上海海洋大学附属大团高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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总分：100分 时间：90分钟
一．填空题：请将每小题正确的结论填在题中的横线上．（3分分）
1. 将化为弧度为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用度与弧度的互化关系求解即得.
【详解】依题意，.
故答案为：
2. 设扇形的周长为，半径为，则扇形的圆心角的弧度数是______.
【答案】2
【解析】
【分析】先求出扇形的弧长，再求出扇形的圆心角的弧度数.
【详解】设扇形的弧长为，则
所以，
所以扇形的圆心角的弧度数为.
故答案为2
【点睛】本题主要考查扇形圆心角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
3. 已知角的终边经过点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义得到和的值，进而得到的值.
【详解】因为角的终边经过点，所以，所以，，所以.
故答案为：.
4. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系及两角和正弦公式化简计算即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
5. 在中，若，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦定理，可直接得出结果.
【详解】因为在中，，，，
由正弦定理可得：，所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于基础题型.
6. 化简：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.
【详解】由三角函数的诱导公式，
可得.
故答案为：.
7. 方程的解集是______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，得到，结合特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】由方程，可得，
因为，所以或.
故答案为：或.
8. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据同角关系中的平方关系进行解答，注意涉及的函数值正负与角终边所在象限联系，结合，进一步缩小角的范围，进而在开方运算时得出正确的符号.
【详解】由已知得，即， ，
由，且， ， ，
，
故答案为：.
9. 在中，是方程的两个根，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】利用韦达定理、诱导公式及和角的正切计算即得.
【详解】方程中，，则，
在中，.
故答案为：1
10. 在中，若面积，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】结合三角形面积公式与余弦定理得，进而得答案.
【详解】解：由三角形的面积公式得，
所以，
因为，
所以，即，
因为，所以
故答案为：
11. 已知点的坐标为，将绕坐标原点顺时针旋转至.则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设以为中终边的角为，以为终边的角为，然后结合三角函数的定义以及正余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设以为中终边的角为，则由三角函数的定义可知，，
由题意，以为终边的角为，
且，
，
且，
则点的横坐标为，纵坐标为.
即点的坐标为.
故答案为：
12. 函数的最大值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】首先把三角函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出函数的最大值．
【详解】解：函数，
当，即时，．
故答案为：4．
二．选择题（4分分）将每小题的正确代号选出填在题中的圆括号内．
13. “是钝角”是“是第二象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】因为是钝角，所以，因此是第二象限角，
当是第二象限角时，例如是第二象限角，但是显然不成立，
所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件，
故选：A
14. 若，角终边所在的象限是（ ）
A. 一或三B. 二或四C. 二或三D. 三或四
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，确定角所在象限，并求出其范围，再求出的范围即可得解.
【详解】由，得角是第三象限角，即，
则，当为奇数时，是第二象限角，当为偶数时，是第四象限角，
所以角终边所在的象限是二或四.
故选：B
15. 化简的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦、余弦的二倍角公式即可求解．
【详解】又因为，所以，即原式
故选C
【点睛】本题考查正弦、余弦的二倍角公式，属于基础题．
16. 在中，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦定理以及三角恒等变换公式将化为，再根据的范围可求得结果.
【详解】在中，，，由及正弦定理，
得
，
由，，得，且，
则，因此，，
所以的取值范围为.
故选：B
三．解答题：（6分8分10分10分14分48分）
17. 已知，求：值
【答案】5.
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及切化弦求出，再利用齐次式法求值即得.
【详解】依题意，，解得，
所以.
18. 一个扇形的周长是16，求圆心角是多少时，这个扇形的面积最大？最大的面积是多少？
【答案】时，扇形的面积取最大值，最大值为．
【解析】
【分析】设扇形的半径为，弧长为，利用周长关系，表示出扇形的面积，利用二次函数求出面积的最大值，以及圆心角的大小．
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则
，即．
扇形的面积，将上式代入，
得，
所以当且仅当时，有最大值16，
此时，
可得：．
所以当时，扇形的面积取最大值，最大值为．
19. 已知，其中．求：
（1）的值；
（2）求角值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的正弦公式，即可求解；
（2）根据题意，求得，得到，进而求得的值.
【小问1详解】
解：因为且，可得，
所以
则.
【小问2详解】
解：由（1）知，
因为，可得，
又因为，
所以，可得，所以，
所以.
20. 海上某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为海里；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为海里；货轮向正北由处行驶到处时，若灯塔在南偏东的方向上，则灯塔与处之间的距离为多少海里？
【答案】.
【解析】
【分析】根据题意画出图形，利用正弦定理求出，再由余弦定理即可求得.
【详解】中， ，
由正弦定理得，则，即，
中，，由余弦定理得，
因此，解得，
所以灯塔与处之间距离为海里.
21. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为已知
(1)求角B的大小；
(2)如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2，过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N，设∠PBA=求四边形PMBN的面积的最大值及此时的值.
【答案】（1）B（2）α时，四边形PMBN的面积取得最大值．
【解析】
【分析】（1）由acsA＝bcsB及正弦定理可得：sinAcsA＝sinBcsB，即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），可得A＝B或A+B． 由于C，即可得出．
（2）由题设，在Rt△PMB中，PM＝2sinα；PN＝2csα,得其面积；在Rt△PNB中，同理可得PN＝2sin（α），PM＝2cs（α）,α∈（0，）得其面积，进而得四边形面积，利用恒等变换结合三角函数最值即可得出．
【详解】（1）由acsA＝bcsB及正弦定理可得：sinAcsA＝sinBcsB，
即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），
∴有A＝B或A+B．
又∵C，得A+B，与A+B矛盾，
∴A＝B，因此B．
（2）由题设，得在Rt△PMB中，PM＝PB•sin∠PBM＝2sinα；PN＝PB•cs∠PBM＝2csα,则
同理，在Rt△PNB中，PN＝PB•sin∠PBN＝PB•sin（∠PBA）＝2sin（α），PM＝2cs（α）α∈（0，），
∴四边形PMBN的面积
∵α∈（0，），∴2α∈（，），
于是，当2α，即α时，四边形PMBN的面积取得最大值．
【点睛】本题考查倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．