2022-2023学年河南省天一大联考高二（下）段考数学试卷（四）（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省天一大联考高二（下）段考数学试卷（四）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线x26−y212=1的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 3
2.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)的图象在点(2023,f(2023))处的切线方程为x−y−2022=0，则f(2023)+f′(2023)=( )
A. 0B. 2C. 2024D. 4046
3.2022年11月，聊天机器人ChatGPT横空出世，迅速风靡全球，ChatGPT强大的功能令人震撼的同时，也让许多人感受到了职业危机.调研数据显示，客服、数据分析、翻译、市场调研分析、自媒体是受访用户认为最容易被ChatGPT抢“饭碗”的职业.某传媒公司从这5种职业中各随机选取2人，调研他们是否有职业危机，若从这10人中选6人发言，则每个职业至少选1人的不同选法种数为( )
A. 16B. 20C. 80D. 120
4.在底面是菱形的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，AB⋅AD=2，则AB1⋅AC1=( )
A. 11B. 15C. 19D. 21
5.已知某品种芝麻的生长期X(单位：天)服从正态分布N(90,2.25)，且P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，则下列结论错误的是( )
A. 该品种芝麻的生长期小于87天的概率小于0.03
B. 该品种芝麻的生长期平均为90天
C. 该品种芝麻的生长期的标准差为2.25
D. 该品种芝麻的生长期小于87天的概率与超过93天的概率相等
6.甲、乙两名儿童玩剪刀、石头、布游戏，每次从开始到确定胜负为1次游戏，且甲或乙连续胜2次时结束游戏，若每次游戏甲胜的概率为23，且各次游戏之间相互独立，则玩5次游戏后结束的概率为( )
A. 481B. 4243C. 8243D. 32243
7.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为A(0,−2)，线段AF的中点为B(1,−1)，点P是C上的任一动点，则|PB|+|PF|的最大值为( )
A. 2 2+ 5B. 4 2+ 5C. 2 2+ 10D. 4 2+ 10
8.若数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+an+1，则称数列{an}为斐波那契数列.模仿斐波那契数列构造数列{bn}，满足b1=1，b2=−1，bn+2=bn+bn+1，则b12+b22+b32+…+b1002=( )
A. 2+a98a97B. 2+a97a96C. a98a97D. a97a96
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11=0，则下列结论正确的是( )
A. a5=0B. a4+a6+a8=0
C. S7S4=1D. 当n=5时，Sn的值最大
10.下列结论正确的是( )
A. 若P(x=i)=i10(i=1,2,3,4)，则E(X)=1
B. 若X～B(3,14)，则E(X)=34
C. 若E(X)=2，则E(2X−1)=1
D. 若随机变量X的所有可能取值为1，2，…，k，P(X=1)=P(X=2)=…=P(X=k)，且E(X)=5，则k=9
11.若(2x−1)30=a0+a1x+a2x2+…+a30x30，则( )
A. a0=1
B. a1=−60
C. a1−a2+a3−a4+…+a29−a30=330−1
D. a0+a2+a4+…+a30被8除所得余数为5
12.已知x，y，z∈(0,+∞)，且y≠1，z≠1，则下列能使x=lgyz，y=lgzx成立的是( )
A. x=2B. x=12C. y=2D. y=12
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的图象如下，若f(x)的极大值点与极小值点的个数分别为m，n，则m−n= ______
14.著名数学家笛卡尔根据他所研究的花瓣与叶形曲线特征，列出了方程x3+y3−3axy=0，该方程表示的曲线就是优美的“笛卡尔叶形线”，它具有非常完美的对称性.如图所示的叶形线C的方程是x3+y3−3xy=0，它的渐近线l是经过点P(−1,0)的一条直线，若点Q是C上到l距离最大的点，则过点Q且与l相切的半径最小的圆的方程为______．
15.在网红电商直播带货及消费者对方便速食的青睐等多种因素作用下，螺蛳粉产业销售额迅速增长.已知2022年某地螺蛳粉全部产业链销售收入为600亿元，且该地螺蛳粉全部产业链月销售收入y(单位：亿元)与月份代码x(2022年1月为1，依次顺延)具有线性相关关系，根据2022年12个月螺蛳粉全部产业链月销售收入数据求得回归方程为y =x+a ，根据该模型预测，2023年该地螺蛳粉全部产业链销售收入为______．
16.某品牌电器公司有甲、乙两个生产基地为其生产某零配件，甲生产基地有m条生产线，乙生产基地有n条生产线，每条生产线在单位时间内生产的零配件数量相同，已知甲生产基地生产的零配件次品率为0.025，乙生产基地生产的零配件次品率为0.03，若从某天两生产基地生产的零配件中随机选取1个检测，该零配件是次品的概率为0.027，则nm= ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}是等比数列，a1=1，a2>1，且a2，5a33，a4成等差数列．
(Ⅰ)求an；
(Ⅱ)若bn=(n+1)an，求数列{bn}的前n项和Sn．
18.(本小题12分)
在娱乐需求增加、AI等技术不断迭代的背景下，中国虚拟人产业高速发展，洛天依、柳夜熙等一大批虚拟人形象进入中国网民视野.某传媒公司随机调查了200名中国虚拟人爱好者，统计得知这200名受访者中58%为女性，75%为青年人，青年人中男性占30%．
(Ⅰ)完成下面的2×2列联表；
(Ⅱ)根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断男性和女性虚拟人爱好者的年龄分布是否有差异．
参考公式：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
参考数据：
19.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1A，B1B，B1C两两互相垂直，B1A=B1C= 2，B1B=2，E，F分别为A1C1，CC1的中点．
(Ⅰ)求证：AE⊥A1F；
(Ⅱ)求平面ABC与平面A1B1F夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知点P在抛物线C：x2=2py(p>0)上，且|OP|=3(O为坐标原点)，C的焦点F关于点P的对称点Q在x轴正半轴上.(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)若点A，B是C上不同的两点，线段AB的中点为D，C在点A，B处的初线交于点E，判断直线DE的倾斜角是否为定值，并证明你的结论．
21.(本小题12分)
2023年某公司举行10周年庆典活动，活动中有一个环节，公司所有员工扫码领红包：每位员工通过手机扫公司提供的二维码进入活动页面，从页面上的4个红包中随机领取2个(领取前不知道红包金额)．
(Ⅰ)若4个红包金额分别为a元、a元、3a元、5a元(a>0)，公司希望每位员工领取的2个红包金额之和的期望值为1000元，求a的值；
(Ⅱ)若4个红包的金额为200元、400元、600元、800元、1000元中的3个，公司希望每位员工领取的2个红包金额之和的期望值为1000元，且不同员工领取的2个红包金额之和比(Ⅰ)中方案更均衡，请你给出一组4个红包的金额(只需给出一组4个红包的金额并说明理由即可，不需要判断是否还有其他选择)．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x−(a+ea)lnx−aeax+2(a∈R)．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若120
解得p=4，
所以抛物线C的方程为x2=8y．
(Ⅱ)直线DE的倾斜角是定值．
证明：由(Ⅰ)知抛物线的方程为x2=8y，
两边求导得y′=x4，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
所以切线的斜率为kAE=x14，kBE=x24，
所以切线AE的方程为y−y1=x14(x−x1)，即y=x14x−x128，
同理可得切线BE的方程为y−y2=x24(x−x2)，即y=x24x−x228，
联立直线AE与直线BE的方程，得2x(x1−x2)=(x1−x2)(x1+x2)，
所以x=x1+x22，
所以xE=x1+x22，
因为D为AB中点，
所以xD=xE，
所以DE为垂直于x轴的直线，倾斜角确定．
【解析】(Ⅰ)设P(x0,y0)，由|OP|=3，得x02+y02=9①，又点P在抛物线x2=2py上，则x02=2py0②，进而可2py0+y02=9，由抛物线C的焦点F(0,p2)关于点P(x0,y0)的对称点Q在x轴正半轴上，得y0=p4③，即可解得p，进而可得答案．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的方程为x2=8y，两边求导得y′=x4，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得切线AE，BE的方程，进而可得xE=x1+x22，又D为AB中点，则xD=xE，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)设每位员工领取的2个红包金额之和为X元，
由题意得X的所有可能取值为2a，4a，6a，8a，
P(X=2a)=1C42=16，P(X=4a)=2C42=13，
P(X=6a)=2C42=13，P(X=8a)=1C42=16，
所以E(X)=2a×16+4a×13+6a×13+8a×16=5a，
所以5a=1000，a=200；
(Ⅱ)使4个红包的金额分别为200元、400元、400元、1000元，
记每位员工领取的2个红包金额之和为Y元，
则Y的所有可能取值为600，800，1200，1400，
则P(Y=600)=2C42=13，P(Y=800)=1C42=16，
P(Y=1200)=1C42=16，P(Y=1400)=2C42=13，
所以E(Y)=600×13+800×16+1200×16+1400×13=1000，
则E(X)=E(Y)，
因为D(X)=(400−1000)2×16+(800−1000)2×13+(1200−1000)2×13+(1600−1000)2×16=4400003，D(Y)=(600−1000)2×13+(800−1000)2×16+(1200−1000)2×16+(1400−1000)2×13=120000，
所以D(Y)ea，令f′(x)0，当x∈(a,ea)时，f′(x)0，
∴f(x)在(0,a)和(ea,+∞)上单调递增，在(0,ea)上草调递减．
综上所述：当a⩽0时，f(x)在(0,ea)上单调递减，在(ea,+∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,a)和(ea,+∞)上单调递增，在(0,ea)上草调递减．
(Ⅱ)当120时两种情况讨论即可求解；
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，求出f(x)的极大值和极小值，并证明极小值大于0，结合当x→0时，f(x)→−∞，即可求解函数f(x)的零点个数．
本题考查了导数的综合应用，考查了函数思想及分类讨论思想，属于中档题．性别
年龄
合计
青年人
非青年人
男性
女性
合计
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
年龄
合计
青年人
非青年人
男性
45
39
84
女性
105
11
116
合计
150
50
200