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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第3节二项式定理课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第3节二项式定理课件新人教A版，共45页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，中间一项，中间两项，ABD，BCD等内容，欢迎下载使用。
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n= ,n∈N*. (2)通项: ,它表示展开式的第k+1项. (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.
字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式
只与各项的项数有关,而与a,b的值无关
微点拨1.二项式系数 (k=0,1,2,…,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念.2.项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是 ,而该项的系数是 .当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.
微思考(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?
提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项式系数的性质
微点拨利用赋值法求二项式系数的和
常用结论若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论:(1)h(r)=0⇔Tr+1是常数项.(2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项.(3)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项.(4)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.(a+b)n的展开式中的第k项是 .( )2.在二项展开式中,系数最大的项一定为中间的一项或中间的两项.( )3.通项Tk+1= 中的a和b不能互换.( )4.在(ax+b)n的展开式中,某项的系数一定与该项的二项式系数相同.( )
题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第三册6.3.1节练习第4题)(x-1)10的展开式的第6项的系数是( )
6.(人教A版选择性必修第三册复习参考题6第3(5)题改编)在(1-2x)8的展开式中,各项系数的和是 .
解析 令x=1,可得各项系数和为(-1)8=1.
7.(人教A版选择性必修第三册习题6.3第8题改编)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则这两项的二项式系数分别是 , .
120 120
题组三连线高考8.(2022·北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )A.40B.41C.-40D.-41
解析 令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故
9.(2023·天津,11)在(2x3- )6的展开式中,x2项的系数为 .
考点一 二项展开式的通项及其应用(多考向探究预测)
考向1求形如(a+b)n(n∈N*)的二项展开式中的特定项(或系数)例1(1)(2023·北京,5) 的展开式中x的系数为( )A.-80B.-40C.40D.80
(3) 的展开式中系数为无理数的项的个数为( )A.2B.3C.4D.5
(2)(2024·福建福州模拟)若 的展开式中存在常数项,则正整数n可以是( )A.3B.5C.6D.7
考向2求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的两个多项式积的展开式问题例2(1)(2022·新高考Ⅰ,13) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
[对点训练2](1)(2024·山东济宁模拟)(x+ +1)(1-x)6的展开式中x3的系数为 (用数字作答).
(2)在(1-x)4(2x+1)5的展开式中,含x2的项的系数是 .
考向3三项展开式中的特定项(或系数)例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60
[对点训练3](2024·浙江嘉兴模拟)(x-2y+3z)6的展开式中x3y2z的系数为( )A.-60B.240C.-360D.720
考点二 二项式系数与各项的系数和问题
例4(1)(多选题)(2024·山东青岛模拟)已知 的展开式的各二项式系数的和为256,则( )A.n=8B.展开式中x-2的系数为-448C.展开式中常数项为16D.展开式中所有项的系数和为1
(2)(多选题)(2024·福建莆田模拟)已知(3x-2)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,则( )A.a0=22 023B.a0+a1+a2+…+a2 023=1
解析 对于A,令x=0,可得a0=(-2)2 023=-22 023,故A错误;对于B,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a2 023=12 023=1,故B正确;对于C,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a2 022-a2 023=(-5)2 023=-52 023,结合选项B,两式作差,可得2(a1+a3+a5+…+a2 023)=52 023+1,即a1+a3+a5+…+a2 023
[对点训练4](2022浙江,12)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2= ,a1+a2+a3+a4+a5= .
令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=0,得a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
考点三 二项式系数与项的系数的最值问题
例5(1)(2024·山东聊城模拟)已知 的展开式中,只有第四项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 .(用数字作答)
(2)(2024·山东青岛模拟)若 展开式的所有项的二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项的二项式系数为 .(用数字作答)
[对点训练5](1)(2024·山东省实验中学模拟)(x+2y)6展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
解析 由二项式系数的基本性质可知(x+2y)6展开式中二项式系数最大的项为T4= x3·(2y)3=160x3y3.因此,展开式中二项式系数最大的项的系数为160.
(2)若 展开式中前三项的系数和为163,则展开式中系数最大的项为 .
考点四 二项式定理的应用
例6(1)(2024·河北唐山、邯郸高三期末)9810除以1 000的余数是 . (2)用二项式定理估算1.0110= .(精确到0.001)
[对点训练6](1)用二项式定理估算0.9985的近似值(精确到0.001)是 .
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1.二项式定理(1)二项式定理:(a+b)n= ,n∈N*. (2)通项: ,它表示展开式的第k+1项. (3)二项式系数:二项展开式中各项的系数 (k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.
字母a,b是一种“符号”,实际上可以是数和式
只与各项的项数有关,而与a,b的值无关
微点拨1.二项式系数 (k=0,1,2,…,n)是组合数,它与二项展开式中对应项的系数不一定相等,应注意区分二项式系数与项的系数这两个不同的概念.2.项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的二项展开式中,第k+1项的二项式系数是 ,而该项的系数是 .当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.
微思考(a+b)n与(b+a)n的展开式有何区别与联系?
提示 (a+b)n的展开式与(b+a)n的展开式的项完全相同,但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.
2.二项式系数的性质
微点拨利用赋值法求二项式系数的和
常用结论若二项展开式的通项为Tr+1=g(r)·xh(r)(r=0,1,2,…,n),g(r)≠0,则有以下常见结论:(1)h(r)=0⇔Tr+1是常数项.(2)h(r)是非负整数⇔Tr+1是整式项.(3)h(r)是负整数⇔Tr+1是分式项.(4)h(r)是整数⇔Tr+1是有理项.
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.(a+b)n的展开式中的第k项是 .( )2.在二项展开式中,系数最大的项一定为中间的一项或中间的两项.( )3.通项Tk+1= 中的a和b不能互换.( )4.在(ax+b)n的展开式中,某项的系数一定与该项的二项式系数相同.( )
题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第三册6.3.1节练习第4题)(x-1)10的展开式的第6项的系数是( )
6.(人教A版选择性必修第三册复习参考题6第3(5)题改编)在(1-2x)8的展开式中,各项系数的和是 .
解析 令x=1,可得各项系数和为(-1)8=1.
7.(人教A版选择性必修第三册习题6.3第8题改编)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则这两项的二项式系数分别是 , .
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题组三连线高考8.(2022·北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )A.40B.41C.-40D.-41
解析 令x=1,则a4+a3+a2+a1+a0=1,令x=-1,则a4-a3+a2-a1+a0=(-3)4=81,故
9.(2023·天津,11)在(2x3- )6的展开式中,x2项的系数为 .
考点一 二项展开式的通项及其应用(多考向探究预测)
考向1求形如(a+b)n(n∈N*)的二项展开式中的特定项(或系数)例1(1)(2023·北京,5) 的展开式中x的系数为( )A.-80B.-40C.40D.80
(3) 的展开式中系数为无理数的项的个数为( )A.2B.3C.4D.5
(2)(2024·福建福州模拟)若 的展开式中存在常数项,则正整数n可以是( )A.3B.5C.6D.7
考向2求形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的两个多项式积的展开式问题例2(1)(2022·新高考Ⅰ,13) (x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
[对点训练2](1)(2024·山东济宁模拟)(x+ +1)(1-x)6的展开式中x3的系数为 (用数字作答).
(2)在(1-x)4(2x+1)5的展开式中,含x2的项的系数是 .
考向3三项展开式中的特定项(或系数)例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60
[对点训练3](2024·浙江嘉兴模拟)(x-2y+3z)6的展开式中x3y2z的系数为( )A.-60B.240C.-360D.720
考点二 二项式系数与各项的系数和问题
例4(1)(多选题)(2024·山东青岛模拟)已知 的展开式的各二项式系数的和为256,则( )A.n=8B.展开式中x-2的系数为-448C.展开式中常数项为16D.展开式中所有项的系数和为1
(2)(多选题)(2024·福建莆田模拟)已知(3x-2)2 023=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,则( )A.a0=22 023B.a0+a1+a2+…+a2 023=1
解析 对于A,令x=0,可得a0=(-2)2 023=-22 023,故A错误;对于B,令x=1,可得a0+a1+a2+…+a2 023=12 023=1,故B正确;对于C,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+a2 022-a2 023=(-5)2 023=-52 023,结合选项B,两式作差,可得2(a1+a3+a5+…+a2 023)=52 023+1,即a1+a3+a5+…+a2 023
[对点训练4](2022浙江,12)已知多项式(x+2)(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2= ,a1+a2+a3+a4+a5= .
令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=0,得a0=2,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.
考点三 二项式系数与项的系数的最值问题
例5(1)(2024·山东聊城模拟)已知 的展开式中,只有第四项的二项式系数最大,则展开式中常数项为 .(用数字作答)
(2)(2024·山东青岛模拟)若 展开式的所有项的二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项的二项式系数为 .(用数字作答)
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解析 由二项式系数的基本性质可知(x+2y)6展开式中二项式系数最大的项为T4= x3·(2y)3=160x3y3.因此,展开式中二项式系数最大的项的系数为160.
(2)若 展开式中前三项的系数和为163,则展开式中系数最大的项为 .
考点四 二项式定理的应用
例6(1)(2024·河北唐山、邯郸高三期末)9810除以1 000的余数是 . (2)用二项式定理估算1.0110= .(精确到0.001)
[对点训练6](1)用二项式定理估算0.9985的近似值(精确到0.001)是 .
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