高中数学6.3 平面向量基本定理及坐标表示学案

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1. 平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2。
若e1，e2不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 重心
重心是三角形三边中线的交点。有如下性质：
①如图，在∆ABC中，D为线段BC中点，E为线段AC中点，F为线段AB中点，连接AD、BE、CF，交于点G，则G为∆ABC的重心，同时：AGGD=21，BGGE=21，CGGF=21；
②G为∆ABC的重心的充要条件是：GA+GB+GC=0；
③设Ax1,y1，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则∆ABC的重心G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)。
3. 等和线定理
定理1
如图，若OC=xOA+yOB，则A、B、C三点共线的充要条件是：x+y=1。
定理2
如图，若OC'=x'OA+y'OB，则x'+y'=|OC'||OC|。
一、平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a=λ1e1+λ2e2。
若e1，e2不共线，我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
【例1】如图，AD，BE，CF是∆ABC的三条中线，CA=a，CB=b。
（1）用a，b表示AB，AD，BE，CF。
（2）证明：AD+BE+CF=0。
例1将向量AD，BE，CF用向量CA，CB进行表示，并利用所得的结果证明了AD+BE+CF=0。向我们展示了解决平面向量的问题的一个基本思想，即选取基底，并将其它向量用所选取的基底进行表示，然后去解决相应的问题。同时，需要指出的一点是，需要根据题目所给的条件，灵活地选取合适的基底。
【例2】如图，在∆ABC中，BD=2DC，E是AD的重点，设AB=a，AC=b。
（1）试用a，b表示AD，BE；
（2）若|a|=1，|b|=1，a与b的夹角为60°，求|BE|。
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD的中点，BC与CE相交于点O，AB=a，AD=b，则下列选项正确的是
A. EF=12a-12b
B. EC=12a+b
C. FO=23a-16b
D. 若∠A=60°，a=2，b=1，则EF∙EC=-34
以上补充的几个例题都是平面向量基本定理的应用，我们需要学会应用平面向量基本定理去解决平面向量的相关问题。
二、“梅氏”三角形、重心及其性质
“梅氏”三角形
如图，在∆ABC中，D为线段BC上一点，E为线段AC上一点，连接AD、BE，则：AFFD，BFFE，BDDC，AEEC四个值中知道任意两个值，另外两个值都能求出来。这是“梅氏”三角形的特点。接下来我们利用平面向量去解决这个问题，同时去证明重心的一些性质。
重心
重心是三角形三边中线的交点。有如下性质：
①如图，在∆ABC中，D为线段BC中点，E为线段AC中点，F为线段AB中点，连接AD、BE、CF，交于点G，则G为∆ABC的重心，同时：AGGD=21，BGGE=21，CGGF=21；
②G为∆ABC的重心的充要条件是：GA+GB+GC=0；
③设Ax1,y1，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则∆ABC的重心G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)。
下证，
先证性质①；
证明：
取{AB,AC}为一组基底，设AG=λAD，BG=μBE，
于是：
AG=λAD=λ12AB+12AC=12λAB+12λAC，
同时：
AG=AB+BG=AB+μBE=AB+μ-AB+AE=AB+μ-AB+12AC=1-μAB+12μAC，
∴我们可以得到：12λ=1-μ12λ=12μ，∴λ=23μ=23，
所以AGGD=21，BGGE=21。同理可证：CGGF=21。所以性质①得证。
再证性质②；
证明：
先证充分性，即“GA+GB+GC=0”⇒“G为∆ABC的重心”，
由GA+GB+GC=0，得：GB+GC=-GA，
两边同时除以2，即：12GB+12GC=-12GA，
令GD=-12GA，则：GD=12GB+12GC，∴B，C，D三点共线，且D为BC中点，
于是可以作出如下所示的图，
由于GD=-12GA，∴GAGD=21，
根据重心的定义与上述性质①可知，G为∆ABC的重心。
再证必要性，即“G为∆ABC的重心”⇒“GA+GB+GC=0”，
如图GA+GB=2GF，由上述重心的性质①可知，GC=-2GF，
∴2GF+GC=0，即GA+GB+GC=0。所以性质②得证。
最后证性质③；
证明：
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，G(x0,y0)，
GA=(x1-x0,y1-y0)，GB=(x2-x0,y2-y0)，GC=(x3-x0,y3-y0)，
而GA+GB+GC=0，
∴x1-x0+x2-x0+x3-x0=0y1-x0+y2-x0+y3-x0=0，∴x0=x1+x2+x33y0=y1+y2+y33，∴G(x1+x2+x33,y1+y2+y33)。所以性质③得证。
我们结合以上几个知识点，再来看看几个例题。
【例4】如图，在∆ABC中，D为AC的中点，BE=14BC。求BFFD和AFFE的值。
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，BE+CE=0，DC=3DF，DE与BF相交于点O，若AD=2，AO∙3AD-2AB=-7，则AB的长为
A. 5 B. 4 C. 3 D. 4
【例6】如图，在∆ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=2π3，AE=1，AF=2，D为BC的中点，AD与EF交于G点，设AB=a，AC=b。
（1）试用a，b表示BG；
（2）求cs。
三、等和线定理
定理1
如图，若OC=xOA+yOB，则A、B、C三点共线的充要条件是：x+y=1。
下证。
证明：
先证充分性，即“x+y=1”⇒“A、B、C三点共线”，
AB=OB-OA，
AC=OC-OA=xOA+yOB-OA=yOB-(1-x)OA，
而x+y=1，即1-x=y，
∴AC=yOB-yOA，
∴AC=yAB，
∴AC//AB，
∴A、B、C三点共线。
再证必要性，即“A、B、C三点共线”⇒“x+y=1”，
设AC=λAB，则：OC=OA+AC=OA+λAB=OA+λ(OB-OA)=(1-λ)OA+λOB，
∴x=1-λy=λ，∴x+y=1，r
证毕。
定理2
如图，若OC'=x'OA+y'OB，则x'+y'=|OC'||OC|。
下证。
证明：
设|OC'||OC|=1t，则：OA=tOM，OB=tON，
∴OC'=x'OA+y'OB=x'tOM+y'tON，
∵M、C'、N三点共线，∴x't+y't=1，
即x'+y'=1t，即x'+y'=|OC'||OC|。
【例7】已知∆ABC中，AB=2，AC=3，BP=13BC，AQ=25AB，O点为AP与CQ的交点，请用AB，AC表示AO。
【例8】如图，G是∆ABC的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P、G、Q三点共线。
（1）设PG=λPQ，将OG用λ，OP，OQ表示；
（2）设OP=xOA，OQ=yOB，证明：1x+1y是定值。
【例9】如图所示，在∆ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为 。
【例10】如图，已知点G是∆ABC的重心，且AB=a，AC=b，AP=ma，AQ=nb(m>0,n>0)，试求m+2n的最小值。
【例11】平面内给定三个向量a=(2,2)，b=(n+1,4)，c=(k,3)，且(a+2c)//(b-a)。
（1）求实数k关于n的表达式；
（2）如图，在∆OAB中，G为中线OM上一点，且OG=2GM，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（P，Q不与O重合）。设向量OP=(k+3)OA，OQ=mOB，求m+2n的最小值。
【例12】如图1，∆BCD与∆ABC的面积之比为2:1，点P是区域ABCD内的任一点（含边界），且AP=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是
A. [0,1] B. [0,2] C. [0,3] D. [0,4]


【例13】设长方形ABCD的边长分别是AD=1，AB=2，点P是∆BCD内（含边界）的动点。设AP=xAB+yAD，则x+2y的取值范围为
A. [1,2] B. [1,3] C. [2,3] D. [0,2]
解：