湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题

这是一份湖南省邵阳市2024届高三第二次联考数学试题，共11页。试卷主要包含了保持答题卡的整洁，已知直线与椭圆相交于两点，已知函数的定义域为为的导函数，已知函数，则下列结论正确的有，已知复数满足等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.一组数据：的第30百分位数为（ ）
A.30 B.31 C.25 D.20
2.若集合，集合，则的真子集个数为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.31
3.已知为锐角，若，则（ ）
A. B. C. D.
4.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）
A.240种 B.120种 C.156种 D.144种
5.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知三棱锥中，平面，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与椭圆相交于两点.若弦被直线平分，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A.的最小正周期为 B.关于点对称
C.关于直线对称 D.在区间上单调递减
10.已知复数满足：（其中为虚数单位），则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C.的最小值为 D.的最大值为
11.已知函数在上可导，且的导函数为.若为奇函数，则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知等差数列的前项和为.若，则__________.
13.在中，边上的高为，则__________.
14.已知，若恒成立，则实数的取值范围是__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）如图所示，在四棱台中，底面是菱形，平面.
（1）证明：；
（2）若，棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角余弦值为.若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
16.（15分）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求的值及样本平均数的估计值；
（2）若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，.规定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题的概率均为，答对物理题的概率为.若小明全部答对的概率为，答对两道题的概率为，求概率的最小值.
附：若随机变量服从正态分布，则，.
17.（15分）设函数.
（1）求的极值；
（2）若对任意，有恒成立，求的最大值.
18.（17分）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，直线与双曲线交于两点.
（1）若经过点，且，求；
（2）若经过点，且两点在双曲线的左支上，则在轴上是否存在定点，使得为定值.若存在，请求出面积的最小值；若不存在，请说明理由.
19.（17分）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.
（1）分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
（2）任取一个5元理想数集，求证：；
（3）当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值.
注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.
2024年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准
数学
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
8.D 解析：构造在上单调递减，由得：，即.，故选D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
11.ACD 解析：由，知的周期为4.且，所以，故D正确.由为奇函数知关于对称，所以.由得0，即.故的周期为4且，可得，故正确.由上知的周期为4且关于对称，所以关于对称.则有，即.所以，令，得.故，所以关于对称.又，所以，故B错误.又，所以，故C正确.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.9 13. 14.
14. 解析：原不等式等价于，令.令，且，则在上单调递减，.故的范围是.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）（1）证明：连接底面是菱形，
.
又平面平面，
.
又平面.
四棱台中，延长线交于一点，
四点共面.
.
（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
若存在点满足题意，则设.
易知平面的一个法向量
设平面的法向量.
.
则则
令，则.
，解之得.
故在棱上存在点满足题意，此时或.
16.（15分）（1），
.
样本平均数的估计值为.
（2）.
.
能参加复试的人数约为（人）.
（3）由题意有.
答对两道题的概率.
而.
令，则，
当时，在内单调递减；
时，在内单调递增.
当时，.
故概率的最小值为.
17.（15分）解：（1）.
令，得，令，得.
故在单调递减，在单调递增.
在处取得极小值，无极大值.
（2）对恒成立，即对恒成立.
令，则只需即可.
.
在上单调递增且.
当时，单调递减；
当时，单调递增.
.
故，故的最大值为.
18.（17分）解：（1）把代入得：
，又.
又，解得.
双曲线方程为.
若直线的斜率不存在时，，此时不妨设.
，舍去.
若的斜率存在，设方程为，代入，化简得.
设，则，
.
，得，即.则.
.
（2）假设存在，使得为定值.
设方程为，代入，化简得.
由题意.
.
由题意.
要使为定值，则，解之得.
存在，使得为定值-1.
此时
令.
.
在递减，在时取得最大值1.
的最小值为.
19.（17分）解：（1）集合是理想数集，集合不是理想数集.
（2）不妨设集合且，即.
为理想数集，，则，且，使得.
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
综上所述：.
（3）设.
为理想数集.
，且，使得.
对于，同样有.
下先证对元理想数集，有.
不妨设集合中的元素满足.即.
为理想数集，
，且，使得.
当时，，当且仅当且时，等号成立；
当时，，当且仅当且时，等号成立；
当时，.
当且仅当时，等号成立.
.
.当且仅当时，等号成立.
.
理数.
当且仅当或时，等号成立.
理数的最小值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
C
B
C
D
题号
9
10
11
答案
ACD
BC
ACD