四川省成都市新津区成外学校2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列中，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（ ）
A. 4B. －4C. 8D. －8
3. 在数列中，已知，，且（），则（ ）
A. 13B. 9C. 11D. 7
4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5. 在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（ ）
A. 50B. 70C. 90D. 110
6. “数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是（ ）
A. B. C. D.
8. 谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ）
A. B.
C D.
二、多选题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，错选或不选得0分，少选得部份分.
9. 下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（ ）．
A 1，，，，…，，…
B ，，，，…，，…
C. ，，，…，，…
D. 1，，，…，，…
10. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图1，图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，如图2，图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则（ ）
A B. C. D.
11. 普林斯顿大学的康威教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lkandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，则（ ）
A. 若，则从开始出现数字2；
B. 若，则的最后一个数字均为；
C. 可能既是等差数列又是等比数列；
D. 若，则均不包含数字4.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 在等差数列中，，则________．
13. 数列是等比数列，且前项和为，则实数___________．
14. 习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为__________.
四、解答题：本大题共6个小题，共计70分.
15. 在等比数列中.
（1）若它的前三项分别为5，－15，45，求；
（2）若an＝625，n＝4，q＝5，求；
（3）若a4＝2，a7＝8，求an.
16. 已知数列满足，且成等比数列，
（1）求的通项公式；
（2）设数列前项和为，求的最小值及此时的值.
17. 已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，的前项和为，求.
18. 王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分10年还清．银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息)．
（1）若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；
（2）若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为0.3％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为 17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素)．参考数据
19. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中．
（1）数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列，请说明理由？
（2）数列是以1为公差的等差数列，且，对于任意的，都存在，使得，求的值；
（3）各项均为正数的数列的前项和为，且为常数列，对满足，的任意正整数都有，且不等式恒成立，求实数的最大值．