广西柳州市第十五中学2023年九年级中考四模数学预测试题（原卷版+解析版）

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1. 的绝对值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，熟记运算法则是解题关键．根据负数的绝对值是其相反数进行作答即可．
【详解】解： 的绝对值为6，
故选：D．
2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，如果一个图形绕一个点旋转，能和自身完全重合，则这个图形是中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，两部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键．
3. 诗词“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”用科学记数法可表示为（ ）
A. 里B. 里C. 里D. 里
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：八万里里，
故选：A．
4. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 没有水分，种子发芽B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
C. 打开电视，正播广告D. 如果a、b都是实数，那么
【答案】D
【解析】
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A．没有水分，种子发芽是确定事件中的不可能事件，故不符合题意；
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，故不符合题意；
C．打开电视，正播广告是随机事件，故不符合题意；
D．如果a、b都是实数，那么是确定事件中必然事件，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．
5. 矩形具有但菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 对边平行且相等B. 对角相等、邻角互补
C. 对角线互相垂直D. 对角线相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可．
【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
6. 如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作，先根据平行线的性质求出，再证明，然后根据两直线平行，同旁内角相等即可求解．
【详解】解：如图，作，
∵三角尺是含角的三角尺，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解．
7. 在平面直角坐标系xOy中，点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是（ ）
A. （3，4）B. （-3，-4）C. （-3，4）D. （-4，3）
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角坐标系和轴对称的性质分析，即可得到答案．
【详解】点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是：（-3，-4）
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系、轴对称的性质；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解．
8. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9. 某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是，对于这组数据，下列判断错误的是（ ）
A. 众数是B. 中位数是C. 平均数是D. 方差是
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义求解判断即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数是8，
∴这组数据的中位数为8，故B不符合题意；
∵这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为8，故A不符合题意；
这组数据的平均数为，故C不符合题意；
这组数据的方差为 ，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差，熟知平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键．
10. 我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“7尺长绫布和一匹9 尺长的罗布恰好一样贵”和“每尺罗布比绫布便宜文”列出方程组即可．
【详解】解：根据题意得：
；
故选C．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键．
11. 如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图：连接，根据已知条件可得是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵与与是等底等高的三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，判断出△AOD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，且△AOB是等边三角形，掌握扇形的面积公式是解题关键．
12. 如图是一个按某种规律排列的数阵：根据规律，自然数2021应该排在从上向下数的的第行，是该行中的从左向右数的的第个数，那么的值是（ ）
A. 131B. 130C. 129D. 128
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得每行的最后一个数是这个行的行数的平方，第行的数字个数是，由此规律可进行求解m和n的值，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：每行的最后一个数是这个行的行数的平方，第行的数字个数是，则有：
∵，
∴2021在第45行，
∵，
∴第45行最后一个数字是2025，第45行有个数字，第一个数字是，
∴2021是第85个数字，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是由题意得到一般规律进行求解即可．
二、填空题（每小题2分，共6小题，共12分）
13. 因式分解：______．
【答案】##
【解析】
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
详解】解：
＝
＝
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14. 如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：
由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，
∴能让两灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15. 关于的一元二次方程有两个不等实数根，则实数的取值范围是 _____．
【答案】且m≠2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到且，求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，
且，
且，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的意义的知识，解答本题的关键是熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，此题难度不大．
16. 如图，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作轴于点C，若，则k=______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，由轴于点C，得出轴，即可得出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出，解得．
【详解】解：连接，
∵过点A作轴于点C，
∴轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了同底等高的三角形面积相等，反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键．
17. 如图，四边形为矩形，，，连接，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连接分别交，于点E，F，则线段的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据作图可知：垂直平分，推出四边形是平行四边形，设，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，即可得解．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∴，
连接，

由作图可知：垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，则：，
在中，，解得：；
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是根据作图得到垂直平分．
18. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=，点E为边AD上一动点，点F为EC的中点，连接BE，点G在BE上，且EF=GF，在点E从点D运动到点A的过程中，点G运动的路径长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，，取的中点，连接，证明在圆上，进而可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是定值，进而可得点的运动轨迹，然后求得的长度即可．
【详解】如图，连接，，取中点，连接
四边形是矩形，AB=4，AD=，
,
是的中点，
在以为圆心， 为直径的圆上，
是的中点，则中，
的在以为半径，为圆心的弧上运动
当在点时，如图，
点的运动的路径长为
故答案为：
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的性质，直径所对的圆周角是直角，根据特殊角的三角函数值求角度，求弧长，综合运用以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再进行乘除运算，最后进行加减运算．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】-x-3y；-2
【解析】
【分析】首先把分子分母中能分解因式的分解因式，然后进行约分，最后合并同类项并代值计算．
【详解】解：
=
=x-y-2x-2y
=-x-3y，
当x=3，y=-时，
原式=-3-3×（-）
=-2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
21. 如图，点D和点C在线段BE上，，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质证（SAS）即可求证；
【详解】证明：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中
∵
∴（SAS）．
∴
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
22. 随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷．某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据所给的信息解答下列问题；
（1）这次活动共调查了______人；在扇形统计图中表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为______；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200，
（2）见解析 （3）两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
【解析】
【分析】（1）用微信支付的人数除以所占的百分比得到调查的总人数，然后用乘以喜欢用微信的人数的百分比得到“微信”支付的扇形圆心角的度数；
（2）先计算出用公交卡和现金支付的人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种支付方式的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：（人），
所以这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数；
故答案为：200，；
【小问2详解】
解：用公交卡支付的人数为（人），
用现金支付的人数为（人），
条形统计图补充为：
；
【小问3详解】
解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：
由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，
所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
23. 随着夏季的来临，某家电超市计划购进甲、乙两种品牌电风扇进行销售．在采购时发现，用10000元采购甲品牌电风扇的台数与用8000元采购乙品牌电风扇的台数相等，一台甲品牌电风扇的进价比一台乙品牌电风扇的进价高出100元．
（1）求甲、乙两种品牌电风扇每台的进价；
（2）该超市计划购进这两种品牌的电风扇共50台，并且甲品牌台数不超过乙品牌台数的2倍．若甲、乙两种品牌电风扇每台的售价分别为650元和500元，要使这两种品牌的电风扇售完后超市获取的利润最大，应怎样安排购进数量，并求出最大利润．
【答案】（1）甲品牌电风扇每台的进价是500元，乙品牌电风扇每台的进价是400元
（2）购进甲品牌电风扇33台，乙品牌电风扇17台，两种品牌的电风扇售完后该超市获得的最大利润为6650元
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出分式方程并求解即可；
（2）根据题意，列出关系式再通过不等式判断最值即可．
【小问1详解】
解：设乙品牌电风扇每台的进价为x元，则甲品牌电风扇每台的进价为元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的解．
此时，．
答：甲品牌电风扇每台的进价是500元，乙品牌电风扇每台的进价是400元．
【小问2详解】
设购进甲品牌的电风扇m台，两种品牌的电风扇全部售完后，可获利w元．
根据题意，得，解，得．
．
∵，
∴w随m的增大而增大．
∵，
∴当m取最大整数33时，w取得最大值．
此时，，．
答：购进甲品牌电风扇33台，乙品牌电风扇17台，两种品牌的电风扇售完后该超市获得的最大利润为6650元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用、不等式的应用，正确解读题意列出关系式是解题的关键．
24. 如图，是的直径，C为延长线上一点．为切线，D为切点，于点H，交于点E．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定与性质得到，根据切线的性质得到，通过等量代换即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，得到，设，，证明，根据相似三角形的性质，可求得的长，即可求得的长；再根据相似三角形的判定，可证得，利用相似三角形的性质及勾股定理，即可求得半径的长．
【小问1详解】
证明：如图：连，

，
为直径，
，
，
，
，
为切线，
，，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
点H是的中点，
，点O是的中点，
是的中位线，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，，
为的中点，
，
在中，．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25. 问题情境：在综合实践课上，老师让大家动手操作三角形纸片的折叠问题，“智慧”小组提供了如下折叠方法：
如图①， 经过点A 的直线折叠纸片， 使得边落在边上， 折痕为， 交于点D，得到图②，再将纸片展平在一个平面上，得到图③．再次折叠．纸使得A 与点D重合，折痕为，得到图④，再次将纸片展平在一个平面上， 连接， 得到图⑤．
操作与发现：（1） 证明四边形是菱形．
操作与探究： （2） 在图⑤中， 有求的长．
操作与实践：（3） 若中 ，请直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠可知，，，再证明，推出，则可证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形；
（2）设与相交于点O，先由三角形内角和定理得到，
∵四边形是菱形，再由菱形的性质得到，，，，则由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可得；
（3）先证明菱形是正方形，再由，求出，则．
【详解】解：（1）由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）设与相交于点O，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴；
（3）∵，
∴菱形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判断，正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键．
26. 如图1，抛物线 与x轴分别交于点，，与y轴交于点，点P是坐标平面内一点，点P坐标．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，将抛物线 x 轴上方的图象沿x轴翻折，翻折后的图象和原抛物线图象组成一个新的图象（如图 2实线部分和虚线部分，），记为图象 L．若直线与该新图象L恰好有三个公共点，请求出此时 n 的取值范围．
（3）在（2） 件下的新图象L，连接，若点D在新图象L上且 求点D的坐标．
【答案】（1）
（2）n的值为或
（3）或
【解析】
【分析】（1）把，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式；
（2）先得出将二次函数图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，然后进行分类讨论：①当经过点A时，②当不经过点A时，即可解答；
（3）过点P作轴于点E，推出，由图可知，点D在点B左边，进行分类讨论：①当点D在上时，连接，过点D做x轴的垂线，垂足为点F，设，则，根据，列出方程求出t的值即可； ②当点D在上时，同理可得，即可解答．
【小问1详解】
解：把，，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：将二次函数图像x轴上方的部分关于x轴翻折后的函数解析式为，
①当经过点A时，
把代入得：，
解得：，
∴，
联立和得：
，
则，
解得：，，
∴与相交于，
联立和得：
，
则，
解得：，
∴与相交于，
∴当时，直线与该新图象L恰好有三个公共点；
②当不经过点A时，
由图可知，将向下平移n个单位长度时，直线与该新图象L恰好有三个公共点
∴与有且只有一个交点，
联立得：，
则，
∴，
解得：，
综上：n的值为或；
【小问3详解】
解：过点P作轴于点E，
∵，
∴，
由图可知，点D在点B左边，
①当点D在上时，连接，过点D做x轴的垂线，垂足为点F，
设，则，
∵点P坐标，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：（与点B重合，舍去），
∴，
②当点D在上时，
设，则，
同理可得：，即，
解得：（与点B重合，舍去），
∴，
综上： 或．
【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数解析式，解直角三角形，二次函数和一次函数交点问题．熟练掌握相关性质定理，正确画出辅助线，是解题的关键．
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）
（，）