江苏省南通市如东县2019-2020学年高一第二学期期中考试数学

这是一份江苏省南通市如东县2019-2020学年高一第二学期期中考试数学，共10页。

注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含［选择题（1~12））填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚
一、单选题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2. 某中学有高中生3500人，初中生1500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为
A．100 B．150 C．200 D．250
3．在△ABC中，若，则
A．B． C． D．或
4. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，下图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为
（第4题）
A． B．
C． D．
5. 已知直线与直线垂直，
则实数的值是
A． B．C．或 D．或
6. 给出下列四个说法，其中正确的是
A. 线段在平面内，则直线不在平面内； B. 三条平行直线共面；
C. 两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点； D. 空间三点确定一个平面.
7. 已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数
A．B． C．或 D．或
8. 两圆与的公切线条数为
A.1 B.2 C.3 D.4
9. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知的顶点，，且，则的欧拉线方程为
A． B．
C． D．
10.如图，直三棱柱中，，则异面直线和所成角的余弦值为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
11. 已知角是的三个内角，下列结论一定成立的有
A． B．
C．若,则 D． 若，则是等腰三角形
12. 正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是
A．∥平面 B．平面
C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面为等腰梯形
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 一组数据：的方差为 ▲ ．
14．已知两点，以线段为直径的圆的方程为 ▲ ．
15. 如右图，从高的电视塔塔顶测得地面上某两点B，C的俯角分别为30°和45°，∠BAC＝45°，则两点间的距离为 ▲ ．（俯角：在垂直面内视线与水平线的夹角）
16．平面四边形的对角线AC,BD的交点位于四边形的内部，已知，， ，，当变化时，则的最大值为 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，且为锐角.
求：（1）的值；
（2）△ABC的面积.
18．（本小题满分12分）
如图在长方体中，分别为的中点，,.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19．（本小题满分12分）
已知直线，圆.
（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）若直线与圆交于两点，当弦长最短时，求此时直线的方程.
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，点分别是侧棱上的点，且底面.
（1）求证：；
（2）若底面，，，求证：.
21. （本小题满分12分）
根据国际海洋安全规定：两国军舰正常状况下（联合军演除外）,在公海上的安全距离为20 mile（即距离不得小于20 mile)，否则违反了国际海洋安全规定. 如图，在某公海区域有两条相交成的直航线，交点是O，现有两国的军舰甲，乙分别在上的处，起初，后来军舰甲沿的方向，乙军舰沿的方向，同时以的速度航行.
（1）起初两军舰的距离为多少？
（2）试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定？并说明理由.
22．（本小题满分12分）
已知圆和点.
（1）过点向圆引切线，求切线的方程；
（2）求以点为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆的方程；
（3）设P为（2）中圆上任意一点，过点P向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
2019～2020学年度第二学期高一期中考试
数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 2. 3. 4. 5. 6.C 7. 8. 9. 10.
二、多选题：多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
11. 12.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13. 14. 15. 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解：（1）在△ABC中，由正弦定理有：
，解得； ……………………4分
（2）因为，且为锐角，所以，
在△ABC中，由余弦定理有：
，解得；
所以△ABC的面积为. ……………………10分
18. 解：（1）连接,在中，由分别为的中点，
可得：，
在长方体中， ，，
因此四边形为平行四边形，所以
所以,
平面，平面，
所以平面； ……………………6分
（2）在长方体中，连
平面，所以在平面中的射影为，
所以为直线与平面所成角
由题意知：
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为. ……………………12分
19. 解：（1）直线可化为：
，可得
所以直线过定点. ……………………6分
（2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，
因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，
此时直线的方程为. ……………………12分
20. 解：（1）因为//平面，平面，平面平面，
由线面平行的性质定理，可得//. ……………………5分
（2）在三角形ABC中，因为，且，
由正弦定理可得，解得.
得，即；
又平面，平面，故可得，
又平面，且，
可得平面，又因为平面，
则；又因为//，
得，即证 .……………………12分
21解：（1）连结，在中，
由余弦定理得
所以：起初两军舰的距离为. …………4分
（2）设小时后，甲、乙两军舰分别运动到，连结
当时，
…………………6分
当时，同理可求得 …………………7分
所以经过小时后，甲、乙两军舰距离（） …8分
因为
因为，所以当时，甲、乙两军舰距离最小为20. ……………10分
又，所以甲、乙这两艘军舰不会违法国际海洋安全规定. ……12分
22. 解：（1）若过点的直线斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，
即kx－y＋k－4＝0，
圆心到切线的距离为，解得，
直线方程为
综上切线的方程为或， ……………………3分
（2）点到直线的距离为，
圆被直线截得的弦长为8，，
圆的方程为， ……………………6分
（3）假设存在定点，使得为定值， 设，，
点在圆上，
，则
为圆的切线，
，，
，
即
整理得
若使对任意恒成立，则，
，代入得，
化简整理得，解得或，
或，
存在定点，此时为定值或定点，
此时为定值. ……………………12分
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