备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练47平面向量的综合应用（附解析人教A版）

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1.已知点P为△ABC所在平面内一点,且+t(t∈R),若点P落在△ABC的内部,则实数t的取值范围为( )
A.(0,)B.()
C.(0,1)D.(0,)
2.(2024·广东珠海模拟)P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
3.(2022·北京,10)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则的取值范围是( )
A.[-5,3]B.[-3,5]
C.[-6,4]D.[-4,6]
4.(2024·北京昌平高三期末)已知向量a,b,c满足|a|=,|b|=1,=,(c-a)·(c-b)=0,则|c|的最大值是( )
A.-1B.
C.D.+1
5.在△ABC中,AB=3,AC=4,点P是△ABC的外心,则=( )
A.3B.
C.4D.
6.已知点A,B,C在圆x2+y2=4上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(1,0),则||的取值范围是 .
7.(2020·天津,15)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ=-,则实数λ的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则的最小值为 .
综合 提升练
8.(2024·湖南益阳模拟)如图所示,边长为2的等边三角形ABC,以BC的中点O为圆心,BC为直径在点A的另一侧作半圆弧,点P在圆弧上运动,则的取值范围为( )
A.[2,2]B.[2,5]
C.[2,4]D.[4,3]
9.(2024·河北唐山模拟)如图,在△ABC中,D是线段BC上的一点,且=4,过点D的直线分别交直线AB,AC于点M,N,若=λ=μ(λ>0,μ>0),则μ-的最小值是( )
A.B.
C.-7D.
创新 应用练
10.(2022·浙江,17)设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则+…+的取值范围是 .
课时规范练47 平面向量的综合应用
1.D 解析 因为点P落在△ABC的内部,所以A,P两点在直线BC的同一侧,所以+t<1,且t>0,所以02.B 解析 由||-|-2|=0,可得||=|-2|,即||=||,||=||,把等式||=||两边平方,化简得=0,,|AB|与|AC|大小无法判断,因此,只能得出△ABC是直角三角形.
3.D 解析 依题意建立如图所示平面直角坐标系,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),
因为PC=1,所以点P在以C为圆心,1为半径的圆上运动.设P(csθ,sinθ),θ∈[0,2π],则=(3-csθ,-sinθ),=(-csθ,4-sinθ),所以=(-csθ)×(3-csθ)+(4-sinθ)×(-sinθ)=cs2θ-3csθ-4sinθ+sin2θ=1-3csθ-4sinθ=1-5sin(θ+φ),其中sinφ=,csφ=因为-1≤sin(θ+φ)≤1,所以-4≤1-5sin(θ+φ)≤6,即[-4,6].
4. C 解析 把a,b平移到共起点,以b的起点为原点,b所在的直线为x轴,与b所在直线垂直的直线为y轴,建立如图所示坐标系,设=b,=a,=c,则c-a=,c-b=又(c-a)·(c-b)=0,所以AC⊥BC,则点C的轨迹为以AB为直径的圆,又因为|a|=,|b|=1,=,所以B(1,0),A(1,1),故以AB为直径的圆的方程为(x-1)2+(y-)2=,所以|c|的最大值就是以AB为直径的圆上的点到原点距离的最大值,所以最大值为
5.B 解析 取BC的中点D,连接AD,PD(图略),则PD⊥BC),=())·()=)=故选B.
6.[1,5] 解析 因为AB⊥BC,所以AC为圆的直径.以AC中点O为原点,建立平面直角坐标系(图略).设B(x,y)(-2≤x≤2),则=(-1,0),=(x-1,y),所以=2=(x-3,y),故||=|2|=,所以当-2≤x≤2时,1≤13-6x≤25,15,故1≤||≤5.
7 解析 =,==λ||||·cs120°=λ×6×3=-,∴λ=令=(0<),则==-+=-==[(μ-]·()=μ||2-+||2=369+9=36μ2-6μ-18μ+=36μ2-24μ+=36又0<,∴当μ=时取最小值
8. B 解析 过点O作OD∥AB交半圆弧于点D,连接AO,OP,如图.因为△ABC是正三角形,则∠BOD=,令夹角为θ,当点P在弧BD上时,0,当点P在弧CD上时,0,于是-csθ≤1,显然AO=,OP=1,∠OAB=,所以()==||||cs+||||csθ=2+2×1×csθ=3+2csθ∈[2,5].
9.A 解析 因为M,D,N三点共线,所以可设=t(t∈R),则=t(),又)=,所以=t(),又==,所以-=t(),所以(-λ)=-+t(μ-,所以消去t得,所以μ-=μ-因为λ>0,μ>0,得>0,得μ>,所以μ+2,当且仅当μ=,即μ=时,等号成立,所以μ-的最小值为
10.[12+2,16] 解析 如图,以圆心为原点,A3A7所在直线为x轴,A1A5所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
则A1(0,1),A2,A3(-1,0),A4,A5(0,-1),A6(,-),A7(1,0),A8设P(x,y),则+…+=8(x2+y2)+8.因为cs22.5°≤|OP|≤1,所以x2+y2≤1,故所求取值范围为[12+2,16].