>a，再去掉绝对值符号合并即可．
本题考查了三角形三边关系定理，绝对值，整式的加减的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
16.【答案】解：(1)原式=1+4−1=4；
(2)原式=−8x7y3−4x7y3=−12x7y3．
【解析】(1)原式第一项表示2012个−1的乘积，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果；
(2)原式先计算乘方一，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．
此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)m3n−9mn
=mn(m2−9)
=mn(m+3)(m−3)；
(2)4x2y+4x2y2+xy2=xy(4x+4xy+y)．
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答；
(2)利用提公因式法进行分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
18.【答案】解：设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，
由题意得：2a+b=24a−b=9或2a+b=24b−a=9，
解得：a=11b=2或a=5b=14，
当等腰三角形的腰长为11，底边长为2时，
∵11+2=13>11，
∴能组成三角形；
当等腰三角形的腰长5，底边长为14时，
∵5+5=10<14，
∴不能组成三角形；
综上所述：这个等腰三角形的底边长为2．
【解析】设等腰三角形的腰长为a，底边长为b，然后根据题意可得：2a+b=24a−b=9或2a+b=24b−a=9，从而可得：a=11b=2或a=5b=14，最后分两种情况：当等腰三角形的腰长为11，底边长为2时；当等腰三角形的腰长5，底边长为14时；从而进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
19.【答案】解：原式=[(4a2+4ab+b2)−(4a2−b2)]÷(−12b)
=(4a2+4ab+b2−4a2+b2)÷(−12b)
=(4ab+2b2)÷(−12b)
=−8a−4b，
∵|a−1|+(b+2)2=0，
∴a−1=0，b+2=0，
∴a=1，b=−2，
则原式=−8×1−4×(−2)=0．
【解析】利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出a、b，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，CF即为所求．
(2)如图，BE即为所求．

(3)∵BE为△ABC的中线，
∴AE=CE．
∵△ABE周长比△BCE周长少3，
∴AB+BE+AE+3=BC+BE+CE，
即AB+3=BC，
∴BC=6．
【解析】(1)根据三角形的高的作图方法作图即可．
(2)作线段AC的垂直平分线，交AC于点E，连接BE即可．
(3)由三角形的中线的定义可得AE=CE，结合题意可得AB+BE+AE+3=BC+BE+CE，即AB+3=BC，进而可得答案．
本题考查作图—复杂作图、三角形的中线和高，熟练掌握三角形的中线和高的定义是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)长方形游泳池面积为：
a(a−2b)
=(a2−2ab)平方米；
(2)∵长方形空地的面积为：
(3a−5b)(a−b)
=3a2−3ab−5ab+5b2
=(3a2−8ab+5b2)平方米，
∴休息区面积=(3a2−8ab+5b2)−(a2−2ab)
=3a2−8ab+5b2−a2+2ab
=(2a2−6ab+5b2)平方米；
(3)∵(2a2−6ab+5b2)−(a2−2ab)=a2−4ab+5b2=a2−4ab+4b2+b2=(a−2b)2+b2>0，
∴休息区的面积大于游泳池面积．
【解析】(1)利用长方形的面积公式和单项式乘多项式的法则解答即可；
(2)利用空地的面积减去长方形游泳池的面积即可；
(3)利用休息区与游泳池面积的差的大小进行解答即可．
本题主要考查了长方形的面积，多项式乘多项式，单项式乘多项式，配方法，完全平方式，熟练掌握长方形的面积公式和配方法是解题的关键．
22.【答案】A 4
【解析】解：(1)图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，
图2中的阴影部分是长为(a+b)，宽为(a−b)的长方形，因此面积为(a+b)(a−b)，
所以有a2−b2=(a+b)(a−b)，
故答案为：A；
(2)①∵4a2−b2=24，
∴(2a+b)(2a−b)=24，
又∵2a+b=6，
∴6(2a−b)=24，
即2a−b=4，
故答案为：4；
②∵1002−992=(100+99)(100−99)=100+99，
982−972=(98+97)(98−97)=98+97，
…
22−12=(2+1)(2−1)=2+1，
∴原式=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．
③(1−122)×(1−132)×(1−142)×…×(1−1992)×(1−11002)
=(1+12)(1−12)(1+13)(1−13)(1+14)(1−14)…×(1+199)(1−199)(1+1100)(1−1100)
=12×32×23×34×54×…×9899×10099×99100×101100
=12×101100
=101200．
(1)分别表示图1和图2中阴影部分的面积即可得出答案；
(2)①利用平方差公式将4a2−b2=(2a+b)(2a−b)，再代入计算即可；
②利用平方差公式将原式转化为1+2+3+…+99+100即可．
③利用平方差公式将解答即可．
本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
23.【答案】解：(1)m2−4m−5，
=m2−4m+4−4−5，
=(m−2)2−9，
=(m−2+3)(m−2−3)，
=(m+1)(m−5)．
故答案为：(m+1)(m−5)．
(2)∵x2−6x+12=x2−6x+9+3=(x−3)2+3；
∴x2−6x+12的最小值是3．
(3)∵a2+b2+c2−6a−10b−6c+43=0，
a2−6a+9+b2−10b+25+c2−6c+9=0，
(a−3)2+(b−5)2+(c−3)2=0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a−3=0，b−5=0，c−3=0，
得，a=3，b=5，c=3．
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)先配出完全平方，再用平方差公式进行因式分解即可；
(2)先配出完全平方，然后再根据完全平方的非负性即可求得最小值；
(3)将等式的左边拆项后重新组合，配出三个完全平方，再根据“几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0”求解出a、b、c的值，据此即可解答．
本题主要考查了配方法、用公式法进行因式分解、非负性的应用，熟练的掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．