中考数学二轮复习考点培优专练专题二 常见代数式运算考查类型（2份打包，原卷版+解析版）

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例题1（2021·河北兴隆·二模）小明在解一道有理数混合运算时，一个有理数 SKIPIF 1 < 0 被污染了．
计算： SKIPIF 1 < 0 ．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，计算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）若要使 SKIPIF 1 < 0 的结果为最小正整数，求 SKIPIF 1 < 0 值．
【答案】（1）0；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）先算乘除，再计算加法，即可求解；
（2）解出一元一次方程，即可求解；
（3）根据最小的正整数为1，可列出关于 SKIPIF 1 < 0 的方程，即可求解．
【详解】
解：（1）原式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
∵最小的正整数为1，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，解一元一次方程的基本步骤是解题的关键．
练习题
1．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
根据负整指数幂的性质、60°角的余弦值、算术平方根、有理数的乘方性质解题： SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，涉及负整数幂、余弦、算术平方根、有理数的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2021·广东·珠海市九洲中学一模）计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据实数的性质化简，故可求解．
【详解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
3．（2021·甘肃酒泉·二模）计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】-1
【解析】
【分析】
按实数的混合运算顺序和法则计算即可．
【详解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简、乘方、特殊角的三角函数值、实数的混合运算顺序和运算法则等知识点，熟知上述各知识点是解题的关键．
4．（2021·山东·济宁学院附属中学一模）计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先根据零指数幂的意义、特殊角的三角函数值、负整指数幂的定义等进行化简计算即可.
【详解】
解：原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
此题考查了实数的运算，正确掌握负整指数幂的定义、特殊角的三角函数值、零指数幂的意义是解题的关键．
5．（2021·河南省淮滨县第一中学模拟预测）（1）如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互为相反数， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互为倒数， SKIPIF 1 < 0 的倒数等于它本身，则 SKIPIF 1 < 0 的值是多少？
（3）已知 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值的性质分别得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可能的值，进而得出答案；
（2）直接利用相反数以及倒数的定义求出即可；
（3）利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值进而求出答案．
【详解】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ① SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互为相反数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 互为倒数，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的倒数等于它本身，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值、偶次方和绝对值非负的性质以及倒数、相反数的定义等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
6．（2021·浙江余杭·三模）下面是圆圆同学计算一道题的过程：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
圆圆同学这样算正确吗？如果正确请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程．
【答案】不正确．正确的计算过程见解析．
【解析】
【分析】
根据有理数的混合运算顺序计算即可．
【详解】
解： 不正确
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的乘除法法则是解决本题的关键．
7．（2020·河北·模拟预测）利用运算律有时能进行简便计算．
例1 98×12=（100-2） ×12=1 200-24=1 176；
例2 -16×233+17×233=（-16+17）×233=233．
请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【答案】（1）-14985；（2）99900
【解析】
【分析】
（1）先将999写成（1000-1）的形式，再使用乘法分配律计算即可；
（2）提取公因式999，先计算括号内的，再进行简便运算即可．
【详解】
（1）解：原式=（1000-1）×（-15）=-15000+15=-14985．
（2）解：原式=999× SKIPIF 1 < 0 =999×100=99900．
【点睛】
本题主要考查了有理数混合运算，准确计算是解题的关键．
8．（2021·河北路北·二模）老师课下给同学们留了一个式子： SKIPIF 1 < 0 ，让同学自己出题，并写出答案．
SKIPIF 1 < 0 小光提出问题：若□代表 SKIPIF 1 < 0 ，○代表 SKIPIF 1 < 0 ，则计算： SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 小丽提出问题：若 SKIPIF 1 < 0 ，当□代表 SKIPIF 1 < 0 时，求○所代表的有理数；
SKIPIF 1 < 0 小亮提出问题：若 SKIPIF 1 < 0 中，若□和○所代表的有理数互为相反数，直接写出□所代表的有理数的取值范围．
【答案】（1）1；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）□ SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）直接根据有理数计算法则求值即可；
（2）设○代表的有理数为 SKIPIF 1 < 0 ，代入解方程即可；
（3）设□代表的数为a，则○代表的数为-a，代入解不等式即可．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 设○所代表的有理数为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴○所代表的有理数为 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 设□代表的数为a，则○代表的数为-a ，
则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴□所代表的有理数的取值范围为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点的计算法则是解决本题的关键．
9．（2021·河北邢台·二模）嘉淇准备完成题目：计算： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．发现有一个数“”印刷不清楚，
（1）他把“”猜成18，请你计算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）他妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是 SKIPIF 1 < 0 ．”通过计算说明原题中“”是几？
【答案】（1）-42；（2）-12
【解析】
【分析】
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减，然后得到结果；
（2）设“”是 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得， SKIPIF 1 < 0 ．
解之得， SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查有理数的加减和解一元一次方程，熟悉相关解法是解题的关键．
10．（2021·安徽·合肥市第四十五中学一模）观察下列等式：
① SKIPIF 1 < 0 ＝2+ SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ＝3+ SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ＝4+ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 ＝5+ SKIPIF 1 < 0 ，…
（1）请按以上规律写出第⑥个等式： ；
（2）猜想并写出第n个等式： ；并证明猜想的正确性．
（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：
SKIPIF 1 < 0 ＝ ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，见解析；（3）4752
【解析】
【分析】
（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；
（2）根据发现的规律写出第n个等式并计算可进行验证；
（3）根据 SKIPIF 1 < 0 =2， SKIPIF 1 < 0 ＝3， SKIPIF 1 < 0 ＝4…可得原式＝1+2+3……+97-1，进而可得答案．
【详解】
解：（1）第⑥个式子为： SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）猜想第n个等式为： SKIPIF 1 < 0 ，
证明：∵左边= SKIPIF 1 < 0 ＝右边，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）原式＝1+2+3+…+97-1
＝ SKIPIF 1 < 0 -1
＝4752．
故答案为：4752．
【点睛】
此题考查有理数计算规律探究，有理数的四则混合运算，因式分解的应用，根据例子得到式子的构成规律并应用解决实际问题是解题的关键．
二、整式运算与求值
例题2（2021·上海·九年级专题练习）小刚在计算一个多项式 SKIPIF 1 < 0 减去多项式 SKIPIF 1 < 0 的差时，因一时疏忽忘了把两个多项式用括号括起来，因此减式后面两项没有变号，结果得到的差是 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求这个多项式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求出这两个多项式运算的正确结果；
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，求（2）中结果的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，原式=2.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出A；
（2）将A代入列式，根据整式的减法法则计算即可得到答案；
（3）将b=-2代入计算即可.
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 .
（3）当 SKIPIF 1 < 0 时，原式 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
此题考查整式的加减法计算法则，已知字母的值求代数式的值，正确理解题意求出A的值是解题的关键.
练习题
1．（2021·河南·二模）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】2xy， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
原式中括号里边利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘以多项式法则计算，合并化简计算后，把 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 代入计算即可求出值．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，
原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2021·四川凉山·二模）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；-136
【解析】
【分析】
先利用乘法公式和整式乘法法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
把 SKIPIF 1 < 0 ，
代入原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值和二次根式计算，解题关键是熟练运用整式乘法法则和公式进行化简，代入数值后准确计算．
3．（2021·浙江·杭州育才中学二模）已知多项式M＝（2x2+3xy+2y）﹣2（x2+x+yx+1）．
（1）当x＝1，y＝2，求M的值；
（2）若多项式M与字母x的取值无关，求y的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）2
【解析】
【分析】
（1）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值；
（2）M化简的结果变形后，根据M与字母x的取值无关，确定出y的值即可．
【详解】
解：（1）M＝2x2+3xy+2y﹣2x2 SKIPIF 1 < 0 2x﹣2yx SKIPIF 1 < 0 2
＝xy SKIPIF 1 < 0 2x+2y SKIPIF 1 < 0 2，
当x SKIPIF 1 < 0 ，y＝2时，
原式 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵M＝xy SKIPIF 1 < 0 2x+2y SKIPIF 1 < 0 2＝（y SKIPIF 1 < 0 2）x+2y SKIPIF 1 < 0 2，且M与字母x的取值无关，
∴y SKIPIF 1 < 0 2＝0，
解得：y＝2．
【点睛】
此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）已知多项式 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）化简 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据整式的加减计算法则化简即可得到答案；
（2）根据（1）中的化简结果代值计算即可．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．（2021·上海·九年级专题练习）代数式 SKIPIF 1 < 0 里的“ SKIPIF 1 < 0 ”是“＋，－，×，÷”中某一种运算符号．
（1）如果“ SKIPIF 1 < 0 ”是“＋”，化简： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，请推算“ SKIPIF 1 < 0 ”所代表的运算符号．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）把“ SKIPIF 1 < 0 ”代入原式，去括号合并即可得到结果；
（2）原式去括号后，把 SKIPIF 1 < 0 代入计算即可求出所求．
【详解】
解：（1）原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意得，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，代入上式得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴“ SKIPIF 1 < 0 ”所表示的运算符号是“ SKIPIF 1 < 0 ”．
【点睛】
此题考查了整式的加减，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2021·河北·石家庄市第四十二中学一模）对于四个整式，A：2x2；B：mx+5；C：﹣2x；D：n．
无论x取何值，B+C+D的值都为0．
（1）求m、n的值；
（2）计算A﹣B+C﹣D；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 的值是正数，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）m＝2，n＝﹣5；（2）2x2﹣4x；（3）x＜ SKIPIF 1 < 0 且x≠0
【解析】
【分析】
（1）把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中，求出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值即可；
（2）把 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值代入确定出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，再将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 中计算即可得到结果；
（3）把 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，使其值大于0求出 SKIPIF 1 < 0 的范围即可．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
此题考查了分式的加减法，整式的加减，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2020·河北衡水·模拟预测）请阅读以下步骤，完成问题：
①任意写一个三位数，百位数字比个位数字大2；
②交换百位数字与个位数字，得到一个三位数；
③用上述的较大的三位数减去较小的三位数，所得的差为三位数；
④交换这个差的百位数字与个位数字又得到一个三位数；
⑤把③④中的两个三位数相加，得到最后结果．
问题：
（1）③中的三位数是 ； ④中的三位数是 ；⑤中的结果是 ；
（2）换一个数试试看，所得结果是否一样？如果一样，设这个三位数的百位数字为 SKIPIF 1 < 0 、十位数字为 SKIPIF 1 < 0 ，用代数式表示这个三位数，并结合你所学的知识解释其中的原因．
【答案】（1）198，891，1089；（2）所得结果一样；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据特例即可求解；
（2）分析题意，列出相关算式计算加以证明．注意三位数的表示方法：每位上的数字乘位数再相加．
【详解】
解：（1）例如：①321；②123；
③中的三位数是198；④中的三位数是891；⑤中的结果是1089．
故答案为：198，891，1089；
（2）所得结果一样．
可以设①中的三位数为100a＋10b＋（a−2），
所以②中的三位数为100（a−2）＋10b＋a，
100a＋10b＋（a−2）−[100（a−2）＋10b＋a]＝198，这是一个常数，
于是在交换百位数字与个位数字后得到891，
198＋891＝1089．
故所得结果一样．
【点睛】
本题考查了列代数式．认真读题，理解题意是关键．
8．（2021·河北桥东·二模）甲、乙两人各持一张分别写有整式 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的卡片．已知整式 SKIPIF 1 < 0 ，下面是甲、乙二人的对话：
根据以上信息，解决下列问题：
（1）求整式 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）请判断整式 SKIPIF 1 < 0 和整式 SKIPIF 1 < 0 的大小，并说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）依题意可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入各式即可求解；
（2）化简 SKIPIF 1 < 0 ，根据配方法的应用即可求解．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ．理由： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
此题主要考查整式的加减及配方法的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．
9．（2021·河北兴隆·二模）解方程组
老师设计了一个数学游戏，给甲、乙、丙三名同学各一张写有最简代数式的卡片，规则是两位同学的代数式相减等于第三位同学的代数式，甲、乙、丙的卡片如图所示，其中丙同学卡片上的代数式未知．
（1）若乙同学卡片上的代数式为一次二项式，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若甲同学卡片上的代数式减去乙同学卡片上的代数式等于丙同学卡片上的代数式．
①当丙同学卡片上的代数式为常数时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
②当丙同学卡片上的代数式为非负数时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根据乙同学卡片上的代数式为一次二项式知 SKIPIF 1 < 0 ，据此求解即可；
（2）①根据题意列出算式 SKIPIF 1 < 0 ，然后去括号、合并同类项，继而根据结果为常数项知二次项系数为0，据此求解即可；
②根据题意列出不等式 SKIPIF 1 < 0 ，求解此不等式即可．
【详解】
解：（1）∵乙同学卡片上的代数式为一次二项式，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）① SKIPIF 1 < 0 ，
∵结果为常数，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ；
②由①知丙卡片上的代数式为 SKIPIF 1 < 0 ，要使其为非负数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查整式的加减以及解不等式，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，解不等式注意按照运算步骤进行即可．
10．（2021·河北·三模）一般情况下 SKIPIF 1 < 0 不成立，但有些数可以使得它成立，例如： SKIPIF 1 < 0 ．我们称使得 SKIPIF 1 < 0 成立的一对数 SKIPIF 1 < 0 为“相伴数对”，记为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）填空： SKIPIF 1 < 0 _________“相伴数对”（填是或否）；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 是“相伴数对”，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 是“相伴数对”，求代数式 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1）是；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）-2
【解析】
【分析】
（1）根据“相伴数对”的定义判断即可；
（2）根据“相伴数对”的定义化简计算即可求出b的值；
（3）根据“相伴数对”的定义得到9m+4n=0，将原代数式化简后代入计算即可求解．
【详解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是“相伴数对”，
故答案为：是；
（2） SKIPIF 1 < 0 是“相伴数对”，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ；
（3） SKIPIF 1 < 0 是“相伴数对”，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，
原式= SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了整式的加减-化简求值、有理数加法运算、解一元一次方程，熟练掌握整式加减的运算法则，弄清楚新定义和整体代入思想求值是解答的关键．
三、分式的计算与求值
例题3（2021·广东英德·二模）先化简 SKIPIF 1 < 0 ，然后从0，1， SKIPIF 1 < 0 ，2中选取一个你认为合适的数作为 SKIPIF 1 < 0 的值带入求值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，-1
【解析】
【分析】
根据分式的混合运算法则和因式分解化简分式，再根据分式有意义条件选择x值代入求解即可
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，x-1≠0，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或2，
当 SKIPIF 1 < 0 时，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则，注意分式有意义的条件是解答的关键．
练习题
1．（2021·江苏·淮阴中学新城校区一模）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，1
【解析】
【分析】
首先根据分式化简的步骤进行化简，再把 SKIPIF 1 < 0 代入化简后的式子，即可求得．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值问题，准确地把分式化为最简分式是解决本题的关键．
2．（2021·河南武陟·一模）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】−433##-433
【解析】
【分析】
先计算括号内分式的减法，再将除式的分子、分母因式分解，将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将 SKIPIF 1 < 0 值代入化简后的式子计算即可．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查分式的化简求值．此类题目的关键是在分式化简过程中熟练掌握相关的运算法则及运算顺序．
3．（2021·广东连州·二模）先化简再求值 SKIPIF 1 < 0 ，其中x是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值，继而根据分式有意义的条件确定 SKIPIF 1 < 0 的值，代入计算即可．
【详解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解法解一元二次方程、分式有意义的条件．
4．（2021·广东·桂林华侨初级中学二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 =3时，对式子（A－B）÷C先化简，再求值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先将A、B、C代入 SKIPIF 1 < 0 中，利用分式的混合运算法则、平方差公式进行化简，最后将x=3代入计算求解．
【详解】
（A－B）÷C SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当x＝3时，原式 SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，平方差公式，先利用分式的混合运算法则进行化简是解答关键．
5．（2021·山东德城·二模）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，请在﹣2≤m≤1的范围内取一个自己喜欢的数代入求值．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；当m=0时，原式为1，当m=-1时，原式为3
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件选取使分式有意义的m的值，代入计算即可．
【详解】
解：原式= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 ，
∵m≠±2且m≠1，
∴取m=0或m=-1，
则原式= SKIPIF 1 < 0 ；
当m=-1时，原式= SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
6．（2021·山东惠民·二模）先化简，再求值 SKIPIF 1 < 0 ，其中a= SKIPIF 1 < 0 －2sin45°－ SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先利用分式的乘除法运算法则和减法的运算法则进行化简，再利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则进行计算求解．
【详解】
解： SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
= SKIPIF 1 < 0 .
a= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 －2 SKIPIF 1 < 0 －1= SKIPIF 1 < 0
当a= SKIPIF 1 < 0 时，
原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值此，利用分式的除法和减法进行化简，再利用实数的运算法则进行计算求解是解答关键．
7．（2021·湖北鹤峰·模拟预测）先化简，再求值：，其中 SKIPIF 1 < 0 为方程 SKIPIF 1 < 0 的一根．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先把分式运算中的括号里化简，再用括号外分式乘以其倒数，最后化简；解一元二次方程得到 SKIPIF 1 < 0 两个值，根据分式有意义的条件进行取舍后代入化简后的式子可求值．
【详解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 或1，
由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入原式得，原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，以及解一元二次方程，解决这类问题要注意在计算的过程中要使分式有意义的条件．
8．（2021·湖北宜城·模拟预测）先化简，再求值：，从0， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0 中选择一个适当的数作为 SKIPIF 1 < 0 值代入．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
先通分计算括号内的加减，再把除化为乘，计算分式的除法，化简后将 SKIPIF 1 < 0 代入即可得答案．
【详解】
解：原式
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵要使原式有意义， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入得原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握运算顺序及分式计算的相关法则．
9．（2021·山东乐陵·二模）已知：A＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(1)化简A．
(2)若点(x,-3)与点(-4,-3)关于y轴对称，求A的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
(1)首先进行分式的加减运算，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式，最后把除法运算转化为乘法运算，约分即可化简；
(2)根据关于y轴对称的点的坐标特点，即可求得x值，代入即可求得．
(1)
解：A＝ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：∵点(x,-3)与点(-4,-3)关于y轴对称，
∴x=-(-4)=4，
把x=4代入 SKIPIF 1 < 0 ，得
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，分式的化简求值，关于y轴对称的点的坐标特点，准确化简及求得x的值是解决本题的关键．
10．（2021·广东·一模）先化简，再求值：（ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ）÷ SKIPIF 1 < 0 ，其中m＝3+ SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
分析：根据分式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可．
【详解】
解：（ SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ）÷ SKIPIF 1 < 0
＝（ SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0 ，
当m＝3+ SKIPIF 1 < 0 时，原式＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值、分母有理化，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
四、与数轴有关的代数计算
例题4（2020·河北·中考真题）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对 SKIPIF 1 < 0 次，且他最终停留的位置对应的数为 SKIPIF 1 < 0 ，试用含 SKIPIF 1 < 0 的代数式表示 SKIPIF 1 < 0 ，并求该位置距离原点 SKIPIF 1 < 0 最近时 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）从图的位置开始，若进行了 SKIPIF 1 < 0 次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，距离原点最近；（3） SKIPIF 1 < 0 或5
【解析】
【分析】
（1）对题干中三种情况计算对应概率，分析出正确的概率即可；
硬币朝上为正面、反面的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，
甲和乙猜正反的情况也分为三种情况：
①甲和乙都猜正面或反面，概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
②甲猜正，乙猜反，概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
③甲猜反，乙猜正，概率为 SKIPIF 1 < 0 ，
（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则打错了（10-n）次，再根据平移的规则推算出结果即可；
（3）刚开始的距离是8，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果；
【详解】
（1）题干中对应的三种情况的概率为：
① SKIPIF 1 < 0 ；
② SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ；
甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况②，故P= SKIPIF 1 < 0 ．
（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则打错了（10-n）次，
根据题意可得，n次答对，向西移动4n，
10-n次答错，向东移了2（10-n），
∴m=5-4n+2（10-n）=25-6n，
∴当n=4时，距离原点最近．
（3）起初，甲乙的距离是8，
易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2，
当甲乙同时答对打错时，二者之间的距离缩小2，
∴当甲乙位置相距2个单位时，共缩小了6个单位或10个单位，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查了概率的求解，通过数轴的理解进行准确分析是解题的关键．
练习题
1．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，点 SKIPIF 1 < 0 是数轴上表示实数 SKIPIF 1 < 0 的点．
（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）利用数轴比较 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ，见解析
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理构造直角三角形得出斜边为 SKIPIF 1 < 0 ，再利用圆规画圆弧即可得到点 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）在数轴上比较，越靠右边的数越大．
【详解】
解：（1）如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 即为所求．
（2）如图所示，点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右侧，所以 SKIPIF 1 < 0
【点睛】
本题考查无理数与数轴上一一对应的关系、勾股定理、尺规作图法、熟练掌握无理数在数轴上的表示是关键．
2．（2021·河北迁安·二模）如图，数轴上有A、B、C三个点，它们所表示的数分别为a、b、c三个数，其中 SKIPIF 1 < 0 ，且b的倒数是它本身，且a、c满足 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）计算： SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）若将数轴折叠，使得点A与点B重合，求与点C重合的点表示的数．
【答案】（1）13；（2）-8
【解析】
【分析】
（1）根据偶数次幂和绝对值的非负性，求出a和c的值，再代入求解，即可；
（2）根据倒数的定义，求出b的值，再求出A，B中点所对应的数，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，且b的倒数是它本身，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 重合， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴与点C重合的点表示的数是 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握倒数，绝对值的意义，是解题的关键．
3．（2021·河北·九年级专题练习）已知有理数-3，1．
（1）在下列数轴上，标出表示这两个数的点，并分别用A，B表示；
（2）若｜m｜=2，在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间，在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n．
①计算m+n-mn；
②解关于x的不等式mx+4＜n，并把解集表示在下列数轴上．
【答案】（1）见解析；（2）①16；②x＞-1；数轴表示见解析
【解析】
【分析】
（1）直接在数轴上标出A、B即可；
（2）①根据题意得出m、n的值，再代入计算即可；
②将m、n代入不等式中，求出解，再在数轴上表示即可．
【详解】
解：（1）如图：
．
（2）∵｜m｜=2，
∴m=±2，
∵在数轴上表示数m的点，介于点A，B之间，
∴m=-2，
∵在A的右侧且到点B距离为5的点表示为n，
∴n=6，
①m+n-mn=-2+6-（-2）×6=4-（-12）=4+12=16，
②由-2x+4＜6，
解得x＞-1，
表示在数轴上如图所示：．
【点睛】
本题考查了数轴，解不等式，按照题目要求进行即可．
4．（2020·河北石家庄·一模）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为 SKIPIF 1 < 0 ，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度 SKIPIF 1 < 0 ，点C对齐刻度 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）在图1的数轴上， SKIPIF 1 < 0 __________个长度单位；数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的_______ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求数轴上点B所对应的数b为_________________；
（3）在图1的数轴上，点Q是直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，求点Q所表示的数．
【答案】（1）9；0.6；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 或1
【解析】
【分析】
（1）根据两点间的距离解答即可；
（2）根据题意和对应关系可得方程求得数轴上点 SKIPIF 1 < 0 所对应的数 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）可设点 SKIPIF 1 < 0 所表示的数是 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，分两种情况，当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 之间时，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程；当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右边时，得到关于 SKIPIF 1 < 0 的方程；再解方程即可求解．
【详解】
解：（1） SKIPIF 1 < 0 （个长度单位），
数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：9；0.6．
（2）依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即数轴上点 SKIPIF 1 < 0 所对应的数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）设点 SKIPIF 1 < 0 所表示的数是 SKIPIF 1 < 0 ，依题意有
当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 之间时，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
当点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的右边时，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 所表示的数是 SKIPIF 1 < 0 或1．
【点睛】
本题考查了一元一次方程和数轴、绝对值的运用，解答的关键是根据等量关系和线段的和差建立方程．
5．（2021·上海·九年级专题练习）在单位长度为1的数轴上，点A表示的数为﹣2.5，点B表示的数为4．
（1）求AB的长度；
（2）若把数轴的单位长度扩大30倍，点A、点B所表示的数也相应的发生变化：
①此时点A表示的数为 ，点B表示的数为 ；
②已知点M是线段AB的三等分点，求点M所表示的数．
【答案】（1）AB＝6.5；（2）①75，120；②﹣10或55
【解析】
【分析】
（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可得到AB的长；
（2）①点A、点B表示的数也扩大30倍即可得到结果；
②根据点A、B表示的数得到线段AB的长，再由点M是线段AB的三等分点，分两种情况确定点M表示的数．
【详解】
解：（1）AB＝4－(－2.5)＝6.5；
（2）①根据题意可知，数轴的单位长度扩大30倍，
则点A表示的数为－2.5×30＝－75，点B表示的数为4×30＝120，
故答案为：－75，120；
②AB＝120－(－75)＝195，
当点M靠近点A时，AM＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝65，
∴点M表示的数为65－75＝－10，
当点M靠近点B时，BM＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝65，
∴点M表示的数为120－65＝55，
综上所述，点M表示的数为－10或55．
【点睛】
此题考查了数轴上两点之间的距离，利用距离确定点的坐标，以及三等分点，熟练掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键，做题时注意线段的三等分点有两个，当没有明确是哪一个点时要分两种情况解答，避免遗漏．
6．（2021·河南省淮滨县第一中学三模）数轴上 A，B，C 三个点对应的数分别为 a，b，x，且 A，B 到－2 所对应的点的距离都等于 6，点 B在点 A 的右侧．
（1）请在数轴上表示点 A，B 位置，a= ，b= ；
（2）请用含 x 的代数式表示 CB= ；
（3）若点 C 在点 B 的左侧，且 CB=8，点 A 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动，当 AC=2AB时，求点 A 移动的时间．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 秒或10秒．
【解析】
【分析】
（1）由A，B到-2所对应的点的距离都等于6，点B在点A的右侧，可得出关于a，b的一元一次方程，解之即可得出a，b的值；
（2）由点B，C对应的数，利用两点间的距离公式可找出CB的值；
（3）由点C在点B的左侧及CB的值可得出x的值，设点A移动的时间为t秒，分别表示出AB和AC，根据AC=2AB列出绝对值方程，求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：-2-a=6，b-（-2）=6，
∴a=-8，b=4，
将其表示在数轴上，如图所示．
故答案为：-8，4．
（2）B点表示的数为4，C点表示的数为x，故CB=|x-4|．
故答案为：|x-4|．
（3）∵点C在点B的左侧，且CB=8，
∴x-6=-8，
∴x=-4．
设点A移动的时间为t秒，A点t秒后表示的数为 SKIPIF 1 < 0 ．
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
解 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
故A移动的时间为 SKIPIF 1 < 0 秒或10秒．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题以及列代数式，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式，列出关于a，b的一元一次方程；（2）利用两点间的距离公式求出CB的值；（3）根据 SKIPIF 1 < 0 列出绝对值方程，并求解．
7．（2021·云南五华·一模）如图所示，甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动的游戏规则是：两人先猜裁判所抛硬币向上一面的正反，再根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）用树状图（树状图也称树形图）或列表法中的一种方法，求每次移动游戏中甲猜对的概率 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）直接写出经过第一次移动游戏后，甲乙两人相距6个单位的概率．
【答案】（1）图表见解析， SKIPIF 1 < 0 ；（2）1
【解析】
【分析】
（1）根据列表法，即可求出概率；
（2）无论①、②、③哪种情况发生，甲、乙之间的距离都是6个单位，即可求出概率．
【详解】
解：（1）根据题意：
由上表可知，总共有4种等可能的结果，每种结果出现的可能性相同．
其中甲猜对的结果有2种．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）根据题意，无论①、②、③哪种情况发生，甲、乙之间的距离都是6个单位，
∴经过第一次移动游戏后，甲乙两人相距6个单位的概率是1．
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的列出表格进行解题．
8．（2020·河北邯郸·模拟预测）在数轴上有M、N两点，M点表示的数分别为m，N点表示的数是n（n＞m），则线段MN的长（点M到点N的距离）可表示为MN＝n﹣m，请用上面材料中的知识解答下面的问题：一个点从数轴上的原点O开始，先向左移动3cm到达A点，再向右移动2cm到达B点，然后向右移动4cm到达C点，用1cm表示1个单位长度．
（1）请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置，并直接写出线段AC的长度．
（2）若数轴上有一点D，且AD＝4cm，则点D表示的数是什么？
（3）若将点A向右移动xcm，请用代数式表示移动后的点所表示的数．
（4）若点P以从点A向原点O移动，同时点Q以与点P相同的速度从原点O向点C移动，试探索：PQ的长是否会发生改变？如果不变，请求出PQ的长．如果改变，请说明理由．
【答案】（1）6cm；（2）点D表示的数为﹣7或1；（3）﹣3+x；（4）PQ的长为3cm
【解析】
【分析】
（1）根据题意容易画出图形，因为C点表示的数大于A点表示的数，所以用C点代表的数减去A点代表的数即可求得AC的长度；
（2）设D表示的数为a，根据绝对值的意义即可得出结果；
（3）因为是向右移动，所以根据移动后的数等于A点表示的数+x即可得解；
（4）因为速度相同，方向相同所以PQ的长度不变，根据两点间的距离公式求出OA的长度即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图所示：
AC＝3-(﹣3)＝3+3＝6（cm）．
故线段AC的长度为6cm；
（2）设D表示的数为a，
∵AD＝4，
∴|﹣3﹣a|＝4，
解得：a＝﹣7或1．
∴点D表示的数为﹣7或1；
（3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为-3+x；
（4）PQ的长不会发生改变， PQ的长＝0-(-3)＝3（cm）．
故PQ的长为3cm．
【点睛】
本题考查数轴上两点之间的距离，有理数的减法，绝对值方程.掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键．
9．（2021·山东崂山·二模）【问题提出】 SKIPIF 1 < 0 的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手． SKIPIF 1 < 0 的几何意义是 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到原点的距离．那么 SKIPIF 1 < 0 可以看做 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到1的距离． SKIPIF 1 < 0 就可以看作 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
我们先看 SKIPIF 1 < 0 表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①， SKIPIF 1 < 0 在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②， SKIPIF 1 < 0 在1和2之间（包括在1，2上），可以看出 SKIPIF 1 < 0 到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③， SKIPIF 1 < 0 在2的右边，从图中很明显可以看出 SKIPIF 1 < 0 到1和2的距离之和大于1．
所以 SKIPIF 1 < 0 到1和2的距离之和最小值是1．
【问题解决】
（1） SKIPIF 1 < 0 的几何意义是______．
请你结合数轴探究： SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
（2）请你结合图④探究： SKIPIF 1 < 0 的最小值是______，此时a为______．
（3） SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
（4） SKIPIF 1 < 0 的最小值为______．
【拓展应用】
如图⑤，已知 SKIPIF 1 < 0 到－1，2的距离之和小于4，请写出 SKIPIF 1 < 0 的范围为______．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）9；（4）1021110；拓展应用： SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）通过绝对值的几何意义进行解题即可；
（2）根据绝对值的几何意义，当a取中间数2时， SKIPIF 1 < 0 有最小值；
（3）根据绝对值的几何意义，当a在3和4之间时（包括在3和4上时）， SKIPIF 1 < 0 有最小值；
（4）根据绝对值的几何意义，当a取中间数 SKIPIF 1 < 0 时，原式有最小值，再通过求和公式进行求和即可得解；
拓展应用：根据绝对值的几何意义，由题意分别找出a的临界值，从而即可求得a的取值范围．
【详解】
（1）∵ SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到3的距离， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到6的距离，
∴ SKIPIF 1 < 0 的几何意义是 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；
根据题意，当a在3和6之间时（包括在3和6上时），a到3和6的距离之和最小，最小距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是3，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；
（2） SKIPIF 1 < 0 的几何意义是 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到1、2和3三个点的距离之和，
∵在数轴上，2在1和3之间，
∴当a取中间数时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，
如下图所示，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：2；2；
（3） SKIPIF 1 < 0 的几何意义是 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到1、2、3、4、5、6六个点的距离之和，
∴当a取中间数时，原式有最小值，
∴当a在3和4之间时（包括在3和4上时），a到六个数的距离之和最小，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：9；
（4） SKIPIF 1 < 0 的几何意义是 SKIPIF 1 < 0 这个数在数轴上对应的点到1、2、3、4、5、6…2021这2021个点的距离之和，
∴当a取中间数 SKIPIF 1 < 0 时，原式有最小值，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为：
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1021110；
拓展应用：
当a在 SKIPIF 1 < 0 和2之间时，a到两点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，a到两点的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意， SKIPIF 1 < 0 到－1，2的距离之和小于4，则 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握借助数轴解题的方法，由数形结合进行解题是解决本题的关键．
10．（2020·江苏镇江·中考真题）【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数 SKIPIF 1 < 0 ﹣1、 SKIPIF 1 < 0 +1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b)，用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+(m+2b)的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．
【答案】（1）5，8；（2）N；（3）图见解析；（4）①+(m+2b)的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数，图见解析；②m＝4a．
【解析】
【分析】
（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组 SKIPIF 1 < 0 ，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
【详解】
解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝ SKIPIF 1 < 0 +1﹣（ SKIPIF 1 < 0 ﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝ SKIPIF 1 < 0 +1﹣1＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数为：m＝4a．
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，实数与数轴，作图．解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
甲：我的卡片上写着整式 SKIPIF 1 < 0 ，加上整式 SKIPIF 1 < 0 后得到最简整式 SKIPIF 1 < 0 ；
乙：我用最简整式 SKIPIF 1 < 0 加上整式 SKIPIF 1 < 0 后得到整式 SKIPIF 1 < 0 ．