备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练62直线与圆圆与圆的位置关系（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练62直线与圆圆与圆的位置关系（附解析人教A版），共9页。试卷主要包含了圆C1，已知点P为圆C，已知点M在圆C，已知直线l，过点P向圆C，圆Q1等内容，欢迎下载使用。

1.(2024·安徽滁州模拟)圆C1:x2+y2-6x-10y-2=0与圆C2:x2+y2+4x+14y+4=0的公切线的条数为( )
A.1B.2
C.3D.4
2.(2024·河北张家口模拟)已知点P(x0,y0)为圆C:x2+y2=2上的动点,则直线l:x0x-y0y=2与圆C的位置关系是( )
A.相交
B.相离
C.相切
D.相切或相交
3.(2024·湖北黄冈中学模拟)已知点M(1,)在圆C:x2+y2=m上,过点M作圆C的切线l,则直线l的倾斜角为( )
A.30°B.60°
C.120°D.150°
4.(2024·河北衡水模拟)已知直线l:y=3x与圆C:x2+y2-4y=0相交于A,B两点,则△ABC的面积为( )
A.B.
C.D.5
5.(2024·广东茂名模拟)已知直线l:y=kx与圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,则“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.过点P(-2,-3)向圆C:x2+y2-8x-4y+11=0引两条切线,切点分别是T1,T2,则直线T1T2的方程为( )
A.6x+5y+25=0
B.6x+5y-25=0
C.12x+10y+25=0
D.12x+10y-25=0
7.(2023·新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=( )
A.1B.
C.D.
8.(多选题)圆Q1:x2+y2-2x=0和圆Q2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则下列说法正确的是( )
A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0
B.线段AB的垂直平分线的方程为x+y-1=0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆Q1上一动点,则点P到直线AB距离的最大值为+1
9.(多选题)(2021·新高考Ⅰ,11)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
10.圆x2+y2=9在点(-2,)处的切线方程为 .
11.(2024·湖北黄石模拟)已知过点P(3,3)作圆O:x2+y2=2的切线,则切线长为 .
12.(2024·福建福州模拟)写出与直线x=1,y=1和圆x2+y2=1都相切的一个圆的方程 .
13.已知圆C1:x2+y2=10与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0.
(1)求证:圆C1与圆C2相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求经过两圆交点,且圆心在直线x+y-6=0上的圆的方程.
综 合 提升练
14.已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N,当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m=( )
A.±1B.±
C.±D.±2
15.已知圆O:x2+y2=1,点A(0,-2),B(a,2),从点A观察点B,要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(-∞,)∪(,+∞)
D.(-)
16.(2024·山东临沂沂水模拟)已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=8,从圆心C射出的光线被直线x+y=0反射后,反射光线恰好与圆C相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A.或-B.2+或2-
C.2+或2-D.1+或1-
17.(2024·湖南株洲模拟)在平面直角坐标系中,已知两点O(0,0),A(3,4)到直线l的距离分别是1与4,则满足条件的直线l共有( )
A.1条B.2条C.3条D.4条
18.(2020·全国Ⅰ,理11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0
19.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程为 .
20.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,A,B是切点,则四边形PACB面积的最小值是 .
创 新 应用练
21.已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动,据监测,目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向,距城市A 300 km的海面点P处,并以20 km/h的速度向西偏北30°方向移动.已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100 km,则城市A受台风影响的时间为( )
A.5 hB.5 hC. hD.4 h
课时规范练62 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.C 解析 根据题意,圆C1:x2+y2-6x-10y-2=0,即(x-3)2+(y-5)2=36,其圆心为(3,5),半径r=6;
圆C2:x2+y2+4x+14y+4=0,即(x+2)2+(y+7)2=49,其圆心为(-2,-7),半径R=7,两圆的圆心距|C1C2|==13=R+r,所以两圆相外切,两个圆恰有3条公切线.
2.C 解析 由题意可得=2,于是圆心(0,0)到直线l的距离d=,即d等于圆的半径,所以直线和圆相切.
3.D 解析 由题意得m=1+3=4.当直线l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不合题意,当直线l的斜率存在时,设l的斜率是k,则l的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0.则=2,解得k=-,设l的倾斜角为θ,则有0°≤θ<180°,由tanθ=-,得θ=150°.故l的倾斜角为150°.
4.B 解析 圆C的标准方程为x2+(y-2)2=4,故圆心坐标为C(0,2),半径r=2.
点C到线段AB的距离为d=,
故|AB|=2,
∴△ABC的面积S=|AB|·d=
5.A 解析 由圆C:(x-2)2+(y-1)2=1可得圆心(2,1),半径为1,所以直线l与圆C相交等价于圆心(2,1)到直线l:kx-y=0的距离d=<1,解得06.B 解析 把x2+y2-8x-4y+11=0①
转化为(x-4)2+(y-2)2=9,则圆心C为(4,2),半径r=3,
则|PC|=,|PT1|=|PT2|=2,
所以以点P为圆心,以|PT1|为半径的圆的方程为(x+2)2+(y+3)2=52,即x2+y2+4x+6y-39=0②,
①-②,得6x+5y-25=0.
7.B 解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,
故圆心C(2,0),半径R=
过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=,∠ADC=∠BDC=,由几何知识得,|BC|=|AC|=,|CD|==2
由勾股定理得,|AD|=|BD|=
cs,sin,
sinα=2sincs=2故选B.
8.ABD 解析 对于选项A,因为圆Q1:x2+y2-2x=0,圆Q2:x2+y2+2x-4y=0,两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为4x-4y=0,即x-y=0,故A正确;
对于选项B,圆Q1:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),直线AB的斜率kAB=1,则线段AB的垂直平分线的斜率为-1,即线段AB的垂直平分线的方程为y-0=-1×(x-1),整理可得x+y-1=0,故B正确;
对于选项C,圆Q1的圆心为Q1(1,0),点Q1到直线x-y=0的距离为d=,又圆Q1的半径r=1,所以|AB|=2,故C不正确;
对于选项D,P为圆Q1上一动点,圆心Q1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=,又圆Q1的半径r=1,所以点P到直线AB距离的最大值为+1,故D正确.故选ABD.
9.ACD 解析
如图,记圆心为M,半径为r,则M(5,5),r=4.
由条件得,直线AB的方程为=1,整理得x+2y-4=0,过点M作MN垂直于直线AB,垂足为N,直线MN与圆M分别交于点P1,P2,圆心M(5,5)到直线AB的距离|MN|=,于是点P到直线AB的距离最小值为|P2N|=|MN|-r=-4,最大值为|P1N|=|MN|+r=+4.又-4<2,+4<10,故A正确,B错误;
过点B分别作圆的两条切线BP3,BP4,切点分别为点P3,P4,则当点P在P3处时∠PBA最大,在P4处时∠PBA最小.
又|BP3|=|BP4|==3,故C,D正确.
故选A,C,D.
10.2x-y+9=0 解析 圆x2+y2=9的圆心为O(0,0),设A(-2,),显然点A在圆上.则直线OA的斜率为kOA=-,则所求切线的斜率为-,故切线方程为y=(x+2)+,即2x-y+9=0.
11.4 解析 由圆O:x2+y2=2,可得圆心O(0,0),半径r=,设切点为C,因为P(3,3),可得|PO|=3,所以切线长为|PC|==4.
12.(x-2)2+y2=1(答案不唯一,只需满足与直线x=1,y=1和圆x2+y2=1都相切即可) 解析 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为所求圆和直线x=1,y=1相切,所以得r=|a-1|=|b-1|,由所求圆和圆x2+y2=1相切,得=r+1或=|r-1|,若a=2,则b=0,r=1,此时所求圆的方程为(x-2)2+y2=1.
13.(1)证明 圆C2的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=16,∴C2(-1,-1),其半径r2=4.∵圆C1:x2+y2=10的圆心为C1(0,0),半径为r1=,∴|C1C2|=4-<4+,∴两圆相交.
(2)解 由圆C1:x2+y2-10=0与圆C2:x2+y2+2x+2y-14=0,将两圆方程相减,可得2x+2y-4=0,即两圆公共弦所在直线的方程为x+y-2=0.
(3)解 由
解得
则交点为A(3,-1),B(-1,3).∵圆心在直线x+y-6=0上,设圆心为P(6-n,n),则|AP|=|BP|,
即
=,
解得n=3,故圆心P(3,3),半径|AP|=4,∴所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=16.
14.C 解析 由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=,则弦长为|MN|=2,由于m是常数,所以当k=0时,|MN|取得最小值,为2=2,解得m=±
15.B 解析易知点B(a,2)在直线y=2上,过点A(0,-2)作圆的切线,设切线的斜率为k,则切线方程为y=kx-2,即kx-y-2=0.
由=1,得k=±,∴切线方程为y=±x-2,和直线y=2的交点坐标分别为(-,2),(,2).故要使视线不被圆O挡住,则实数a的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).
16.C 解析 圆C:(x-2)2+(y-2)2=8,圆心为C(2,2),设圆心C(2,2)关于直线x+y=0的对称点为C'(m,n),
则解得即C'(-2,-2).反射光线过点C'.
易知过点C'(-2,-2)的圆C的切线一定有斜率.
设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线的方程为kx-y+2k-2=0,
因为反射光线与圆C相切,所以=2,整理得k2-4k+1=0,解得k=2+或k=2-
17.C 解析 以点O(0,0)为圆心,以1为半径作圆O,以点A(3,4)为圆心,以4为半径作圆A.
因为|OA|==5=1+4,
所以两圆外切,有三条公切线,即满足条件的直线l共有3条.
18.D 解析 由已知得☉M:(x-1)2+(y-1)2=4.
因为S四边形PAMB=|PM|·|AB|=2S△PAM=|PA|·|AM|=2|PA|=2,所以|PM|·|AB|最小,即|PM|最小,此时PM与直线l垂直,PM所在直线的方程为y=x+,直线PM与直线l的交点为P(-1,0).
|PM|=,在Rt△APM中,|AP|==1.又|AP|=|BP|=1,以P(-1,0)为圆心,|AP|=1为半径作圆,则AB为☉M与☉P的公共弦,☉P的方程为(x+1)2+y2=1,即x2+2x+y2=0.
两圆方程相减得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+1=0.
19.x=-1(或y=-x+,或y=x-) 解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.
设点O(0,0),O1(3,4),由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
∵l1与直线OO1垂直,直线OO1的斜率,∴直线l1的斜率=-,直线OO1的方程为y=x.可设直线l1的方程为y=-x+b(b>0).又圆心O到直线l1的距离d1==1,解得b=(负值舍去).故内公切线l1的方程为y=-x+由得直线l与直线OO1的交点为A则可设直线l2的方程为y+=k(x+1).又圆心O到直线l2的距离d2==1,解得k=,故直线l2的方程为y=x-由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-x+,或y=x-
20.2 解析 圆C:x2+y2-2x-2y+1=0即圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,
所以圆心C(1,1),半径r=1.
连接PC,所以S四边形PACB=2S△PAC=2|AP|×|AC|=|AP|.
因为|AP|2=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1,所以当|PC|最小时,|AP|取最小值.|PC|的最小值即为点C到直线3x+4y+8=0的距离,为=3,所以|AP|的最小值是=2
即四边形PACB面积的最小值为2
21.B 解析如图,AP=300km,∠APB=30°,台风中心沿PB方向以20km/h的速度移动,台风中心距离城市A的最短距离为AB=APsin30°=300=150(km),又以台风中心为圆心的圆形区域,半径为100km,则台风中心在以城市A为圆心,半径为100km的圆内时,城市A受台风影响.
以城市A为圆心,半径为100km的圆截直线PB所得弦长为2=100(km),则城市A受台风影响的时间为=5(h).