备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练24利用导数证明不等式（附解析人教A版）

这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练24利用导数证明不等式（附解析人教A版），共5页。试卷主要包含了已知函数f=ln，已知函数f=ln x+，已知函数f=aex-x2-x，已知函数f=ax2-xln x等内容，欢迎下载使用。

(1)求曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线斜率;
(2)当x>0时,求证:f(x)>1.
2.(2024·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=ln x+(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a>1时,证明:f(x)>.
3.(2024·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=aex-x2-x.
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)当a=1时,证明:∀x∈(-2,+∞),f(x)>sin x.
4.(2024·湖南益阳模拟)已知函数f(x)=ax2-xln x.
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若a=2e,证明:f(x)5.(2024·安徽合肥模拟)已知函数f(x)=aln x+x2,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x-1;
(3)求证:对任意的n∈N*且n≥2,都有(1+)(1+)(1+)…(1+)课时规范练24 利用导数证明不等式
1.(1)解 f'(x)=-ln(x+1)+(,所以f'(2)=ln3.
(2)证明 当x>0时,欲证明f(x)>1,只需证明ln(x+1)->0.
设u(x)=ln(x+1)-,则u'(x)=>0在(0,+∞)上恒成立,所以u(x)在(0,+∞)上单调递增,即∀x>0,u(x)>u(0)=0,即当x>0时,f(x)>1.
2.(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=
当a≤0时,f'(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>0时,令f'(x)<0,解得0令f'(x)>0,解得x>,所以f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
(2)证明 由(1)可知,当a>1时,f(x)min=f()=lnlna+
要证f(x)>,只需证lna+,即证lna+-2>0.
令g(x)=lnx+-2(x>1),所以g'(x)=>0,
因此g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g(x)>g(1)=0,即lna+-2>0,故f(x)>成立.
3.(1)解 因为f(x)=aex-x2-x,所以f'(x)=aex-x-1,由f(x)在R上单调递增,得f'(x)≥0在R上恒成立,即aex-x-1≥0在R上恒成立,所以a在R上恒成立,令h(x)=,可得h'(x)=,当x>0时,h'(x)<0,h(x)单调递减;当x<0时,h'(x)>0,h(x)单调递增,所以当x=0时,函数h(x)取得极大值且为最大值,最大值h(0)=1,所以a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明 当a=1时,f(x)=ex-x2-x,所以f'(x)=ex-x-1,且f(0)=1.
要证f(x)>sinx,只需证f(x)>1.
①当x∈(0,+∞)时,令g(x)=f'(x)=ex-x-1,可得g'(x)=ex-1>0,所以g(x)单调递增,所以g(x)>g(0)=0,因此f(x)单调递增,所以f(x)>f(0)=1;
②当x=0时,可得f(0)=1且sin0=0,所以f(0)>sin0,满足f(x)>sinx;
③当-20,且-x2-x=-(x+1)2+>0,所以f(x)>0,因此f(x)>sinx.
综上可得,∀x∈(-2,+∞),都有f(x)>sinx.
4.(1)解 由已知得f'(x)=ax-lnx-1.
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f'(x)≥0,即a恒成立.
令h(x)=(x>0),则h'(x)=-,所以当00,当x>1时,h'(x)<0,即h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,因此h(x)max=h(1)=1,所以a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).
(2)证明 若a=2e,要证f(x)令t(x)=lnx+(x>0),则t'(x)=,所以当01时,t'(x)>0,所以t(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则t(x)min=t(1)=1,所以lnx+1.
令φ(x)=ex-ex(x>0),则φ'(x)=e-ex,所以当00,当x>1时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,所以ex-ex≤0.
所以ex-ex5.(1)解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x=,
①当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
②当a<0时,令f'(x)=0,解得x=
当0时,f'(x)>0,f(x)在(,+∞)上单调递增.
综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在(0,)内单调递减,在(,+∞)上单调递增.
(2)证明 当a=1时,f(x)=lnx+x2,要证明f(x)≤x2+x-1,即证lnx≤x-1,即证lnx-x+1≤0.
设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
所以g(x)在x=1处取得极大值,且极大值为最大值,所以g(x)≤g(1)=0,即lnx-x+1≤0.
f(x)≤x2+x-1得证.
(3)证明 由(2)lnx≤x-1(当且仅当x=1时,等号成立),令x=1+,则ln(1+)<,所以ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<+…++…++…+=1-<1=lne,即ln[(1+)(1+)(1+)…(1+)]

相关试卷

备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练19导数概念及其意义导数运算（附解析人教A版）： 这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练19导数概念及其意义导数运算（附解析人教A版），共5页。试卷主要包含了下列求导运算错误的是等内容，欢迎下载使用。

备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练25利用导数研究函数的零点（附解析人教A版）： 这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练25利用导数研究函数的零点（附解析人教A版），共6页。试卷主要包含了已知函数f=xex-2等内容，欢迎下载使用。

备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练22利用导数研究函数的极值最值（附解析人教A版）： 这是一份备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练22利用导数研究函数的极值最值（附解析人教A版），共8页。