江苏省连云港市灌云县西片2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共8小题）
1. 下列各数中比2大的无理数是（ ）
A. B. C. 2.4D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用实数大小的比较法则和无理数的意义解答即可．
【详解】解：∵，和2.4是有理数，，
∴下列各数中比2大的无理数是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较和无理数的定义，熟练掌握无理数的定义和实数大小的比较法则是解题的关键．
2. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 计算(－2a2)3的结果正确的是
A. －2a6B. －6a8C. -8a6D. －8a3
【答案】C
【解析】
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的性质求解即可求得答案．
【详解】（-2a2）3=-8a6．
故选C．
【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．
4. 如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是，则点B表示的数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用数轴结合，B点位置进而得出答案．
【详解】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是，
∴点表示的数是：，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，正确应用数形结合分析是解题关键．
5. 在暑假到来之前，某机构向八年级学生推荐了A，B，C三条游学线路，现对全级学生喜欢哪一条游学线路作调查，以决定最终的游学线路，下面的统计量中最值得关注的是（ ）
A. 方差B. 平均数C. 中位数D. 众数
【答案】D
【解析】
【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，
故全级学生喜欢的游学线路最值得关注的应该是统计调查数据的众数，
故选D．
6. 正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为，设土石方日平均运送量为V（单位：/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（ ）
A. 反比例函数关系B. 正比例函数关系
C. 一次函数关系D. 二次函数关系
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，列出函数关系式，进行作答即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴V与t满足反比例函数关系．
故选A．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
7. 如图1，四边形是长方形纸带，其中，，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质，求出图1中和的值，再根据折叠的性质求出图2中的值，然后根据图3中即可得出答案，理清折叠前后重叠的角相等是解本题的关键．
【详解】解：在图1中，，，
，
，
将纸带沿折叠成图2，，大小不变，
在图2中，，
纸带再沿折叠成图3，，大小不变，
在图3中，
故选：B．
8. 如图，等边的边长为5，点D，P，L分别在边，，上，（），按如图方式作边长均为3的等边，，，点F，R．N分别在射线,,上．
结论Ⅰ：当边，，与的三边围成的图形是正六边形时，；
结论Ⅱ：当点D与点B重合时，，，围成三角形的周长为3．
针对结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A. Ⅰ和Ⅱ都对B. Ⅰ和Ⅱ都不对C. Ⅰ不对Ⅱ对D. 1对Ⅱ不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形，关键是掌握等边三角形的判定和性质，正多边形的判定方法．由等边三角形的判定和性质，正多边形的判定，即可解决问题．
【详解】解：由题意得到：，，是等边三角形，
∵，
∴当时，六边形是正六边形，
∵等边的边长为5，
，
∴，
，
∴结论Ⅰ不对；
∵,是边长为3的等边三角形，
∴，
显然四边形是平行四边形，
∴，
同理，
∵，
∴，
显然是等边三角形，
∴，，围成的三角形的周长为3．
∴结论Ⅱ正确，
故选：C
二．填空题（共8小题）
9. 若分式的值为零，则x的值为 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解．
【详解】解：因为分式的值为零，
所以，
解得：．
故答案为：1．
10. 若把数字用科学记数法表示为的的形式，则________．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法将，表示出来，即可求出的值．
【详解】解：，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法：，是解题的关键．
11. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式，完全平方公式因式分解是解题的关键．
先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】原式
12. 已知关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得．同时考查了一元二次方程的定义．
由关于的一元二次方程有两个实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式且，继而可求得的取值范围．
【详解】∵关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
∵方程是一元二次方程，
∴的取值范围是且．
故答案为：且．
13. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D在边BC上，以OA为半径的经过点D，连接AD，且AD平分∠BAC，若∠BAC = 60°，的半径为2，则阴影部分的面积为__________ ．
【答案】
【解析】
【分析】由角平分线定义以及圆的特征，求得，证得OD平行AC，进而利用特殊角的三角函数值求得各边长，进而得到答案．
【详解】解：如图，连接OD、DE，作DH垂直AB于H
∵，且AD平分
∴
∵AE为直径
∴
∴
∵
∴，为等边三角形
∴，
∴OD∥AC，
在中，
∴，
∴阴影部分的面积
【点睛】本题考查圆的特征、扇形的面积计算、特殊角的三角函数值；通过角关系证得OD垂直BC是解题的关键．
14. 如图，在矩形中，，，为对角线上的一点（不与点，重合），连接，过点作交边于点，连接．若，则的长为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质，适当添加辅助线解决问题是解题的关键．过点作于，延长交于，则，根据矩形的性质，可证，从而得出，，，，再根据可得，进而可得．
【详解】解：过点作于，延长交于，则，如图：
四边形为矩形，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
，
故答案为：
15. 如图，在中，，延长斜边到点，使，连接，若，则______．
【答案】##0.15
【解析】
【分析】本题考查了正切，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正切，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图，作交于，则，证明，则，即，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，作交于，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图所示，平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，点C、点D是y轴正半轴、x轴正半轴上的两个动点，，以为直径在第一象限内作半圆，与线段交于点E、F两点，则的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、三角函数等知识点；确定最大时的位置是解题的关键．
如图：过的中点作的垂线与交于点M，连接，当直线过O点时，的值最大；利用，求出，最后利用勾股定理求出即可解答．
【详解】解：如图：过的中点作的垂线与交于点M，连接，当直线过O点时，的值最大；
∵直线分别交x轴、y轴于点A、B，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
三．解答题（共11小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，掌握各运算法则、特殊角的三角函数值及运算顺序是解题的关键．先计算出乘方、立方根、特殊角的三角函数值及绝对值，再按运算顺序计算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为．
19. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，先方程两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程，进而即可求解．
【详解】解：
方程两边都乘最简公分母得：
检验：当时，，
原方程的解为．
20. 某校为建设“书香校园”，计划购进一批新书，学校图书室随机对九年级（甲）班的同学最近借阅的各类图书进行了统计，通过整理发现借阅的书籍可分为4类（A：科普类；B：文学类；C：艺术类；D：生活与其它类）．根据统计结果，绘制出不完整的两幅统计图，如图．根据图中信息解决问题：
（1）本次采用的调查方式是______调查，九年级（甲）班的人数为______人；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，______，B扇形的圆心角为______；
（4）若该校九年级共有720名学生，根据调查结果估算，该校九年级喜欢艺术类学生有多少人？
【答案】（1）抽样、40
（2）见解析 （3），
（4）通过调查可以估计该校九年级喜欢艺术类学生有72人．
【解析】
【分析】（1）本题考查抽样调查的概念，根据两种统计图，用A类人数除以其所占百分比，即可解题．
（2）本题利用（1）中总人数减去A、B、D类的人数，得出C类的人数，补全条形统计图即可．
（3）本题根据条形统计图中B类人数除以总人数的百分比即可得出，根据B类所占百分比乘以即可解题．
（4）本题考查用样本估计总体，利用条形统计图中艺术类所占比乘以720即可解题．
【小问1详解】
解：由题知，本次采用的调查方式是抽样调查，
九年级（甲）班的人数为（人），
故答案为：抽样，40．
【小问2详解】
解：喜欢艺术类学生有（人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：，
，
B扇形的圆心角为，
故答案为：，．
【小问4详解】
解：（人），
答：通过调查可以估计该校九年级喜欢艺术类学生有72人．
【点睛】本题考查用样本估计总体、扇形统计图圆心角、补全条形统计图、以及条形统计图和扇形统计图的综合运用、读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21. 一只不透明的袋子中装有三个乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3，这些乒乓球除所标数字不同外其余都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为_______；
（2）搅匀后先从袋子中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为一个两位数的十位数字，不放回，再从袋中余下的球中任意摸出一个球，将球面上所标数字作为这个两位数的个位数字，求这个两位数恰好是奇数的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据共有3种等可能情况即可求解；
（2）画树状图，找出所有等可能情况，再找出符合要求的情况数，利用概率公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵搅匀后从中任意摸出一个乒乓球，摸出的乒乓球的球面上的数字共有3种情况，即分别为1,2，3，
∴摸出的乒乓球的球面上恰好标有数字3的概率为．
故答案：
【小问2详解】
画树状图如下：
组成的两位数有12、13、21、23、31、32，共6种情况，是奇数有13、21、23、31共4种情况，故这个两位数恰好是奇数的概率为．
【点睛】此题考查了概率，熟练掌握概率公式和画树状图或列表法是解题的关键．
22. 在菱形 中，对角线 相交于点 为 的中点，连接 并延长到点，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，
（1）首先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得即可推出四边形是矩形；
（2）首先根据矩形对角线相等和菱形的四边相等可以求得，然后在直角三角形中，解直角三角形可以求出的长，从而得到的长；
灵活运用上述性质解决问题是本题的关键．
【小问1详解】
证明：为 的中点，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
四边形是矩形，
，
设，
，
，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
，
．
23. 如图，，是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在处遇险发出求救信号，此时测得点位于观测点的北偏东方向上，同时位于观测点的北偏西方向上，测得点与观测点的距离为海里．

（1）如图填空： 度；
（2）求观测点与之间的距离；
（3）有一艘救援船位于观测点的正南方向且与观测点相距海里的处，在接到海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为海里小时，求救援船到达点需要的最少时间．
【答案】（1）；
（2）观测点与点之间的距离为海里；
（3）救援船到达点需要的最少时间是小时．
【解析】
【分析】（）由点位于观测点的北偏西方向上，则有，再通过角度和差即可求解；
（）过作于，分别在和中，解直角三角形即可求解；
（）过作，交延长线于，求得四边形为矩形，在中，利用勾股定理即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
∵点位于观测点的北偏西方向上，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
如图，过点作于点，

根据题意可知：，海里，
∴（海里），
∵，
∴（海里），
∴（海里）．
答：观测点与点之间的距离为海里；
【小问3详解】
如图，作于点，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴（海里），（海里），
∴（海里），
在中，根据勾股定理，得
（海里），
∴（小时），
答：救援船到达点需要的最少时间是小时．
24. 时代的到来，给人类生活带来很多的改变．某营业厅现有A、B两种型号的手机，进价和售价如表所示：
（1）若该营业厅卖出台A型号手机，台B型号手机，可获利__________元；
（2）若该营业厅再次购进A、B两种型号手机共部，且全部卖完，设购进A型手机x台，总获利为W元．
①求出W与x的函数表达式；
②若该营业厅用于购买这两种型号的手机的资金不超过元，求最大利润W是多少？
【答案】（1）
（2）①；②最大值为元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，建立一次函数关系是解题关键．
（1）计算即可求解；
（2）①根据即可求解；②根据一次函数的增减性即可求解；
小问1详解】
解：若该营业厅卖出台A型号手机，台B型号手机，可获利：
（元），
故答案为：
【小问2详解】
解：①∵购进A型手机x台，
∴购进B型手机台，
②由题意得，
，
解得，．
∵，，
∴W随着x的增大而减小．
∴当时，W有最大值为元．
25. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）已知为反比例函数的图象上一点，满足，求点的坐标．
（3）在第四象限反比例函数图象上是否存在点，使点绕点顺时针旋转得到的对应点恰好落在第二象限反比例函数的图象上?若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；
（2）点的坐标为或；
（3）存在这样的点，点的坐标为．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用全等三角形性质是解答本题的关键．
（1）利用点，先求出一次函数解析式，再利用解析式求出值，根据点的坐标得到反比例函数解析式即可；
（2）先计算出，利用面积建立关于的方程，解出值即可得到点的坐标；
（3）作轴，垂足为，作轴，垂足为，证明可得，，根据点在反比例函数图象上列出方程求出可得点的坐标．
【小问1详解】
解：点，，在一次函数图象上，
，
解得，
一次函数解析式为：，
在一次函数图象上，
，
在反比例函数解析式上，
，
反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
解：设点的坐标为，
，，
，
，
，
，
，
解得或，
点的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为，
设点坐标为，，
在和中，
，
，
，，
，
若点在反比例函数图象上，则有：
，
整理得：，
解得或（舍去），
点的横坐标为，点的纵坐标为：，
答：存在这样的点，点的坐标为．
26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为E．点D在二次函数的图象上，轴，．
（1）求这条抛物线的函数解析式及顶点E的坐标；
（2）在x轴上有一点F，若以点F、B、C为顶点的三角形与相似，求点F坐标；
（3）点Q是二次函数图象上一点，过点Q向抛物线的对称轴作垂线，垂足为H，若，求点Q的坐标．
【答案】（1），
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）先求出点的坐标，根据轴，求出点坐标，代入函数解析式求出值即可；
（2）先求出点、的坐标，再分别求出的三边长，设点，再分别讨论当、、分别为的最长边时，利用相似三角形的性质，分别列出关于的方程，解方程即可；
（3）设点，求出函数对称轴，结合已知以及顶点的坐标得，，根据列方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：由题意可知：，
当时，，即点的坐标为，
轴，，
点的坐标为，代入抛物线得：，
，
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为；
【小问2详解】
解：由（1）得，令，即，
解得：，，
，，
，，，
设点，
①当为的最长边时，得，
，
解得：，
点；
②当为的最长边时，得，
，
，
点；
③当为的最长边时，得，
解得：无解，所以这个点不存在，
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：点在函数图象上，则设点，
二次函数对称轴为，
，，
，
，
或，
解得：，或，，
当时不符合题意，
故或，
故点的坐标为或．
【点睛】本题时二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的线段问题，解题关键是灵活运用相关知识及分类讨论和方程思想解决问题．
27. 【问题背景】
在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系．

【初步探索】
（1）小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是________．
【探索延伸】
（2）在四边形中如图2，，，E、F分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
（3）如图3，，，，，，，，直接写出的长度．
【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）5
【解析】
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．
（1）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到结论；
（2）延长到点G，使，连接，证明，再证明，则结论可求；
（3）延长到点G，使，连接，证明，再证明，进而可得出答案．
【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）仍成立，理由如下：
如图2，延长到点G，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）延长到点G，使，连接，
∵， ，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
∵， ，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
进价（元/部）
售价（元/部）
A
B