江苏省点+南京师范大学附属中学江宁分校2023—2024学年下学期八年级数学阶段练习(3月20日）

这是一份江苏省点+南京师范大学附属中学江宁分校2023—2024学年下学期八年级数学阶段练习(3月20日），共31页。试卷主要包含了下列说法正确的是，用反证法证明等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10题）（每题2分）
1．下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ）
A． B． C．D．
2．为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法：①这6000名学生的成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500．其中说法正确的有（ ▲ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．下列说法正确的是（ ▲ ）
A．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨；
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上；
C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖；
D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近.
4．用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设（ ▲ ）
A．a＜bB．a≤bC．a2＜b2D．a2≤b2
5．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得△A'CB'，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（ ▲ ）
A．43°B．45°C．47°D．50°
6．如图，要使▱ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ▲ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．∠ABC＝90°C．AC⊥BDD．AB＝BC
7．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝12，则四边形CODE的周长为（ ▲ ）
A．12B．18C．24D．30
8. 如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝25°，
则∠AEF＝（ ▲ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°

第5题 第6题 第7题 第8题 第9题
9．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③∠DFE＝3∠AEF中一定成立的是（ ▲ ）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③都成立
10．如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ▲ ）
A．①②B．①③
C．②③D．①②③
二．填空题（共8题）（每题2分）
11．在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是 ▲ ．
12.综合实践小组的同学们做如下实验，将一枚图钉随意向上抛起，记录图钉落地后钉尖触地的频数、频率表所下：
根据上表估计将一枚图钉随意向上抛起一次时“钉尖触地”的概率约为 ▲ ．（精确到0.01）
13．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝ ▲ 度．
14．如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为 ▲ ．
15．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 ▲ ．
16．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过 ▲ 秒该直线可将▱OABC分成面积相等的两部分．

第13题 第14题 第15题
17．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒，若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，当E、G、F、H为顶点的四边形为矩形时，t的值为 ▲ ．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在CB的延长线上，点Q在直线AP上，连接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，则BQ的最大值为 ▲ ．

第16题 第17题 第18题
三．解答题（共7题）
19．（8分）为了解今年全县2000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分同学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）．请你根据提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 ．
（2）在表中：m＝ ；n＝ ；h＝ ．
（3）补全频数分布直方图；
（4）根据频数分布表、频数分布直方图，你获得哪些信息？
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）探索线段DF与BE的关系，并说明理由；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
22．（8分）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）（1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q；（2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形；
（3）在（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若AB：BE：AO＝5：1：3．求证：四边形AECF为正方形．
24．（10分）实践操作
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
当点P与点A重合时，∠DEF＝ °；当点E与点A重合时，∠DEF＝ °；
深入探究
（2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当时的菱形EPFD的边长．
拓展延伸
（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
25．（12分）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；
如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；
（2）下列说法正确的有 ；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；
②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；
④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）下列四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）为了了解我市今年6000名学生参加初中毕业考试数学成绩情况，从中抽取了500名考生的成绩进行统计，下列说法：①这6000名学生的成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③500名考生是总体的一个样本；④样本容量是500．其中说法正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：这6000名学生的初中毕业考试数学成绩的全体是总体，故①说法错误；
每个考生的初中毕业考试数学成绩是个体，故②说法错误；
500名考生的初中毕业考试数学成绩是总体的一个样本，故③说法错误；
样本容量是500，故④说法正确．
∴说法正确的有④共1个．
故选：D．
【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．“明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上
C．“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【解答】解：A、“明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A不符合题意；
B、“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B不符合题意；
C、“彩票中奖的概率为1%”表示买100张彩票有可能中奖．故C不符合题意；
D、“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
4．（2分）用反证法证明：“若a≥b＞0，则a2≥b2”，应先假设（ ）
A．a＜bB．a≤bC．a2＜b2D．a2≤b2
【分析】根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
【解答】解：用反证法证明“若a≥b＞0，则a2≥b2”的第一步是假设a2＜b2，
故选：C．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
5．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得△A'CB'，若AC⊥A'B'，则∠BAC等于（ ）
A．43°B．45°C．47°D．50°
【分析】先利用旋转的性质得到∠ACA′＝43°，∠A＝∠A′，则根据AC⊥A′B′，利用互余可计算出∠A′＝43°，从而得到∠BAC的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针方向旋转43°得到△A′CB′，
∴∠ACA′＝43°，∠A＝∠A′，
∵AC⊥A′B′，
∴∠A′＝90°﹣43°＝47°，
∴∠BAC＝47°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
6．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．∠ABD＝∠CBDB．∠ABC＝90°C．AC⊥BDD．AB＝BC
【考点】矩形的判定．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDC＝∠CBD，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意；
B、∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确，符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形，故本选项错误，不符合题意；
D、根据AB＝BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误，不符合题意，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．
7.（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝12，则四边形CODE的周长为（ ）
A．12B．18C．24D．30
【分析】由矩形的性质可求DO＝CO＝6，通过证明四边形DECO是平行四边形，可得DO＝CE＝6，DE＝CO＝6，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝AC＝6，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO是平行四边形，
∴DO＝CE＝6，DE＝CO＝6，
∴四边形CODE的周长＝DO+CE+DE+CO＝24，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
8.如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝25°，则∠AEF＝（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据正方形的性质可得△ABE≌△CBE，∠CBE＝45°，则∠BEC＝110，∠DEC＝∠BEF＝70°，则∠AEF＝110°﹣70°＝40°．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BEC＝∠AEC，
∵∠BCF＝25°，
∴∠BEC＝180°﹣25°﹣45°＝110°＝∠AEB，
∴∠DEC＝∠BEF＝70°，
∴∠AEF＝110°﹣70°＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练掌握以上知识是解题关键．
9．（2分）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③∠DFE＝3∠AEF中一定成立的是（ ）
A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③都成立
【分析】由在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，易得AF＝FD＝CD，继而证得①∠DCF＝∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，
故①正确，符合题意；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝FM，
故②正确，符合题意；
③设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，
故③正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
10．（2分）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】依据旋转变换以及轴对称变换，分别画图可得结论．
【解答】解：①如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故①正确；
②如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故②正确；
③如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G，共有2个，故③不正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查了菱形的性质和几何变换，在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
11．在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、5小组数据的个数分别是2、8、15、5，则第4小组的频率是 ．
【分析】先求出第四组的频数，然再利用频率＝频数÷总次数进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
50﹣（2+8+15+5）
＝50﹣30
＝20，
∴20÷50＝0.4，
∴第4小组的频率为0.4，
故答案为：0.4．
【点评】本题考查了频数与频率，熟练掌握频率＝频数÷总次数是解题的关键．
12.（2分）综合实践小组的同学们做如下实验，将一枚图钉随意向上抛起，记录图钉落地后钉尖触地的频数、频率表所下：
根据上表估计将一枚图钉随意向上抛起一次时“钉尖触地”的概率约为 0.46 ．（精确到0.01）
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】解：根据表格中的信息可知：估计将一枚图钉随意向上抛起一次时“钉尖触地”的概率约为0.46．
故答案为：0.46．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
13．（2分）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠D＝ 114 度．
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，再由三角形内角和定理求出∠B，再根据平行四边形的性质求出∠D即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，
∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°，
∴∠D＝∠B＝114°．
故答案为：114．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
14．（2分）如图，在菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣3，1），C（1，4），则点A的坐标为 （﹣3，6） ．
【分析】作BM⊥CD于M，由C和B的坐标得出BN＝3，BM＝4，CM＝3，由勾股定理求出BC，由菱形的性质得出AB＝BC＝5，即可得出点A的坐标．
【解答】解：作BM⊥CD于M，与y轴交于点N，如图所示，
∵B（﹣3，1），C（1，4），
∴BN＝3，BM＝3+1＝4，CM＝4﹣1＝3，ON＝1，
∴BC＝＝5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，
∵AB∥y轴，
∴点A的坐标为（﹣3，6）；
故答案为（﹣3，6）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解决问题的关键．
15．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为 ．
【分析】依据矩形的性质即可得到△AOD的面积为12，再根据S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即可得到OE+EF的值．
【解答】解：∵AB＝6，BC＝8，
∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10，
∴AO＝DO＝AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，
∴12＝×5×EO+×5×EF，
∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，解题时注意：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点B（6，2），C（4，0），直线y＝2x+1以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过 6 秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相等的两部分．
【分析】首先连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分，然后计算出过D且平行直线y＝2x+1的直线解析式，从而可得直线y＝2x+1要向下平移6个单位，进而可得答案．
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可将▱OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），
设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
17．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒，若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，当E、G、F、H为顶点的四边形为矩形时，t的值为 0.5或4.5 ．
【分析】连接GH，根据矩形的性质和全等三角形的判定和性质得出GE＝HF，GE＝HF，进而利用平行四边形的判定和矩形的判定解答即可．
【解答】解：连接GH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠GAE＝∠HCE，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝CH，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，
∴AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在△AFG与△CEH中，
，
∴△AFG≌△CEH（SAS），
∴GF＝HE，
在△AGE与△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴GH＝BC＝8cm，
∴当EF＝GH＝8cm，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①当0≤t≤5时，EF＝（10﹣4t）cm，
即10﹣4t＝8，
解得：t＝0.5，
②当5＜t≤10时，EF＝（4t﹣10）cm，
即4t﹣10＝8，
解得：t＝4.5，
当t＝0.5或4.5时，四边形EGFH是矩形，
故答案为：0.5或4.5．
【点评】此题考查矩形的判定和性质，关键是根据矩形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P在CB的延长线上，点Q在直线AP上，连接BQ，DQ，若∠ADQ+∠BAQ＝180°，则BQ的最大值为 +2 ．
【分析】取AD的中点E，连接BE、QE，由矩形的性质得∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，则AE＝2，由勾股定理求得BE＝，再证明∠ADQ＝∠PAB，可求得∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝90°，则∠AQD＝90°，所以QE＝AD＝2，由BQ≤BE+QE，得BQ≤+2，则BQ的最大值是+2，于是得到问题的答案．
【解答】解：取AD的中点E，连接BE、QE，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴AE＝DE＝AD＝2，
∴BE＝＝＝，
∵∠ADQ+∠BAQ＝180°，∠PAB+∠BAQ＝180°，
∴∠ADQ＝∠PAB，
∴∠ADQ+∠DAQ＝∠PAB+∠DAQ＝180°﹣∠BAD＝90°，
∴∠AQD＝90°，
∴QE＝AD＝2，
∵BQ≤BE+QE，
∴BQ≤+2，
∴BQ的最大值是+2，
故答案为：+2．
【点评】此题重点考查矩形的性质、同角的补角相等、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）
19．（8分）为了解今年全县2000名初二学生“创新能力大赛”的笔试情况，随机抽取了部分同学的成绩，整理并制作如图所示的图表（部分未完成）．请你根据提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查的样本容量为 400 ．
（2）在表中：m＝ 160 ；n＝ 0.3 ；h＝ 0.4 ．
（3）补全频数分布直方图；
（4）根据频数分布表、频数分布直方图，你获得哪些信息？
【分析】（1）根据第一组的频数是40，频率是0.1，以及频率公式即可求解；
（2）依据频率公式：频率＝频数÷总数即可求解；
（3）作出第三组对应的矩形即可；
（4）利用总人数2000乘以80≤x＜90的频率即可估计80≤x＜90的人数．
【解答】解：（1）此次调查的样本容量为40÷0.1＝400，
故答案为：400；
（2）n＝120÷400＝0.3，m＝400﹣（40+120+80）＝160，h＝160÷400＝0.4，
故答案为：160、0.3、0.4；
（3）补全图形如下：
（4）答案不唯一，如：80≤x＜90的人数最多，其所占的频率为0.4，
∴估计2000名当中有2000×0.4＝800名学生在这个分数段中．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2；请直接写出旋转中心的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）直接利用平移和旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质结合对应点位置进而得出旋转中心；
（3）利用轴对称求最短路径求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C，△A2B2C2，即为所求；
（2）如图所示：旋转中心的坐标为：（1.5，﹣1）；
（3）如图所示：点P的坐标为：（﹣2，0）．
【点评】此题主要考查了旋转变换以及轴对称图形求最短路线变换，正确得出对应点位置是解题关键．
21．（8分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BC上一点，且CF＝AE，连接DF．
（1）探索线段DF与BE的关系，并说明理由；
（2）若∠ABC＝70°，求∠CDF的度数．
【分析】（1）欲证明DF∥BE，只要证明四边形BEDF是平行四边形即可；
（2）根据∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF，只要求出∠ADC、∠EDF即可．
【解答】解：（1）DF∥BE，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵CF＝AE，
∴DE＝BF，
∵DE∥BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DF∥BE．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF＝∠ABC＝35°，
∵四边形BEDF是平行四边形，
∴∠EBF＝∠EDF＝35°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝35°．
【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（8分）已知正方形ABCD，P是CD的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中，画PQ⊥AB，垂足为Q；
（2）在图②中，画BH⊥AP，垂足为H．
【分析】（1）连接AC、BD，它们相交于O点，延长PO交AB于Q，则PQ⊥AB；
（2）连接DQ交AP于E点，延长OE交AD于F，连接BF交AP于H，则可证明△ABF≌△DAP得到∠ABF＝∠DAP，再证明∠AHB＝90°，则BH⊥AP．
【解答】解：（1）如图①，PQ为所作；
（2）如图②，BH为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．
23．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为对角线BD上两点，BE＝DF，连接AE、EC、CF、FA．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若AB＝AD，求证：四边形AECF为菱形；
（3）在（2）的条件下，连接AC交BD于点O，若AB：BE：AO＝5：1：3．求证：四边形AECF为正方形．
【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，OB＝OD，然后求出OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥EF，从而得到AC⊥BD，所以▱ABCD需要满足是菱形，即邻边相等；
（3）在（2）的条件下∠AOB＝90°，由勾股定理得BO＝4k，可得EO＝BO﹣BE＝3k，可得AO＝EO＝OF，得到∠OAE＝∠OEA＝45°，∠OAF＝∠OFA＝45°，进一步得到∠EAF＝∠OAE+∠OAF＝90°，再根据正方形的判定可得四边形AECF是正方形．
【解答】证明：（1）如图，连接AC交BD于点O，
在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）；
（2）在▱ABCD中，∵AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形．
（3）在（2）的条件下∠AOB＝90°，
∵AB：BE：AO＝5：1：3，
设AB＝5k，则AO＝3k，BE＝k，
由勾股定理得BO＝4k，
∴EO＝BO﹣BE＝3k，
∴AO＝EO，
∴AO＝EO＝OF，
∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∠OAF＝∠OFA＝45°，
∴∠EAF＝∠OAE+∠OAF＝90°，
∵四边形AECF是菱形．
∴四边形AECF是正方形．
【点评】本题考查了正方形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形，作出辅助线是解题的关键．
24．（10分）实践操作
在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）．
当点P与点A重合时，∠DEF＝ 90 °；当点E与点A重合时，∠DEF＝ 45 °；
深入探究
（2）当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当时的菱形EPFD的边长．
拓展延伸
（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段AM与线段DE的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．
【分析】初步思考（1）当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，∠DEF＝90°，当点E与点A重合时，此时∠DEF＝∠DAB＝45°；
深入探究（2）当点E在AB上，点F在DC上时，EF是PD的中垂线，DO＝PO，EF⊥PD，四边形ABCD是矩形，△DOF≌△POE（ASA），DF＝PE，四边形DEPF是平行四边形，EF⊥PD▱DEPF为菱形，当AP＝时，设菱形的边长为x，则AE＝﹣x，DE＝x，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，进而求得AP；
拓展延伸（3）情况一：DE＝EP＝AM，△EAM≌△MPE，设AE＝x，则AM＝DE＝3﹣x，则BM＝x+1，（x+1）2+32＝（4﹣x）2，求得AE；情况二，DE＝EP＝AM，△GAM≌△GPE，设AE＝x，则DE＝3﹣x，则AM＝PE＝DE＝3﹣x，MP＝AE＝x，（7﹣x）2+32＝（x+4）2，求得AE．
【解答】初步思考
（1）当点P与点A重合时，如图1，
∴EF是AD的中垂线，
∴∠DEF＝90°，
当点E与点A重合时，如图2，
此时∠DEF＝∠DAB＝45°，
故答案为：90，45；
深入探究
（2）当点E在AB上，点F在DC上时，如图3，
∵EF是PD的中垂线，
∴DO＝PO，EF⊥PD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EPO，
∵∠DOF＝∠EOP，
∴△DOF≌△POE（ASA），
∴DF＝PE，
∵DF∥PE，
∴四边形DEPF是平行四边形，
∵EF⊥PD，
∴▱DEPF为菱形，
当AP＝时，设菱形的边长为x，则AE＝﹣x，DE＝x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD2+AE2＝DE2，
∴32+（﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴时的菱形EPFD的边长为：；
拓展延伸
（3）存在，
情况一：如图4，连接EM，
∵DE＝EP＝AM，
∴△EAM≌△MPE（HL），
设AE＝x，则AM＝DE＝3﹣x，则BM＝x+1，
∵MP＝EA＝x，CP＝CD＝4，
∴MC＝4﹣x，
∴（x+1）2+32＝（4﹣x）2，
解得：x＝；
情况二，如图5，
∵DE＝EP＝AM，
∴△GAM≌△GPE（AAS），
设AE＝x，则DE＝3﹣x，则AM＝PE＝DE＝3﹣x，MP＝AE＝x，
则MC＝MP+PC＝x+4，BC＝3，BM＝7﹣x，
∴（7﹣x）2+32＝（x+4）2，
解得：x＝，
综上，线段AE的长为：或．
【点评】本题考查三角形全等，折叠，矩形的性质综合题，解题的关键是是对问题的分类讨论．
25．（12分）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形ABCD中，若∠A＝∠C＝90°，则四边形ABCD是“准矩形”；
如图②，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD′．（要求：D、D′在格点上）；
（2）下列说法正确的有 ①②③④ ；（填写所有正确结论的序号）
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；
②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；
④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC＝EC，AF＝EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE＝∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD＝，∠ACB＝15°，∠ACD＝30°，请直接写出四边形ACEF的面积．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据矩形和菱形的判定定理即可得到结论；
（3）①根据全等三角形的性质得到∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，求得∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，推出AC∥EF，AF∥CE，根据菱形的判定定理即可得到结论；
②首先取AC的中点G，连接BG、DG，再根据∠ADC＝90°，∠ABC＝90°，然后求出∠BGD＝90°，即可判断出△BGD是等腰直角三角形；最后根据勾股定理，分别求出AD、CD的值，再根据三角形的面积的求法，求出菱形ACEF的面积为多少即可．
【解答】解：（1）如图③所示，四边形ABCD即为所求；
如图④所示，四边形ABCD′即为所求；
（2）①如图①，当CD∥AB，
∴∠D+∠A＝∠C+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠D＝∠B＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故①正确；
②如图，连接BD，
∵∠A＝∠C＝90°，CD＝AB，BD＝BD，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是矩形，故②正确；
③如图②，∵AD＝AB，CD＝CB，AD＝BC，
∴AD＝AB＝BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形；
④如图②，连接BD，
∵AD＝AB，CD＝CB，
∴∠ADB＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，
当AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠ABD，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是菱形；
故正确的有①②③④，
故答案为：①②③④；
（3）①证明：∵AC＝EC，AF＝EF，CF＝CF，
∴△ACF≌△ECF（SSS），
∴∠ACF＝∠ECF，∠AFC＝∠EFC，
∵∠ACE＝∠AFE，
∴∠ACF＝∠EFC，∠ECF＝∠AFC，
∴AC∥EF，AF∥CE，
∴准菱形ACEF是平行四边形，
∵AC＝EC，
∴准菱形ACEF是菱形；
②如图⑤，取AC的中点G，连接BG、DG、BD．
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ACD＝30°，∠ACB＝15°，
∵DG＝GA＝GC＝GB，
∴∠GCD＝∠GDC＝30°，∠GCB＝∠GBC＝15°，
∴∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，
∴∠BGD＝30°+60°＝90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG2+DG2＝2DG2＝BD2，
∴DG＝1，
∴AC＝2DG＝2，
∴AD＝AC＝2×＝1，
∴CD＝＝，
∴菱形ACEF的面积为：×1××4＝2．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，矩形的判定，直角三角形斜边中线的性质，“准矩形”和“准菱形”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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40
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钉尖触地的频数
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钉尖触地的频率
0.500
0.417
0.456
0.456
0.456
0.458
0.458
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分数段
频数
频率
60≤x＜70
40
0.1
70≤x≤80
120
n
80≤x＜90
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h
90≤x＜100
80
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