备战2025届新高考数学一轮总复习课时规范练4基本不等式（附解析人教A版）

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1.(2024·贵州黔西检测)函数y=x+-1在区间(0,+∞)内的最小值是( )
A.-2B.1
C.2D.3
2.(2024·广西柳州模拟)若a>0,b>0,a+b=2,则的最小值为( )
A.B.
C.1D.2
3.(2024·陕西榆林模拟)已知a>0,b>0,a+4b=2,则ab的最大值为( )
A.B.
C.1D.2
4.(2024·福建宁德模拟)已知a>1,b>1,a=b3,则lg a+3lgb10的最小值为( )
A.4B.6
C.8D.10
5.(2024·湖北宜昌模拟)若正数x,y满足x+2y=2,则的最小值为( )
A.+1B.2+1
C.2D.
6.(2024·广东韶关模拟)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面为矩形,AB=2A1B1,高为3,且该棱台的体积为63,则该棱台上底面A1B1C1D1的周长的最小值是( )
A.15B.14C.13D.12
7.(多选题)(2024·海南海口模拟)已知a>0,b>0,且a+2b=2,则( )
A.ab的最大值为B.a+的最小值为4
C.a2+4b2的最小值为2D.的最大值为4
8.(2024·山东菏泽模拟)已知θ∈(0,π),则-cs2θ的最小值为 .
9.(2024·河北邢台联考)已知a>0,b>0,且ab=a-b+3,则a+b的最小值为 .
10.(2024·河北石家庄模拟)若a>0,b>0,c>0,且(a+b)(a+c)=4-2,则2a+b+c的最小值为 .
综 合 提升练
11.(2024·广东佛山模拟)最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高,根据记载,商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于2,则当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为( )
A.B.1
C.2D.6
12.(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知正实数a,b满足lg a+lg b=lg(a+2b),则4a+2b的最小值是( )
A.5B.9
C.13D.18
13.(多选题)(2024·浙江金华检测)已知a>0,b>0,a+b=2ab-,则( )
A.a>B.a+b≥3
C.ab≥D.
14.(2024·天津红桥模拟)已知x,y为正实数,则的最小值为 .
创 新 应用练
15.(2024·山东济南模拟)若a>0,b>0,则的最小值为( )
A.B.2
C.2D.4
16.(2024·山东日照模拟)设x>-1,y>0且x+2y=1,则的最小值为 .
课时规范练4 基本不等式
1.D 解析 因为x∈(0,+∞),所以y=x+-1≥2-1=3,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以y=x+-1在区间(0,+∞)上的最小值是3,故选D.
2.D 解析 由已知可得,因为a>0,b>0,由基本不等式知=1,当且仅当a=b=1时,等号成立,所以00,b>0,a+4b=2,由基本不等式可得2=a+4b≥2=4,可得ab,当且仅当a=4b,即a=1,b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故选A.
4.B 解析 由b>1知lgb10>0,所以lga+3lgb10=lgb3+3lgb10=+3lgb10=+3lgb10≥2=6,当且仅当=3lgb10,即lgb10=1,b=10时,等号成立,故lga+3lgb10的最小值为6,故选B.
5.A 解析 由x+2y=2,得=1,所以+1≥2+1=+1,当且仅当即x=2-2,y=2-时,等号成立,所以的最小值为+1,故选A.
6.D 解析 设棱台的上底面矩形边长分别为a,b,则下底面矩形边长分别为2a,2b,则棱台的体积为V=3×(ab++4ab)=63,∴ab=9,∴棱台的上底面的周长为2(a+b)≥4=12,当且仅当a=b=3时,等号成立,即上底面的周长最小值为12,故选D.
7.AC 解析 对于A项,因为a>0,b>0,a+2b=2,由基本不等式可得a+2b≥2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以ab≤()2=,故A正确;对于B项,根据基本不等式可得a+2=4,当且仅当a=2时,等号成立,此时b=0,故B错误;对于C项,a2+4b2=2,当且仅当a=2b=1时,等号成立,故C正确;对于D项,根据基本不等式可得4,当且仅当a=2b=1时,等号成立,所以的最小值为4,故D错误,故选AC.
8-1 解析 θ∈(0,π),00,b>0,c>0及(a+b)(a+c)=4-2,可得4-2=(a+b)(a+c)≤()2,当且仅当b=c时,等号成立,所以(2a+b+c)2≥4(-1)2,即2a+b+c≥2(-1),所以2a+b+c的最小值为2-2.
11.C 解析 设斜边c=2,直角边分别为a,b,则a2+b2=8,因为2ab≤a2+b2,所以a2+b2+2ab≤2(a2+b2),即(a+b)2≤16,当且仅当a=b=2时,等号成立,此时a+b取最大值,则这个直角三角形周长取最大值,此时面积为2×2=2,故选C.
12.D 解析 由题意,正实数a,b满足lga+lgb=lg(a+2b),则ab=a+2b,所以=1,故4a+2b=(4a+2b)()=10+10+2=18,当且仅当,结合=1,即a=b=3时,等号成立,即4a+2b的最小值是18,故选D.
13.BCD 解析 对于A,取a=,b=,满足a+b=2ab-,但不满足a>,A错误;对于B,因为a+b=2ab-,所以2ab=a+b+,即[(a+b)-3][(a+b)+1]≥0,所以a+b≥3,当且仅当a=b=时,等号成立,B正确;对于C,a+b=2ab-2,令=t(t>0),所以4t2-4t-3≥0,即(2t+1)(2t-3)≥0,所以t,即,所以ab,当且仅当a=b=时,等号成立,C正确;对于D,=2-,令ab=m,由C选项可知,m,而函数y=2-在区间[,+∞)上单调递增,所以2-,当且仅当m=,即a=b=时,等号成立,所以,即D正确,故选BCD.
14.3 解析 -1≥2-1=3,当且仅当,即y=x时,等号成立.
15.C 解析 因为a>0,b>0,所以22,当且仅当2a=b=4,即a=2,b=4时,等号成立,所以的最小值为2,故选C.
16 解析 因为x>-1,y>0,所以x+1>0,>0,>0,因为x+2y=1,所以x+1+2y=2,所以)(x+1+2y)=(3+)(3+2),当且仅当,即x=2-3,y=2-时取得最小值.