备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练40数列中的构造问题（附解析人教A版）

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1.(2024·宁夏六盘山模拟)已知数列{an}中,a1=4,an+1=4an-6,则an等于( )
A.22n+1+2B.22n+1-2
C.22n-1+2D.22n-1-2
2.(2024·江苏盐城高三期中)已知数列{an}满足a1=2,an+1=,则a6的值为( )
A.220B.224
C.21 024D.24 096
3.(2024·山东菏泽模拟)已知数列{an}中,a1=1且an+1=(n∈N*),则a16为( )
A.B.
C.D.
4.(多选题)(2024·广东顺德一中校考)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=,则下列结论正确的是( )
A.b3=4
B.{bn}是等差数列
C.b4=16
D.an=n·2n-1
5.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,an+1+an=2n+3,且Sn=1 450,若a2<4,则n的最大值为( )
A.50B.51
C.52D.53
6.(2024·广西梧州模拟)在数列{an}中,已知a1=2,an+1=,则{an}的通项公式为 .
7.(2024·江西景德镇模拟)已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则数列{an}的通项公式为 .
8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+3n,则数列{an}的通项公式为 .
9.设数列{an}满足a1=4,an=3an-1+2n-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为 .
10.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=an+1+an,求{an}的通项公式.
综 合 提升练
11.(2024·江西临川模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=( )
A.80B.100C.120D.143
12.已知数列{an}满足an+1=2an+4·3n-1,a1=-1,则数列{an}的通项公式为 .
13.已知a1=3,an+1=,求{an}的通项公式.
创 新 应用练
14.用砖砌墙,第一层用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,……以此类推,每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块,到第10层恰好把砖块用完,则此次砌墙一共用了 块砖.
课时规范练40 数列中的构造问题
1.C 解析 因为an+1=4an-6,所以an+1-2=4(an-2),所以=4,又a1-2=2,所以数列{an-2}是一个以2为首项,以4为公比的等比数列,所以an-2=2×4n-1,所以an=22n-1+2.
2.C 解析 an+1=,a1=2,易知an>0,故lnan+1=4lnan,故{lnan}是首项为ln2,公比为4的等比数列,lnan=4n-1·ln2,lna6=45·ln2=ln21024,故a6=21024.
3.A 解析 由an+1=,又=1,∴数列{}是以1为首项,为公差的等差数列,=1+(n-1)=,∴an=,∴a16=
4.AD 解析 由条件可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列,故B错误;可得bn==2n-1,所以an=n·2n-1,故D正确;则b3=4,b4=8,可知A正确,C错误.故选AD.
5.B 解析 ∵an+1+an=2n+3,∴an+1-(n+2)=-(an-(n+1)),∴{an-(n+1)}是以-1为公比的等比数列,∴an-(n+1)=(a1-2)·(-1)n-1,an=(n+1)+(a1-2)·(-1)n-1,∴Sn=[2+3+…+(n+1)]+(a1-2)[1+(-1)+(-1)2+…+(-1)n-1]=+(a1-2)当n为偶数时,Sn==1450无解,当n为奇数时,Sn=+a1-2=1450,∴a1=1452-,又a1+a2=5,∴a2=5-a1<4,即a1>1,即n(n+3)<2902,y=n(n+3)在N*上是增函数,又n为奇数,51×54=2754<2902,53×56=2968>2902,故n的最大值为51.
6.an= 解析 由an+1=,两边取倒数得=3+,即=3,又因为,所以{}是首项为,公差为3的等差数列,所以+3(n-1)=,故an=
7.an=n·2n-1 解析 当n≥2时,(n-1)an=2nan-1,则=2,而=1,因此数列{}是以1为首项,2为公比的等比数列,则=1×2n-1=2n-1,所以数列{an}的通项公式为an=n·2n-1.
8.an=3n-2n 解析 an+1=2an+3n两边同除以3n+1,得,令bn=,则bn+1=bn+,设bn+1+λ=(bn+λ),解得λ=-1,则bn+1-1=(bn-1).而b1-1=-,所以数列{bn-1}是以-为首项,为公比的等比数列,bn-1=-()n,得an=3n-2n.
9.an=2·3n-n-1 解析 设an+pn+q=3[an-1+p(n-1)+q],化简后得an=3an-1+2pn+(2q-3p),所以解得即an+n+1=3(an-1+n-1+1).令bn=an+n+1,则bn=3bn-1.又b1=6,故bn=6·3n-1=2·3n,又bn=an+n+1,所以an=2·3n-n-1.
10.解 设an+2-san+1=t(an+1-san),
即an+2=(s+t)an+1-stan,所以
解得(所得两组数值代入上式等价),
不妨令an+2-an+1=-(an+1-an),又a2-a1=1,所以{an+1-an}是以1为首项,-为公比的等比数列,则an+1-an=(-)n-1,累加得an-a1=(-)0+(-)1+…+(-)n-2=)(-)n-1(n≥2),
an=(-)n-1(n≥2).
又a1=1符合上式,故an=(-)n-1.
11.C 解析 易得an>0,因为an+1=an+2+1,所以an+1+1=()2+2+1,即an+1+1=(+1)2,等式两边开方可得+1,即=1,所以数列{}是以=2为首项,1为公差的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,所以a10=102+20=120.
12.an=4×3n-1-5×2n-1 解析 (方法一)设an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1),整理得an+1=2an-λ·3n-1,可得λ=-4,即an+1-4×3n=2(an-4×3n-1),又a1-4×31-1=-5≠0,所以数列{an-4·3n-1}是首项为-5,公比为2的等比数列,所以an-4×3n-1=-5×2n-1,即an=4×3n-1-5×2n-1.
(方法二)(两边同除以qn+1)两边同时除以3n+1,得,整理得(),又=-0,所以数列{}是首项为-,公比为的等比数列,所以=-()n-1,即an=4×3n-1-5×2n-1.
(方法三)(两边同除以pn+1)两边同时除以2n+1,得+()n-1,即=()n-1,当n≥2时,=()+()+…+()+=()n-2+()n-3+…+1-=2×()n-1-,故an=4×3n-1-5×2n-1(n≥2),显然当n=1时,a1=-1符合上式,故an=4×3n-1-5×2n-1.
13.解 an+1-1=-1=,①
an+1-4=-4=,②
由①÷②得=(-2)
又因为=-2,所以{}是首项为-2,公比为-2的等比数列,从而=(-2)n,即an=
14.2 046 解析 设此次砌墙一共用了S块砖,砌好第n层后剩下的砖块为an块(1≤n≤10,n∈N*),则当n≥2时,an=-1,即an+2=(an-1+2).∴{an+2}为等比数列,且公比为由题意得a1=-1,∴a1+2=+1,∴an+2=(+1)×()n-1,即an=(+1)×()n-1-2.∵a10=0,∴(+1)×()9-2=0,解得S=211-2=2046.