辽宁省七校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版含解析）

这是一份辽宁省七校2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版含解析），共19页。试卷主要包含了 已知集合，若，则的子集有， 下列命题为真命题的是， 下列各式正确的是， 设，，，则，，的大小关系是， 函数图像为， 若函数则等内容，欢迎下载使用。

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若，则的子集有（ ）
A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数图像为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若函数则（ ）
A. B. 2C. D. 3
7. 若是不平行的两个向量,其中,,则A、B、C三点共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.
9. 下列函数中是偶函数，且在上为增函数有（ ）．
A. B. C. D.
10. 同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 若，，，则下列命题正确是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
12. 已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 函数有四个零点
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.
13. ________．
14. 已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则__________.
15. 抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为，则该运动员这10次成绩的分位数为__________.
16. 已知函数，若对任意的正数a、b，满足，则的最小值为：______．
四､解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围.
18. 在平面内给定三个向量．
（1）求满足的实数m,n的值；
（2）若向量满足，且，求向量的坐标．
19. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围.
20. 某学校为了解本校历史､物理方向学生学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
（1）求和乙样本直方图中的值；
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
21. 已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若方程有两个正实数根，求的最小值.
22. 已知函数.
(1)当时，求满足的的值；
(2)若函数是定义在R上奇函数，函数满足，若对任意且≠0,不等式恒成立，求实数m的最大值.
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，若，则的子集有（ ）
A. 3个B. 4个C. 7个D. 8个
【答案】B
【解析】
【分析】先将集合A化简，求出集合C得解.
【详解】集合，因为，
所以，其子集有4个.
故选：B.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.
【详解】对于A，因为，所以，A错误；
对于B，当时，，B错误；
对于C，当时，，C正确；
由可得均为无理数，故D错误，
故选:C.
3. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂运算的规则逐项分析即可.
【详解】对于A， ，正确；
对于B， ，错误；
对于C， ，错误；
对于D， ，错误；
故选：A.
4. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算，，，得到答案.
【详解】，，，
故.
故选：D
5. 函数的图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以函数的定义域、奇偶性去排除错误选项即可.
【详解】函数的定义域为，可以排除选项B、C；
由，
可知函数为偶函数，其图像应关于y轴轴对称，可以排除选项D.
故选：A
6. 若函数则（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】首先计算，再计算的值.
【详解】，.
故选：D.
7. 若是不平行的两个向量,其中,,则A、B、C三点共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将三点共线转化为两个向量共线，利用向量共线的充要条件求出两参数的关系.
【详解】A、B、C三点共线共线，
存使

整理得
故选：C
【点睛】本题主要考查向量共线的充要条件以及充要条件的求法，在解决三点共线的问题时，可先证明两向量共线.
8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，判断单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.
【详解】，
由于，所以的定义域为，
又
，所以是奇函数，
当时，为增函数，为增函数，
所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增，
由得，即，
则，解得，所以不等式的解集是.
故选：D
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.
9. 下列函数中是偶函数，且在上为增函数的有（ ）．
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义和基本初等函数的性质，逐项判定，即可得解.
【详解】对于A：定义域为，关于原点对称，是奇函数，不满足题意；
对于B：定义域为R，关于原点对称，，，是偶函数，由二次函数的性质可知，函数在上为增函数，满足题意；
对于C：定义域为R，关于原点对称，，，是奇函数，不满足题意；
对于D：定义域为，关于原点对称，，，是偶函数，当时，，由对数函数的性质可知，在上为增函数，满足题意.
故选：BD.
10. 同时拋郑两个质地均匀的四面分别标有的正四面体一次，记事件第一个四面体向下的一面出现偶数；事件第二个四面体向下的一面出现奇数；事件两个四面体向下的一面或同时出现奇数，或者同时出现偶数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用古典概率公式，互斥事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式，逐一判断即可求解.
【详解】依题意，，
，故选项A正确，B不正确；
因为，为相互独立事件，
所以，故选项C正确；
又因为事件、、不可能同时发生，
所以，故选项D不正确；
故选：AC.
11. 若，，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若且，则B. 若，则
C. 若，则D. 若且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】直接根据所给条件不等式结合作差法去证明结论正确或者举出反例推翻结论即可.
【详解】对于A，若，满足且，但，故A错误；
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，若，则，即，故C正确；
对于D，若，这当然也满足，但此时，故D错误.
故选：BC.
12. 已知函数有两个零点，，以下结论正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. D. 函数有四个零点
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可．
【详解】二次函数对应二次方程根的判别式，故A正确；
韦达定理，， ，故B正确；
对于C选项，，，所以，故C选项正确；
对于D选项，当时，由得，所以故有三个零点，则D选项错误．
故选:：ABC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.
13. ________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及幂的运算性质计算可得.
【详解】
.
故答案为：
14. 已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则__________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量线性运算及共线向量定理的推论求解即得.
【详解】由为的中点，及，得，即，
又四边形的对角线交于点，即点共线，因此，
所以.
故答案为：
15. 抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为，则该运动员这10次成绩的分位数为__________.
【答案】89.5
【解析】
【分析】利用百分位数的定义及中位数的定义即可求解.
【详解】该射击运动员10次的训练成绩从小到大分别为
.又，
这10次成绩的分位数为.
故答案为：.
16. 已知函数，若对任意的正数a、b，满足，则的最小值为：______．
【答案】4
【解析】
【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
因为，即函数为奇函数，
又因为，且函数在上为增函数，
所以，函数在上为增函数，
对任意的正数，满足，则，
所以，，即，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为4.
故答案为：4.
四､解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，.
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合交并集的定义进行求解即可；
（2）根据子集的性质进行求解即可.
【小问1详解】
，，解得，则，
，，解得，则，
，；
【小问2详解】
，，
.
18. 在平面内给定三个向量．
（1）求满足的实数m,n的值；
（2）若向量满足，且，求向量的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
(1)根据向量的坐标运算求解即可.
(2) 设向量再根据平行与模长的公式列式求解即可.
【详解】（1）由已知条件以及,
可得,
即解得
（2）设向量,则,.
∵,
∴解得或
∴向量的坐标为或.
【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型.
19. 已知关于的不等式的解集为或.
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得；
（2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得.
【小问1详解】
因为不等式的解集为或，
所以1和是方程的两个实数根，且，
所以，解得，
即，.
【小问2详解】
由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为.
20. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：
已知乙样本中数据在的有10个.
（1）求和乙样本直方图中的值；
（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.
（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在和的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在中的概率.
【答案】（1）；；
（2）平均值81.5，中位数82；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率定义即可求出，再根据小矩形面积和为1即可求出值；
（2）根据平均数和中位数定义计算即可；
（3）列出所有情况和满足题意的情况，再利用古典概率公式即可.
【小问1详解】
由直方图可知，乙样本中数据在的频率为，
则，解得；
由乙样本数据直方图可知，，
解得；
【小问2详解】
甲样本数据的平均值估计值为
，
乙样本数据直方图中前3组的频率之和为，
前4组的频率之和为，
所以乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，
，
解得，所以乙样本数据的中位数为82.
【小问3详解】
由频率分布直方图可知从分数在和的学生中分别抽取2人和4人，
将从分数在中抽取的2名学生分别记为，从分数在中抽取的4名学生分别记为，
则从这6人中随机抽取2人的基本事件有
，共15个，
所抽取的两人分数都在中的基本事件有6个，所以所求概率为.
21. 已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若方程有两个正实数根，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）6.
【解析】
【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案；
（2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案.
【小问1详解】
不等式即为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上可知：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
【小问2详解】
方程有两个正实数根，
即有两个正实数根
故，解得，
所以
令，则，故
当且仅当即时取得等号，
故的最小值为6.
22. 已知函数.
(1)当时，求满足的的值；
(2)若函数是定义在R上的奇函数，函数满足，若对任意且≠0,不等式恒成立，求实数m的最大值.
【答案】（1）2；（2）
【解析】
【分析】（1）代入a=4，b=-2，解关于指数函数方程，即可得到所求值；
（2）运用奇函数的定义，可得a，b的值，所以，由解出,代入不等式,通过分离常数得出参数范围.
【详解】(1)当时，.
即，
解得：或=−1(舍去)，
∴=2；
(2)若函数是定义在R上奇函数，
则，即，
即，
解得：，或
经检验满足函数的定义域为R，
∴.
当≠0时,函数满足，
∴,(≠0)，
则，
不等式恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
设，则，
即，恒成立，
由对勾函数的图象和性质可得：当时, 取最小值．
故，即实数m的最大值为.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断及应用，不等式恒成立问题，采用分离常数是常见的方法，应熟练掌握.