备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练69最值与范围问题（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练69最值与范围问题（附解析人教A版），共6页。试卷主要包含了已知椭圆C，如图,抛物线M，设点A,E,则B等内容，欢迎下载使用。

(1)求C的方程;
(2)设点P(4,0),A,B是椭圆上关于x轴对称的两点,PB交C于另一点E,求△AEF的内切圆半径的取值范围.
2.(2024·山东济宁模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C的左支交于A,B两点,求k的取值范围;
(3)在(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l1与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.
3.(2024·河北张家口模拟)如图,抛物线M:y2=2px(p>0)与圆x2-10x+y2+9=0交于A,B,C,D四点,直线AC与直线BD交于点E.
(1)请证明E为定点,并求点E的坐标;
(2)当△ABE的面积最大时,求抛物线M的方程.
4.(2024·山东潍坊模拟)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过点D().
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)若动直线l:y=-x+m(1≤m<2)与椭圆C交于A,B两点,且在坐标平面内存在两个定点P,Q,使得kPAkPB=kQAkQB=λ(定值),其中kPA,kPB分别是直线PA,PB的斜率,kQA,kQB分别是直线QA,QB的斜率.
①求λ的值;
②求四边形PAQB面积的最大值.
课时规范练69 最值与范围问题
1.解 (1)依题意解得a=2,b=,所以C的方程为=1.
(2)因为AE不与x轴重合,所以设AE的方程为x=my+t(m≠0).设点A(x1,y1)(y1≠0),E(x2,y2),则B(x1,-y1).联立消去x,整理得(3m2+4)y2+6mty+3t2-12=0,则Δ=48(3m2-t2+4)>0,y1+y2=,y1y2=因为P,B,E三点共线且直线PB的斜率一定存在,所以,所以x1y2+x2y1=4(y1+y2),将x1=my1+t,x2=my2+t代入,可得2my1y2=(4-t)(y1+y2),从而2m(3t2-12)=(4-t)(-6mt),即t=1,满足Δ=48(3m2+3)>0,所以直线AE过定点Q(1,0),且Q为椭圆右焦点.设所求内切圆的半径为r,因为△AEF的面积是S△AEF=4a·r=4r,所以r=令u=(u>1),则m2=u2-1,所以r=因为u>1,对勾函数y=3u+在(1,+∞)内单调递增,所以3u+>4,则02.解 (1)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由已知条件可知a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,故所求双曲线的标准方程为-y2=1.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),由消去y,整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由1-3k2≠0,得k≠±=36(1-k2)>0,即-10,即k>,又-1(3)由(2)得xA+xB=,xAxB=所以yA+yB=kxA++kxB+=k(xA+xB)+2,
所以AB的中点P的坐标为().设直线l1的方程为y=-x+m,因为点P在直线l1上,所以=-+m,即m=因为3.(1)证明 由x2-10x+y2+9=0,得(x-5)2+y2=16.由抛物线和圆的对称性可设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),C(x2,-y2).由消去y,整理得x2+(2p-10)x+9=0,则有解得p<2.又p>0,所以0所以x0==3,
所以E为定点,坐标为(3,0).
(2)解 由题意知△ABE的面积与△CDE的面积相等,设△ABE的面积为S.如图,连接AD,BC,AB,CD.四边形ABCD为等腰梯形,其面积为S等腰梯形ABCD=(2y1+2y2)(x2-x1),则2S=S等腰梯形ABCD-S△ADE-S△CBE=(2y1+2y2)(x2-x1)-2y1(3-x1)-2y2(x2-3)=(y1+y2)(x2-x1)-y1(3-x1)-y2(x2-3)=y1x2-y2x1+3(y2-y1),由(1)知=x1,=x2,y1y2=6p,所以2S=(y2-y1)(+3)=6(y2-y1),
所以S=3(y2-y1)
=3
=3
=3
=6=6,
因为04.解 (1)由题意得解得则椭圆C的标准方程为=1.
(2)①设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),把y=-x+m与椭圆C:=1联立,消去y,整理得3x2-4mx+4m2-12=0,Δ=16m2-12(4m2-12)=144-32m2>0,即-所以4m(λx0-y0)+2m2(1-2λ)+3-3-3+12λ=0,若kPAkPB为定值,则必有计算可得故λ=
②不妨设点P(-2,-1),点Q(2,1),点P,点Q到直线l的距离分别是d1,d2,
因为1≤m<2,d1=,d2=,所以d1+d2=,
|AB|=
=
=
四边形PAQB的面积S=|AB|(d1+d2)=(当m=1时取等号).
所以四边形PAQB面积的最大值是