福建省龙岩市上杭县东南片区十八校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省龙岩市上杭县东南片区十八校2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2．下列一元二次方程没有实数根的是( )
A.B.C.D.
3．将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是( )
A.B.C.D.
4．已知是一元二次方程的一个解，则m的值是( )
A.1B.0C.0或1D.0或-1
5．关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A.有两不相等实数根B.有两相等实数根
C.无实数根D.不能确定
6．点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是
A.B.C.D.
7．如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是( )
A.B.C.D.
8．某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，由题意所列方程正确的是( )
A.B.C.D.
9．四位同学在研究函数（b，c是常数）时，甲发现当时，函数有最小值；乙发现是方程的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当时，，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
10．已知二次函数（a，b，c是常数，）图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，下列说法中：
①；
②；
③当时，；
④；
⑤.其中正确结论的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
二、填空题
11．若y与x的函数是二次函数，则______.
12．已知抛物线与x轴交点的横坐标为-1，则_______.
13．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为___.
14．如图，在平面直角坐标系中，将点绕坐标原点O顺时针旋转90°得到点Q，则点Q的坐标为_____.
15．已知抛物线，点在抛物线上，则的最大值是_____.
16．如图，在中，，，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°至，连接.若，则的最小值为_____.
三、解答题
17．解方程：
（1）；
（2）.
18．已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为，则此二次函数的解析式并写出y随x值的增大而增大的x取值范围？
19．图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上.
（1）在图1中，画出一个与成中心对称的格点三角形；
（2）在图2中，画出绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形.
20．已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围.
21．如图①，等腰直角三角形的直角顶点O为正方形的中心，点C，D分别在和上，现将绕点O逆时针旋转角，连接，（如图②）.
（1）在图②中，_____；（用含的式子表示）
（2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论.
22．如图所示，，，，绕点B逆时针旋转60°得到，连接AE.
（1）求证：；
（2）连接AD，求AD的长.
23．“互联网”时代，网上购物备受消费者青睐.某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条.为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施.据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条.设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售量为y条.
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
24．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，对称轴为且.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点Q为y轴上一点，点E为抛物线顶点，连接，若为等腰三角形，求点Q的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段绕点P逆时针旋转后，点A的对应点恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标.
25．如图，在等边三角形内有一点P.
（1）若，，，求的度数；
（2）若等边三角形边长为4，求的最小值；
（3）如图，在正方形内有一点P，且，，，求正方形的边长.
参考答案
1．答案：D
解析：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.
故选：D.
2．答案：D
解析：A.方程中，此方程有两个不相等的实数根；
B.方程中，此方程有两个相等的实数根；
C.方程中，此方程有两个不相等的实数根；
D.方程中，此方程没有实数根；
故选D.
3．答案：B
解析：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为.
故选：B.
4．答案：A
解析：把代入方程，可得，得，
故选：A.
5．答案：A
解析：，
，
，
，
即，
方程有两个不相等实数根，
故选A.
6．答案：B
解析：二次函数中，，开口向下，对称轴为直线，
则二次函数图像上的点离对称轴越远，函数值越小，
，，到对称轴的距离分别为4、2、4，
，
故选：B.
7．答案：C
解析：如图所示，根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，只有点到三角形的三顶点距离相等，故是图形的旋转中心，
故选：C.
8．答案：A
解析：依题意得：，
故选：A.
9．答案：B
解析：A.假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确
由乙、丁同学的结论可得
，
解得：，
二次函数的解析式为：，
当时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
B.假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确，
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为，
当时，解得，当时，，
∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；
C.假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确，
由甲乙的结论可得：
，
解得：，
，
当时，解得：，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；
D.假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确
由甲、丙的结论可得二次函数解析式为
当时，解得，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意.
故选B.
10．答案：B
解析：抛物线开口向下，则.
对称轴在y轴右侧，a、b异号，则.
抛物线与y轴交于正半轴，则，
，故①正确；
抛物线的对称轴是直线，则，，
，故②正确；
由图象可知，抛物线与x轴的左交点位于0和-1之间，在两个交点之间时，，在时，，故③错误；
当时，有，故④正确；
由，得，代入得，两边乘以2得，故⑤错误.
综上，正确的选项有：①②④.
所以正确结论的个数是3个.
故选：B.
11．答案：-1
解析：是二次函数，
且，
解得：，
故答案为-1.
12．答案：1
解析：物线与x轴交点的横坐标为-1，
，
，
故答案为1.
13．答案：-3
解析：将一元二次方程整理得：
，
关于x的一元二次方程的常数项为0，
且，
解得：.
故答案为：-3.
14．答案：
解析：作图如下，
，，
，
在和中，
，
，
，，
P点坐标为，
Q点坐标为，
故答案为.
15．答案：4.
解析：点在抛物线上，
，
，
当时，有最大值4.
故答案为4.
16．答案：1
解析：在AC上截取，作于F，如图，
，，
，，，
，
在中，，，
线段AD绕点A顺时针旋转60°至，
，，
，
在和中
，
，
，
在中，，
当时，有最小值1，
的最小值为1.
17．答案：（1），
（2），
解析：（1），
，
或，
解得：，；
（2），
，
，
或，
解得：，.
18．答案：；当时，y随x的增大而增大
解析：设此二次函数的解析式为且经过点
解得：，
二次函数的解析式为：，
对称轴为：，且抛物线开口向上，
当时，y随x的增大而增大.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图1，即为所求；
（2）如图2，即为所求.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，，，
方程总有两个实数根；
（2），
，
，，
方程有一个小于1的正根，
，
.
21．答案：（1）
（2），见解析
解析：（1）绕点O逆时针旋转角，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下，
如图②，四边形为正方形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：绕点B逆时针旋转60°得到，
，，，
，
，
，
在与中，，
；
（2）连接AD，
绕点B逆时针旋转60°得到，
，，，
，
，，
，
，
，，
.
23．答案：（1）
（2）当销售单价降低10元时，每月获得最大利润为4500元
解析：（1）由题意得：，
y与x的函数关系式为，
故答案为：；
（2）由题意得：，
，抛物线开口向下，
当时，w有最大值，最大值为4500，
此时元，
当销售单价降低10元时，每月获得最大利润为4500元；
24．答案：（1）抛物线的解析式
（2）点Q坐标为，，
（3）或
解析：（1）与x轴交于点和点B，对称轴为，
点B为，，
设：，
，，
点C为，
，解得：，
，
故答案为：抛物线的解析式，
（2），
顶点E为，，
设，
①当时，，解得：，
，
②当时，，解得：，
，
③当时，，解得：，
，
故答案为：点Q坐标为，，，
（3）设点P为，作对称轴于D，
①如图点P在x轴上方时，
，，
，
，，
，
，代入
得：解得：（舍），，
，，
②如图点P在x轴下方时，
同①可得：，
，，
，
，代入
得：解得：，（舍），
，，
故答案为：或.
25．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）如图所示，
将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，
，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
（2）如图所示，将绕点A顺时针旋转得到，
则，，，则是等边三角形，
，
再将绕点A顺时针旋转得到，则
，，，
当B，P，D，E四点共线时，取得最小值，即的长，
设，交于点F，
，，，
，，
，
在中，，
，
即的最小值为；
（3）如图，将绕点B逆时针旋转，得到，
，
，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
是直角三角形，，
如图，延长，过点B作于F，则，
，，
，
，
，
，即正方形的边长为.