备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练65抛物线（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练65抛物线（附解析人教A版），共8页。试卷主要包含了抛物线y=4x2的焦点坐标是，已知A为抛物线C，已知M是抛物线C，已知直线l1，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

1.(2024·广东中山模拟)抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A.(1,0)B.(0,1)
C.(,0)D.(0,)
2.(2024·山东济南模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点在圆x2+y2=4上,则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.1B.2
C.4D.8
3.(2020·全国Ⅰ,理4)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )
A.2B.3
C.6D.9
4.(2024·陕西商洛模拟)设O为坐标原点,直线y=6与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,若△OAB为正三角形,则点A到抛物线C的焦点的距离为( )
A.B.
C.2+1D.2
5.(2024·广东梅州模拟)已知M是抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线的焦点,点N(0,-4),若|MF|=|NF|,则△MFN的面积为( )
A.8B.8
C.12D.12
6.(2024·河北张家口模拟)探照灯、汽车前灯的反光镜面、手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置,通过抛物线反射就变成了平行于抛物线对称轴的光束,这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,灯口直径是80 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离为( )
A.20 cmB.10 cm
C.30 cmD.40 cm
7.(2024·浙江金丽衢十二校模拟)已知直线l1:3x-4y-6=0和直线l2:y=-2,抛物线x2=4y上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A.2B.3
C.D.
8.(2024·北京人大附中模拟)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点A(3,2),点P为该抛物线上一动点,则△PAF周长的最小值是( )
A.3+2
B.3
C.4+2
D.2+2+2
9.(多选题)(2024·河北模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),点A,B在C上,且弦AB的中点到直线x=-2的距离为5,则下列说法正确的是( )
A.p=16
B.线段AB的长为定值
C.A,B两点到C的准线的距离之和为14
D.|AF|·|BF|的最大值为49
10.(2024·山东潍坊模拟)已知抛物线C经过第二象限,且其焦点到准线的距离大于4,请写出一个满足条件的C的标准方程 .
11.(2024·江西南昌模拟)用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆,把平面渐渐倾斜,得到椭圆,当平面倾斜到与且仅与圆锥的一条母线平行时,得到抛物线.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形OAB(O为圆锥的顶点),过OA的中点M作截面α与圆锥相交得到抛物线C,将C放置在合适的平面直角坐标系中可得到标准方程y2=2px(p>0),则p= .
12.已知抛物线C:y2=2px过点A(-2,-4).
(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(2)过该抛物线的焦点,作倾斜角为60°的直线,交抛物线于A,B两点,求线段AB的长度.
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13.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两个点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|且△AOB的垂心恰是抛物线的焦点,则直线AB的方程是( )
A.x=pB.x=3p
C.x=pD.x=p
14.(多选题)(2023·新高考Ⅱ,10)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
15.(2024·浙江名校协作体联考)写出两个与直线x+1=0相切且与圆x2+y2-4x+3=0外切的圆的圆心坐标 .
16.(2021·新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
17.(2024·江苏南通模拟)已知点P在抛物线C:y2=2px(p>0)上,过P作C的准线的垂线,垂足为H,点F为C的焦点.若∠HPF=60°,点P的横坐标为1,则p= .
18.(2024·上海大同中学模拟)如图,一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分,杯口宽4 cm,杯深8 cm,称为抛物线酒杯.在杯内放入一个小的玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径的取值范围为 .
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19.(2024·云南保山模拟)已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点,当直线DQ与DA1所成的角为45°时,点Q的轨迹为( )
A.圆B.直线C.抛物线D.椭圆
课时规范练65 抛物线
1.D 解析 抛物线y=4x2,即x2=y,故焦点坐标为(0,).
2.C 解析 由于抛物线y2=2px(p>0)的焦点在x轴正半轴上,圆x2+y2=4与x轴正半轴的交点为(2,0),故抛物线的焦点为(2,0),所以=2,即p=4,所以抛物线的焦点到准线的距离为p=4.
3.C 解析 设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9,由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.
4.B 解析 设A(x0,6),因为△OAB是正三角形,由抛物线的对称性可知,|x0|=2,则12=12p,解得p=1,故点A到抛物线C的焦点的距离为6+
5.C 解析 由抛物线C:x2=8y,知其焦点坐标为F(0,2),准线方程为y=-2.
设点M(x0,y0),由抛物线的定义可知,|MF|等于点M到准线的距离,即|MF|=y0+2,又|MF|=|NF|=6,故y0=4,故|x0|=4,S△MFN=|FN|·|x0|=12
6.B 解析在纵断面内,以反射镜的顶点(即抛物线的顶点)为坐标原点,过顶点垂直于灯口直径的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示.由题意可得A(40,40).
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),于是402=2p·40,解得p=20.所以抛物线的焦点到顶点的距离为=10,即光源到反射镜顶点的距离为10cm.
7.B 解析 由题意可得,抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线l:y=-1.
设动点P与直线l,l1,l2的距离分别为d,d1,d2,点F到直线l1的距离为d3==2,则d2=d+1=|PF|+1,可得d1+d2=d1+|PF|+1≥d3+1=3,当且仅当点P在点F到直线l1的垂线上且点P在F与l1之间时,等号成立,动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是3.
8.C 解析 因为抛物线方程为y2=4x,所以2p=4,=1,所以焦点F(1,0),且准线方程为x=-1.因为A(3,2),F(1,0),所以|FA|==2,所以△PAF的周长为|PF|+|PA|+2因为根据抛物线的定义,点P到准线x=-1的距离等于|PF|,如图,过点A作直线x=-1的垂线,与抛物线交于点P时,点P到准线x=-1的距离与|PA|之和最小,最小值为3-(-1)=4,所以△PAF周长的最小值为4+2
9.CD 解析 由抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),所以=4,则p=8,A错误;
设A(x1,y1),B(x2,y2),则由弦AB的中点到直线x=-2的距离为5,可得+2=5,所以x1+x2=6,当AB过点F时,由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x1+4+x2+4=x1+x2+8=14.
当x1=x2=3时,|AB|=8,所以AB的长不是定值,B错误;
A,B两点到C的准线的距离之和与|AF|+|BF|相等,值为14,C正确;
|AF|·|BF|≤()2=49,当且仅当|AF|=|BF|=7时等号成立,故|AF|·|BF|的最大值为49,D正确.
故选CD.
10.x2=16y(答案不唯一) 解析 设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0).由已知可得,焦点到准线的距离p>4.可取p=8,则抛物线的标准方程为x2=16y.
11 解析由题意,过点M且平行于母线OB的截面α截圆锥得到抛物线,其标准方程为y2=2px(p>0).因为圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形OAB,则MC=1,CD=1,故抛物线必过点(1,1),代入抛物线的方程y2=2px,得2p=1,则p=
12.解 (1)因为抛物线C:y2=2px过点A(-2,-4),所以(-4)2=-4p,解得p=-4,故抛物线C的方程为y2=-8x,其准线方程为x=2.
(2)抛物线C的方程为y2=-8x,焦点为F(-2,0).直线AB的斜率为tan60°=,则直线AB的方程为y=(x+2),联立y2=-8x,消去y,整理得3x2+20x+12=0,Δ=256>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=2-x1+(2-x2)=4-(x1+x2)=4+
13.C 解析 由A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且|OA|=|OB|,
根据抛物线的对称性,可得点A,B关于x轴对称.
设直线AB的方程为x=m,不妨设点A在第一象限,则A(m,),B(m,-),因为△AOB的垂心恰好是抛物线的焦点F(,0),所以AF⊥OB,可得直线AF与直线OB的斜率之积是-1,即=-1,解得m=p,即直线AB的方程为x=p.
14.AC 解析 对于A,在y=-(x-1)中令y=0,得x=1,所以抛物线的焦点为(1,0),所以=1,所以p=2,故A正确;
对于B,由A知,抛物线的方程为y2=4x,则由不妨设M(),N(3,-2),则由抛物线的定义知|MN|=+3+2=,故B不正确;
对于C,由B知,以MN为直径的圆的圆心为(,-),半径为,又抛物线的准线l的方程为x=-=-1,圆心到准线l的距离为-(-1)=,故以MN为直径的圆与l相切,故C正确;
对于D,因为|OM|=,|ON|=,|MN|=,可知△OMN不是等腰三角形,故D不正确.故选AC.
15.(0,0),(2,4)(答案不唯一,只要圆心坐标(a,b)满足b2=8a即可) 解析 设所求圆心坐标为(a,b),圆x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=1,其圆心为(2,0),半径为1.
由题意得,a+1=-1,即a-(-2)=,故圆心(a,b)到点(2,0)的距离和到直线x=-2的距离相等,所以所求圆心的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线,故b2=8a,只要满足该式即可.
16. x=- 解析 ∵PF⊥x轴,∴xP=xF=,将xP=代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P,即|PF|=p.
如图,由条件得,△PFO∽△QFP,
,即,解得p=3.故C的准线方程为x=-
17 解析如图所示,不妨设点P在第一象限,因为点P的横坐标是1,所以y=,即点P(1,).易知PH平行于x轴,所以直线PF的倾斜角为60°,直线PF的斜率是又点F(,0),所以,整理得2(2-p),且有2-p>0,故018.(0,] 解析由题可知,设抛物线方程为x2=2py,因为B(2,8),所以(2)2=16p,解得p=,所以抛物线方程为x2=y.在杯内放入一个小的玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的截面大圆要过点(0,0).则可设玻璃球截面大圆的方程为x2+(y-r)2=r2.依题意,需满足抛物线上的任意点(x,y)到圆心的距离大于等于圆的半径恒成立,即r,又y=x2,则有x2(x2+1-2r)≥0恒成立,解得1-2r≥0,得019.C 解析以点D为原点,向量为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),设Q(x,y,1),可得=(x,y,1),=(1,0,1).
因为直线DQ与DA1所成的角为45°,
则cs45°===,化简可得y2=2x,所以点Q的轨迹为抛物线.