专题20 一次函数-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优试题精选专练

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【典例】
如图，点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，以A1B1为边向右作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交直线l于点B2；以A2B2为边向右作正方形A2B2C2A3，延长A3C2交直线l于点B3；…；按照这个规律进行下去，点B2022的坐标为 ．
【解答】解：∵点B1在直线l：y=12x上，点B1的横坐标为1，过点B1作B1A1⊥x轴，垂足为A1，
∴A1（1，0），B1（1，12），
∵四边形A1B1C1A2是正方形，
∴A2（32，0），B2（32，34），
A3（94，0），B3（94，98），
A4（278，0），B4（278，2716），
……
An（3n−12n−1，0），Bn（3n−12n−1，3n−12n），
∴点B2022的坐标为（3202122021，3202122022），
故答案为：（3202122021，3202122022）．
【巩固】如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M11l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N2⊥x轴，交直线l于点N3；…：按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 ．
二、一次函数与几何综合题
【典例】如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，3），点C是x轴上的一个动点；点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）
（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图所示），求证：△AOC≌△ABP；
（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．
【解答】解：（1）证明：∵△ACP与△AOB都是等边三角形
∴AC＝AP，AO＝AB，∠CAP＝∠OAB＝60°
∴∠CAP+∠PAO＝∠OAB+∠PAO
∴∠CAO＝∠PAB
在△AOC和△ABP中
AO=AB∠CAO=∠PABAC=AP
∴△AOC≌△ABP（SAS）
（2）∵△AOC≌△ABP
∴∠COA＝∠PBA＝90°
∴点P在过点B且与AB垂直的直线上
∵△AOB是等边三角形，A（0，3）
∴B（332，32）
当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）
设点P所在直线解析式为y＝kx+b（k≠0），把点B、P坐标分别代入得
332k+b=32b=−3
解得k=3b=−3
∴点P所在函数图象的解析式为y=3x﹣3．
【巩固】如图1，直线AB的解析式为y＝kx+6，D点坐标为（8，0），O点关于直线AB的对称点C点在直线AD上．
（1）求直线AD、AB的解析式．
（2）如图2，若OC交AB于点E，在线段AD上是否存在一点F，使△ABC与△AEF的面积相等，若存在求出F点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，过点D的直线l：y＝mx+b，当它与直线AB夹角等于45°时，求出相应m的值．
巩固练习
1．如图，点A，B，C在一次函数y＝﹣2x+m的图象上，它们的横坐标依次为﹣1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A．1B．3C．3（m﹣1）D．32(m−2)
2．将函数y＝2x+b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x+b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为（ ）
A．﹣4≤b≤﹣2B．﹣6≤b≤2C．﹣4≤b≤2D．﹣8≤b≤﹣2
3．如图，将长为2，宽为1的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数y＝kx的图象恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则k的值等于（ ）
A．1B．32C．23D．43
4．设直线y＝kx+k﹣1和直线y＝（k+1）x+k（k为正整数）及x轴围成的三角形面积为Sk，则S1+S2+S3+…+S2009的值是 ．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为 ．
6．设﹣1≤x≤2，则|x﹣2|−12|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，4），B（4.0），一次函数y＝﹣2x的图象与直线AB交于点P．
（1）求P点的坐标；
（2）若M点是y轴上一点，且△PMA的面积等于10，求点M的坐标；
（3）若直线y＝﹣2x+b与△AOB的三边恰好有两个公共点，直接写出b的取值范围 ．
8．先阅读材料，再解决问题：
已知点P （x0，y0）和直线y＝kx+b，则点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d=|kx0−y0+b|1+k2计算．例如：求点P（﹣2，1）到直线y＝2x+3的距离．
解：由直线y＝2x+3可知k＝2，b＝3．所以点P（﹣2，1）到直线y＝2x+3的距离为d=|kx0−y0+b|1+k2=|2×(−2)−1+3|1+22=255．
请解决以下问题：
（1）点O（0，0）到直线y=3x+3的距离是 ；
（2）若点P（2，0）到直线y＝﹣x+b的距离为2，求实数b的值；
（3）已知直线y＝2x+1与y＝2x﹣4互相平行，求这两直线之间的距离．
9．直线l1：y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B．
（1）求AB的长；
（2）如图1，直线l1关于y轴对称的直线l2交x轴于点C，直线l3：y=12x+b经过点C，点D、T分别在直线l2、l3上．若以A、B、D、T为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）如图2，平行y轴的直线x＝2交x轴于点E，将直线l1向上平移5个单位长度后交x轴于M，交y轴于N，交直线x＝2于点P．点F（t，t2）在四边形ONPE内部，直线PF交OE于G，直线OF交PE于H，求GE（ME+HE）的值．
10．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB经过点C（a，a），且交x轴于点A（m，0），交y轴于点B（0，n），且m，n满足m−6+（n﹣12）2＝0．
（1）求直线AB的解析式及C点坐标；
（2）过点C作CD⊥AB交x轴于点D，请在图1中画出图形，并求D点的坐标；
（3）如图2，点E（0，﹣2），点P为射线AB上一点，且∠CEP＝45°，求点P的坐标．