备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练63椭圆（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练63椭圆（附解析人教A版），共9页。试卷主要包含了已知椭圆C，已知椭圆E，6 mB，已知F1,F2分别为椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1.(2024·湖北荆州模拟)已知椭圆C:=1(a>3)的离心率为,则a=( )
A.5B.6
C.7D.8
2.(2024·安徽A10联盟模拟)已知椭圆E:=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,则E的离心率为( )
A.B.
C.D.
3.(2024·贵州贵阳模拟)已知椭圆C:=1的左、右焦点分别是F1,F2,P是椭圆C短轴的一个端点,且∠F1PF2=90°,则椭圆C的长轴长是( )
A.2B.4C.4D.8
4.(2024·辽宁朝阳模拟)一名木匠准备制作一张椭圆形的餐桌台面,如图,他先将一根细绳(无弹性)的两端固定在钉子上,然后用笔撑直绳子,转圈画出的图形就是一个椭圆.如果图中的两个钉子之间的距离为0.9 m,细绳长为1.5 m,将绳子与钉子固定所用的绳长忽略不计,则过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为( )
A.0.6 mB.1.2 m
C.0.8 mD.1.6 m
5.(2024·广东广州模拟)已知椭圆E:=1(a>b>0),过点A(-a,0)且方向向量为n=(1,-1)的光线l,经直线y=-b反射后过E的右焦点F,则E的离心率为( )
A.B.C.D.
6.(2024·山东淄博模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0),F为其左焦点,直线y=kx(k>0)与椭圆C交于点A,B,且AF⊥AB.若∠ABF=30°,则椭圆C的离心率为( )
A.B.
C.D.
7.(2022·全国甲,文11)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.+y2=1
8.(2024·湖南湘钢一中模拟)已知F1,F2分别为椭圆C:=1的两个焦点,P为椭圆C上的一点,则△PF1F2内切圆半径的最大值为( )
A.B.
C.D.
9.(多选题)(2024·湖北武汉模拟)若椭圆=1(m>0)的某两个顶点间的距离为4,则m的可能取值有( )
A.B.C.D.2
10.(多选题)(2024·黑龙江哈师大附中模拟)已知曲线C:mx2+(1-m)y2=1为焦点在y轴上的椭圆,则下列说法正确的是( )
A.B.C的离心率为
C.C的短轴长的取值范围是(2,2)
D.m的值越小,C的焦距越大
11.(2024·新疆乌鲁木齐模拟)已知椭圆C:=1的焦距为8,则C的离心率e= .
12.若P为椭圆=1上的一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,则∠F1PF2的最大值为 .
13.(2024·广东东莞模拟)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=25,动圆P与圆M外切并与圆N内切,则圆心P的轨迹方程为 .
综合 提升练
14.(2024·江西抚州模拟)已知F(2,0)为椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点,点A(2,3)为C内一点,若在C上存在一点P,使得|PA|+|PF|=10,则a的取值范围是( )
A.(4,7]B.(5,7]
C.(5,]D.(4,]
15.已知椭圆E:=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,左、右焦点分别为F1,F2,延长BF2交椭圆E于点P.若点A到直线BF2的距离为,△PF1F2的周长为16,则椭圆E的标准方程为( )
A.=1B.=1
C.=1D.=1
16.(2024·云南曲靖模拟)油纸伞是中国传统工艺品,为宣传和推广这一传统工艺,某单位于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞的伞沿是一个半径为的圆,圆心到伞柄底端的距离为,阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时,该地的阳光与地面夹角为60°),若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置,则该椭圆的离心率为( )
A.2-B.-1
C.-1D.
17.(2023·全国甲,理12)设O为坐标原点,F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,点P在C上,cs∠F1PF2=,则|OP|=( )
A.B.
C.D.
18.(2021·全国甲,理15)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
19.(2024·安徽阜阳模拟)设椭圆C:=1的右焦点为F,过原点O的动直线l与椭圆C交于A,B两点,那么△ABF的周长的取值范围为 .
20.已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2垂直于x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
创新 应用练
21.(2024·江苏南通模拟改编)如图,椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F1,点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6,7)均匀对称地分布在椭圆的上半部分,即点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6,7)的横坐标对应的点把线段AB平均分为8份.椭圆的半焦距长为c.记ai=|PiF1|(i=1,2,3,4,5,6,7),数列{an}的前n项和为Sn,且a+64c=4ac,则S7+a7-128取最小值时,椭圆的离心率为 .
课时规范练63 椭圆
1.B 解析 因为椭圆C:=1(a>3)的离心率为,所以()2=1-,所以a=6.
2.D 解析 由题意得,2a=4b,所以,∴e=
3.C 解析由椭圆C:=1,可得a2=m+3,b2=m-1.
因为P是椭圆C短轴的一个端点,且∠F1PF2=90°,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即2a2=4c2=4(a2-b2),可得a2=2b2,即m+3=2(m-1),解得m=5,所以a=2,故椭圆C的长轴长是4
4.B 解析 根据题意,结合椭圆定义得:椭圆的长轴长为2a=1.5,焦距为2c=0.9,
所以椭圆的短半轴长为b==0.6.
因为过椭圆中心的弦中,最短的弦为椭圆的短轴,长为2b=1.2,所以过该椭圆的中心的弦中,最短弦长为1.2m.
5.A 解析 设光线l与直线y=-b的交点为B.
因为直线l的方向向量为n=(1,-1),所以直线l的斜率为-1,则∠FAB=45°.
又由反射光的性质可得直线BF的斜率为1,故AB⊥BF,所以△ABF为等腰直角三角形,且点B到AF的距离为b.又AF=a+c,故a+c=2b.
即a2+c2+2ac=4b2=4(a2-c2),则(3a-5c)(a+c)=0,故3a=5c,离心率e=
6.A 解析设椭圆的右焦点为F2,连接AF2,BF2,故四边形AFBF2为平行四边形.
设|AF|=m.因为AF⊥AB,∠ABF=30°,所以|BF|=2m,|BF2|=|AF|=m,
|BF|+|BF2|=2m+m=2a,m=a.在△BFF2中,(2c)2=(a)2+(a)2-2aa×cs120°,整理得到4c2=,即c=a,故e=
7.B 解析 由题意知,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),则=(-a,-b)·(a,-b)=-a2+b2=-1,①
由e=,得e2==1-,
即b2=a2.②
联立①②,解得a2=9,b2=8.故选B.
8.C 解析 设△PF1F2内切圆的半径为r,
由题意得a=4,b=2,c==2,故|F1F2|=4.
设P(x1,y1),因为P为椭圆C上的一点,所以0<|y1|≤b=2所以△PF1F2的周长是=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12.又△PF1F2的面积是|F1F2|·|y1|=r,则6r=2|y1|≤4,所以r
9.BCD 解析 由题意可知,a=,b==m,若这两个顶点为长轴的两个端点时,2=4,解得m=;
若这两个顶点为短轴的两个端点时,2m=4,解得m=2;
若一个顶点为短轴的端点,另一个为长轴的端点时,=4,解得m=故选BCD.
10.AC 解析 曲线C的方程化为=1,因为曲线C为焦点在y轴上的椭圆,所以>0,即C的离心率为e=,故B错误;
C的短轴长2b=2,当C的焦距2c=2,当m=时,2c=;
当m=时,2c=,故D错误.
故选AC.
11 解析 因为椭圆C:=1的焦距为8,则半焦距c=4.
因为8<42,所以焦点在x轴上,因此短半轴长为2,长半轴长=2,所以C的离心率e=
12.90° 解析 易知当点P为椭圆与y轴的交点时,∠F1PF2最大.
因为椭圆方程为=1,所以a=5,c=,此时|PF1|=|PF2|=5,|F1F2|=2c=5,满足|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
所以△F1PF2为等腰直角三角形,所以∠F1PF2=90°.
13=1 解析 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R,由题意得|PM|=R+1,|PN|=5-R,所以|PM|+|PN|=6>2,所以点P的轨迹为以M,N为焦点的椭圆,则2a=6,即a=3,c=1,则b2=8,所以动圆圆心P的轨迹方程为=1.
14.D 解析 依题意,a2-b2=4,设C的左焦点为F',则F'(-2,0).因为|PA|+|PF|=10,且|PF|+|PF'|=2a,则|PA|+2a-|PF'|=10,即|PA|-|PF'|=10-2a,于是|10-2a|≤|AF'|=5,解得a
因为点A(3,2)为椭圆C内一点,所以<1,又因为b2=a2-4,所以有<1,整理得a4-17a2+16>0,又a2-4>0,即a>2,解得a>4,所以a的取值范围是415.B 解析 由题意,得A(-a,0),B(0,b),F2(c,0),则直线BF2的方程为bx+cy-bc=0,
所以点A到直线BF2的距离d=(a+c)=
由△PF1F2的周长为16,得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=16,即a+c=8②,
联立①②,解得b=a③.
因为b2=a2-c2,所以c=
联立②④,解得a=6,c=2,所以b=4,
故椭圆E的标准方程为=1.
16.A 解析如图,伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点,伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点,对应的伞沿为C,O为伞的圆心,F为伞柄底端,即椭圆的左焦点,令椭圆的长半轴长为a,半焦距为c.由OF⊥BC,|OF|=|OB|=,得a+c=|BF|=2,∠FBC=45°,|AB|=2a,|BC|=2
在△ABC中,∠BAC=60°,则∠ACB=75°,
sin75°=sin(45°+30°)=,
由正弦定理,得,解得a==1+,则c=1-,所以该椭圆的离心率e==2-
17.B 解析 由题意,不妨设F1,F2分别为左、右两焦点.
在椭圆C:=1中,a==3,b=,c=,∴|PF1|+|PF2|=2a=6(椭圆的定义),即|PF2|=6-|PF1|.
在△PF1F2中,|F1F2|=2c=2,cs∠F1PF2=,
由余弦定理得,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2,解得|PF1|=3+,∴|PF2|=6-|PF1|=3-
),
∴||=|
=
=
=
=
∴|PO|=故选B.
18.8 解析 由题意得a=4,b=2,c=2,
则|PQ|=|F1F2|=4
∵|OQ|=|OF1|=|OF2|=2,
∴QF1⊥QF2,即四边形PF1QF2为矩形.
∵|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,∴|QF1|·|QF2|=[(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)]=8,即四边形PF1QF2的面积为8.
19.[2+4,8) 解析 △ABF的周长C△ABF=|AB|+|AF|+|BF|.又因为A,B两点为过原点O的动直线l与椭圆C的交点,所以A,B两点关于原点对称,设椭圆C的左焦点为F',则|BF|=|AF'|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=4.又因为A,B,F三点不共线,所以2|AB|<4,所以△ABF的周长的取值范围为[2+4,8).
20 解析如图所示,不妨设c=2,圆心为A,直线PF1与圆A相切于点B.sin∠PF1F2=sin∠BF1A=,tan∠PF1F2=所以直线PF1的斜率为k=,由k=,|F1F2|=2c=4,得|PF2|=
则|PF1|=,于是2a=|PF1|+|PF2|=4,即a=2,
所以e=
21 解析 设P(xi,yi),有xk=-x8-k(i,k=1,2,3,4,5,6,7),易得|PiF1|=a+exi,所以数列{an}是等差数列,S7=|PiF1|=7a+e(x1+x2+…+x7)=7a.
由题意,点P1,P2,…,P7的横坐标对应的点把线段AB平均分为8份,所以x7=a,从而a7=a+ex7=a+c.
又a+64c=4ac,即=1,
所以S7+a7-128=(8a+c)()-128=128+-128+2+4,
当且仅当,即a=c时取得等号,此时椭圆的离心率为e=