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黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷（Word版含答案）
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这是一份黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷（Word版含答案），共10页。试卷主要包含了若复数，则，已知向量，则，已知数列满足，则，的展开式中的系数为，在中，，则下列各式一定成立的是，已知函数的部分图像如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若复数，则（ ）
A. B. C.1 D.-1
2.五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（ ）
A.24 B.120 C.48 D.60
3.已知向量，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知数列满足，则（ ）
A.3 B.2或-2 C.3或-3 D.2
5.的展开式中的系数为（ ）
A.-30 B.-20 C.20 D.30
6.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.在中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A.
B.与所成角的余弦值为
C.四点共面
D.的面积为
10.已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A.在上单调递增
B.在上有4个零点
C.
D.将的图祭向右平移个单位，可得的图像
11.定义在上的函数满足，且不是常值函数（即：的值域不是单元素集合），则（ ）
A. B.
C.时， D.为奇函数
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知集合，则的子集个数为__________.
13.在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为__________；（若，则
14.在1，3中间插入二者的乘积，得到，称数列为数列1，3的第一次扩展数列，数列为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得，3为数列1，3的第次扩展数列，令，则数列的通项公式为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知点在线段上，且，求长.
16.（15分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
18.（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线过定点；
（3）椭圆的焦点分别为，求凸四边形面积的取值范围.
19.（17分）已知函数.
（1）证明曲线在处的切线过原点；
（2）讨论的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
大庆市大庆中学2024年高三年级月考
数学（答案）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分
1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.A
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9.ACD 10.ABC 11.AB
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分
12.4 13.0.1
13.
因为为
所以，
所以，又，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.
四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）（2）
【解析】（1），由余弦定理得，
即，则可得；
（2）由余弦定理，
，
则在中，由正弦定理可得，
.
16.解：
（1）在四棱锥中，因为二面角为直二面角，所以平面平面，因为底面为正方形，所以，而平面平面平面，所以平面，而平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以；
（2）分别取中点为，连接，因为，所以，又因为平面平面=平面平面平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
，
，设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，，则是平面的一个法向量.
设直线与平面的夹角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.
17.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6
【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，
则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则
.
（2）由题可知的所有可能取值为，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则，
所以，
，
故的分布列为
所以.
18.（17分）（1）由题设得，解得，所以的方程为；
（2）由题意可设，设，
由，整理得，
.
由韦达定理得，
由得，即，
整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点舍去；
时，满足，所以直线过定点.
（3）由（2）得直线，所以，
由，整理得，
由题意得，
因为，所以，所以，令，
所以，在上单调递减，
所以的范围是.
19.（17分）（1）由题设得，所以，
又因为，所以切点为，斜率，
所以切线方程为，即，恒过原点.
（2）由（1）得，
①时，，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减；
②时，时，在上单调递增，
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，，即，
下面证明当时，，即证，
令，因为，所以，只需证，
即证，令，
令，
令与在上单调递减，
所以在上单调递减，，
所以存在，使得，即，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令时，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递减，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，综上所述.
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分.0
1
2
3
0.51
0.38
0.09
6
0.00
8
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.若复数，则（ ）
A. B. C.1 D.-1
2.五人站成一排，如果必须相邻，那么排法种数为（ ）
A.24 B.120 C.48 D.60
3.已知向量，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知数列满足，则（ ）
A.3 B.2或-2 C.3或-3 D.2
5.的展开式中的系数为（ ）
A.-30 B.-20 C.20 D.30
6.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与交于两点，以为直径的圆与准线切于点，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.在中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
8.双曲线的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交双曲线于两点，的内切圆圆心分别为，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A.
B.与所成角的余弦值为
C.四点共面
D.的面积为
10.已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A.在上单调递增
B.在上有4个零点
C.
D.将的图祭向右平移个单位，可得的图像
11.定义在上的函数满足，且不是常值函数（即：的值域不是单元素集合），则（ ）
A. B.
C.时， D.为奇函数
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.已知集合，则的子集个数为__________.
13.在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为__________；（若，则
14.在1，3中间插入二者的乘积，得到，称数列为数列1，3的第一次扩展数列，数列为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得，3为数列1，3的第次扩展数列，令，则数列的通项公式为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）在中，的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）已知点在线段上，且，求长.
16.（15分）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为，乙击中8环､9环､10环的概率分别为，且甲､乙两人射击相互独立.
（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
（2）若独立进行三场比赛，其中场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
18.（17分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）证明直线过定点；
（3）椭圆的焦点分别为，求凸四边形面积的取值范围.
19.（17分）已知函数.
（1）证明曲线在处的切线过原点；
（2）讨论的单调性；
（3）若，求实数的取值范围.
大庆市大庆中学2024年高三年级月考
数学（答案）
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分
1.A 2.C 3.D 4.C 5.A 6.B 7.B 8.A
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分
9.ACD 10.ABC 11.AB
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分
12.4 13.0.1
13.
因为为
所以，
所以，又，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.
四､解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.【答案】（1）（2）
【解析】（1），由余弦定理得，
即，则可得；
（2）由余弦定理，
，
则在中，由正弦定理可得，
.
16.解：
（1）在四棱锥中，因为二面角为直二面角，所以平面平面，因为底面为正方形，所以，而平面平面平面，所以平面，而平面，所以，又因为平面，所以平面，又因为平面，所以；
（2）分别取中点为，连接，因为，所以，又因为平面平面=平面平面平面，所以平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，
，
，设是平面的一个法向量，则，即，不妨取，，则是平面的一个法向量.
设直线与平面的夹角为，则.所以直线与平面所成的角的正弦值为.
17.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6
【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，
则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则
.
（2）由题可知的所有可能取值为，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则，
所以，
，
故的分布列为
所以.
18.（17分）（1）由题设得，解得，所以的方程为；
（2）由题意可设，设，
由，整理得，
.
由韦达定理得，
由得，即，
整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点舍去；
时，满足，所以直线过定点.
（3）由（2）得直线，所以，
由，整理得，
由题意得，
因为，所以，所以，令，
所以，在上单调递减，
所以的范围是.
19.（17分）（1）由题设得，所以，
又因为，所以切点为，斜率，
所以切线方程为，即，恒过原点.
（2）由（1）得，
①时，，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减；
②时，时，在上单调递增，
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
③时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）当时，，即，
下面证明当时，，即证，
令，因为，所以，只需证，
即证，令，
令，
令与在上单调递减，
所以在上单调递减，，
所以存在，使得，即，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
令时，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递减，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，综上所述.
以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分.0
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0.38
0.09
6
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