备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练41数列求和（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练41数列求和（附解析人教A版），共5页。

在①S7=a4+12,②a1+a4+a7=6这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并解答.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=an+,求{bn}的前n项和Tn.
2.(2024·河北张家口模拟)已知数列{an}的首项a1=1,Sn为其前n项和,且nan+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<.
3.(2024·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a1=1,nan+1=2Sn+n(n∈N*).
(1)求证:数列{}为常数列;
(2)设Tn=+…+,求Tn.
4.(2024·山东德州模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=2,Sn=an+1-3n-2.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)设bn=,记{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn<.
课时规范练41 数列求和
1.解 (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,若选择条件①S7=a4+12,
由题可得
解得
∴an=-1+(n-1)×1=n-2(n∈N*).
若选择条件②a1+a4+a7=6,
由题可得解得
∴an=-1+(n-1)×1=n-2(n∈N*).
(2)由(1)知,选择两个条件中的任何一个,都有an=n-2,则bn=an+=n-2+2n,
∴Tn=-1+21+0+22+…+n-2+2n=(-1+0+1+…+n-2)+(21+22+…+2n)=+2n+1-2.
2.(1)解 由题意,当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=4.
当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1+2.又nan+1=2Sn+2(n∈N*),
所以,当n≥2时,有nan+1-(n-1)an=2an,即
这表明从第二项起,数列{}是以=2为首项的常数列,即=2(n≥2).
所以数列{an}的通项公式为an=
(2)证明 由(1)可得,b1=,T1=b1=
当n≥2时,bn=),
所以,Tn=b1+b2+…+bn=+…+)=
综上所述,对任意的n∈N*,都有Tn<
3.(1)证明 由nan+1=2Sn+n,①
当n=1时,a2=2S1+1=2a1+1=3,
当n≥2时,(n-1)an=2Sn-1+n-1,②
①-②得nan+1-(n-1)an=2an+1,
即nan+1=(n+1)an+1,
所以n(an+1+1)=(n+1)(an+1),
所以,n≥2,
当n=1时,=2=,符合上式,
所以数列{}为常数列.
(2)解 由(1)得=2,
所以an=2n-1,
则Tn=+…++…+,
则Tn=+…+,两式相减得Tn=+…++2+2×()-,
所以Tn=
4.(1)解 当n=1时,S1=a1=a2-3-2,又a1=2,则a2=7,因为Sn=an+1-3n-2,
所以Sn-1=an-3(n-1)-2(n≥2),
两式相减得an+1=2an+3(n≥2),
所以an+1+3=2(an+3)(n≥2).
a1=2,a1+3=5,a2+3=10,
则a2+3=2(a1+3),即n=1也适合上式,所以{an+3}是以5为首项,2为公比的等比数列,故an+3=5×2n-1,
故an=5×2n-1-3.
(2)证明 由(1)得bn=
=
=),
故Tn=b1+b2+b3+…+bn=(+…+)=(),
当n∈N*时,>0,
故Tn<