山东省安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份山东省安丘市实验中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8个小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
2.设两个单位向量，的夹角为，则|3+4|＝（ ）
A．1B．C．D．7
3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则角A的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
5.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A．f（x）在(，)上单调递减
B．f（x）在(0，)上单调递减
C．f（x）在(0，)上单调递增
D．f（x）在(，)上单调递增
6.在△ABC中，，，E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且B为锐角，若，，，则b=（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）
A. －6B. －3C. －4D. －2
多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．；B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为；D．
10.下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．
D．E.
11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
12．已知函数，则下面结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．的最小正周期为
C．的最大值为2D．在上单调递增
第II卷（非选择题)
三、填空题:本大题共4小题,，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+csB=，则角A的大小为_____________．
14.已知，则 .
15.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．
16.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设两个非零向量与不共线.
（1）若，，求证:A、B、D三点共线；
试确定实数k，使与共线.
18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若角边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（l）求角B的大小；
（2）已知，且△ABC的外接圆的半径为，若，求的值．
20.（本小题满分12分）
设向量，，其中，，函数
的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长．
21.已知两个不共线的向量a，b满足，，．
（1）若，求角θ的值；
（2）若与垂直，求的值；
当时，存在两个不同的θ使得成立，求正数m的取值范围.
22.已知，，，且，其中
若与的夹角为，求的值；
记，是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由.、
高一数学期中试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8个小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
A
【详解】因为，，所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．
2.设两个单位向量，的夹角为，则|3+4|＝（ ）
A．1B．C．D．7
答案及解析：
2.B
解：两个单位向量的夹角为，
则＝9+24•+16＝9×12+24×1×1×cs+16×12＝13，
所以＝．
故选：B．
3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则角A的值为（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
3.C
【详解】由正弦定理得：


本题正确选项：C
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.
4.已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，则xy的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
答案及解析：
4.
D
【解答】解：D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若＝x+y，
可得x+y＝1，x，y∈[，]，
则xy≤＝，当且仅当x＝y＝时取等号，
并且xy＝x（1﹣x）＝x﹣x2，函数的开口向下，对称轴为：x＝，当x＝或x＝时，取最小值，
xy的最小值为：．
则xy的取值范围是：[，]．
5.已知f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜，f（x）是奇函数，直线y=与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A．f（x）在(，)上单调递减
B．f（x）在(0，)上单调递减
C．f（x）在(0，)上单调递增
D．f（x）在(，)上单调递增
答案及解析：
5.A
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）+cs（ωx+φ）＝sin（ωx+φ+），
∵f（x）是奇函数，，
∴φ+＝0，得φ＝﹣，
则f（x）＝sinωx，
由sinωx＝得sinωx＝1，
∵直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，
∴T＝，0即＝，得ω＝4，
即f（x）＝sin4x，
由2kπ﹣≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ﹣≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的 递增区间为[﹣，]，k＝1时，递增区间为[，]
由2kπ+≤4x≤2kπ+，k∈Z得kπ+≤x≤kπ+，当k＝0时，函数的递减区间为[，]，当k＝1时，函数的递减区间为[，]，
6.在△ABC中，，，E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
6.D
【详解】为中点
和为等腰三角形
，同理可得：
本题正确选项：D
【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且B为锐角，若，，，则b=（ ）
A. B. C. D.
答案及解析：
7.D
【详解】由于，有正弦定理可得： ，即
由于在中，，，所以，
联立 ，解得：，
由于为锐角，且，所以
所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）
故答案选D
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题。
8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）
A. －6B. －3C. －4D. －2
答案及解析：
8.A
【详解】由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，
设，则，
所以
，
所以当时，取得最小值为，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9．已知，如下四个结论正确的是（ ）
A．；B．四边形为平行四边形；
C．与夹角的余弦值为；D．
【答案】BD
【解析】
【详解】
由，
所以，，， ,
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：BD
10.下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．
D．E.
【答案】BCE
【解析】
【分析】
利用二倍角公式计算可得.
【详解】
解：不符合，；
符合，；
符合，；
不符合，；
符合，．
故选：．
11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
【答案】AC
【详解】
由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；
由正弦定理可得，或，
是等腰或直角三角形，不正确；
由正弦定理可得，即，
则等腰三角形，正确；
由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.
12．已知函数，则下面结论正确的是（ ）
A．为偶函数B．的最小正周期为
C．的最大值为2D．在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先将化简为，选项A，的定义域为，，故A正确。根据的周期和最值可判断B正确，C不正确。根据可判定D正确。
【详解】
，
选项A，的定义域为，
，故A正确。
B选项，的最小正周期为，故B正确。
C选项，，故C不正确。
D选项， 由的图像，
由图可知：在上单调递增，故D正确。
故选ABD
【点睛】
本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属于中档题。
第II卷（非选择题)
三、填空题:本大题共4小题,，每小题5分，共20分。
13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+csB=，则角A的大小为_____________．
答案及解析：
13.30°
略
14.已知，则 .
答案及解析：
14.
15.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．
答案及解析：
15.4π
【详解】因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；
取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.
【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.
16.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．
答案及解析：
16.【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，
，
.
∵，，，，向量与夹角为.
故答案为：.
【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设两个非零向量与不共线.
（1）若，，求证:A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使与共线.
答案及解析：
17.（1）见解析；（2）.
（1）证明：∵，
∴分
∴与共线，又它们有公共点，∴三点共线分
（2）若和共线
∴存在实数，使
即分
∴ 解得分
18.设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若角边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
答案及解析：
.每问6分
19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．
（l）求角B的大小；
（2）已知，且△ABC的外接圆的半径为，若，求的值．
答案及解析：
19.（l）；（2）9.
【详解】（1）
由余弦定理可得，，分
，
．分
（2），△ABC外接圆的半径为，
∴由正弦定理可得：，可得：，。。。。。8分
，①
∴由余弦定理可得：，
解得：，②
∴联立①②可得：，或，
由，可得：，。。。。。。。。。。。10分
，
．。。。。。。。。。。。。。。。12分
【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.（本小题满分12分）
设向量，，其中，，函数
的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长．
答案及解析：
20.（I）因为， -----------------------------1分
由题意， -----------------------------3分
将点代入，得，
所以，又因为 -------------------5分
即函数的表达式为． ---------------------6分
（II）由，即
又 ------------------------8分
由 ，知，
所以 -----------------10分
由余弦定理知

所以 ----------------------------------------------------12分
21.已知两个不共线的向量a，b满足，，．
（1）若，求角θ的值；
（2）若与垂直，求的值；
（3）当时，存在两个不同的θ使得成立，求正数m的取值范围.
答案及解析：
21.（1）（2）（3）
【详解】（1）由题得
所以角的集合为 .。。。。。。。。。。。。。4分
（2）由条件知， ，又与垂直，
所以，所以.
所以，故. 。。。。。。。。。。。。8分
（3）由，得，
即，
即，，
所以.
由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，
，即，
又因为，所以.
即m的范围..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
【点睛】本题主要考查向量平行垂直的坐标表示，考查向量的模的计算，考查三角函数图像和性质的综合应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.
22.已知，，，且，其中
若与的夹角为，求的值；
记，是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，试说明理由.、
22.解：（1），由，
得，即
。。。。。。。。。。。。。。。。（6分）
由（1）得，
，即可得，
，因为对于任意恒成立，又因为，。。。。。。。。8分
所以，即对于任意恒成立，构造函数。。。。。。。。。。。10分
从而由此可知不存在实数使之成立。。。。。。。。12分
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