备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题14四边形(原卷版+解析)

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多边形、四边形、平面向量及其线性运算是中考的重要考点，尤其是特殊的平行四边形更是中考的难点，主要考查基础概念，几何推理与证明，综合分析几何问题.
1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.
2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.
3. 掌握三角形和梯形的中位线定理，并能灵活应用.
4. 了解平面向量的概念，掌握平面向量的线性运算.
一、多边形内角和定理、外角定理
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
二、平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质： 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
判定： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行线的性质
1.平行线间的距离都相等
2.等底等高的平行四边形面积相等
三、梯形
定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.
等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等；
（2）同一底边上的两个角相等；
（3）两条对角线相等；
（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）．
面积：
等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．
（3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形．
（4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.
综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现．
三角形、梯形的中位线
联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
一、单选题
1．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．6D．4
2．若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（ ）
A．B．C．D．
3．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．1B．1C．1D．1
4．刘师傅给客户加工一个平行四边形的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为（ ）

A．4B．5C．6D．7
6．下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（ ）
A．0B．2C．3D．4
7．如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
8．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
9．如图，在中，如果点是边的中点，且，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．某花木场有一块如等腰梯形的空地（如图），各边的中点分别是、、、，用篱笆围成的四边形场地的周长为40cm，则对角线的长度为（ ）
A．20cmB．15cmC．10cmD．5cm
二、填空题
11．如果某个等腰梯形的一个底角为60°，它的上、下底长分别为3和5，那么这个梯形的腰长是 _____．
12．如图，在梯形中，，，周长为，，则该梯形的周长等于______．
13．在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别为各边中点，已知对角线AC＝10，则四边形EFGH的周长为________．
14．如图，平行四边形中，，，垂足分别是、，，，，则平行四边形的周长为______．
15．如图，梯形中，，，平分，若，，则的长为________．
16．如图，中，连接，E是上一点，连接并延长交于F，交延长线于点G，若，则________．
17．如图，在梯形中，，与相交于点，如果，那么：______．
18．如图，点F在正五边形的内部，若为等边三角形，则的度数是______．
19．如图，对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为______．
20．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______．
四、特殊平行四边形
矩形的判定
平行四边形：（1）有一个角为直角（2）对角线相等.
一般四边形中，三个角为直角.
菱形的判定：
在平行四边形中，（1）有一组邻边相等。（2）对角线互相垂直.
一般四边形中，四条边相等.
正方形的判定：
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：
一、单选题
1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．对角线垂直且平分的四边形是正方形
2．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
3．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（ ）
A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°
4．如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是22.5，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15B．20C．D．
6．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（ ）
A．1.2B．1.25C．2.4D．2.5
7．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（ ）
A．不一定是平行四边形B．当AC＝BD时，它为菱形
C．一定是轴对称图形D．不一定是中心对称图形
8．如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、（不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ）
A．发生变化，存在最大值B．发生变化，存在最小值
C．不发生变化，存在最大值D．不发生变化，存在最小值
二、填空题
9．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是_________．填代号①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
10．菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是________．
11．如图， 在矩形中， 对角线，相交于点，若，，则的长为_____．
12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．
14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE，交BD于点F．若∠CDE＝30°，则∠DFC的度数为 ___．
三、解答题
15．已知：如图，矩形的两条对角线与相交于点O，点E、F分别是线段的中点，联结．
(1)求证：四边形是等腰梯形；
(2)过点O作，垂足为点M，联结，如果，求证：四边形是菱形．
16．已知如图，四边形中，，E为对角线的中点，点F在边上，交于点G，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如果，求证：．
五、平面向量
平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： .向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作||或｜｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量.
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.
平面向量的加法：
向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 设，则＝＝.
向量加法的平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共起点，作两个向量分别和相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是与的和向量.
向量的加法满足交换律，满足结合律.
零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量.
＝｜｜＝0..
平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.
要点：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
六、实数与向量相乘
1. 实数与向量相乘的意义：
一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.
要点：
设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.
2．向量数乘的定义
一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）如果时，则：
①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；
（2）如果时，则：，的方向任意.
实数与向量相乘，叫做向量的数乘.
要点：
（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；
（2）实数与向量不能进行加减运算；
（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；
（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.
3. 实数与向量的相乘的运算律：
设为实数，则：
（1）（结合律）；
（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；
（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律）
七、平行向量定理
1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.
要点：
任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.
2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.
要点：
（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.
（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.
（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.
（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.
（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 .
八、向量的线性运算
1．向量的线性运算定义：
向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.
要点：
（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.
要点：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.
一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.
(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解决平面几何问题：
（1）利用已知向量表示未知向量
用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：
①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算，研究几何元素的关系.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
一、单选题
1．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．如果、为实数，那么
B．如果或，那么
C．如果，且，那么的方向与的方向相同
D．长度为1的向量叫做单位向量
3．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．如果为单位向量，那么B．如果，那么
C．如果都是单位向量，那么D．如果，那么
5．下列命题正确的个数是（ ）
①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量；
②如果，，那么的模是；
③如果，或，那么；
④如果，的方向与的方向相反．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果或，那么B．如果，那么（k为实数）
C．如果（k为实数），那么D．如果，那么或
7．如图，已知A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外的一点，BC＝2AB，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．计算：______．
10．如果向量、、满足关系式，那么=____（用向量、表示）．
11．如图，在中，，，垂足为点．设，，那么________（结果用、的式子表示）．
12．如图，已知在中，，，．设，，试用向量、表示向量______．
13．如图，已知梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为___________．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为______.
15．如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么________．（用、表示）
16．如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么_______．（用含向量的式子表示）
一、单选题
1． (2023·上海青浦·统考二模）如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．720°C．1080°D．1440°
2． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
3． (2023·上海宝山·统考三模）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
4． (2023·上海徐汇·统考二模）下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
5． (2023·上海长宁·统考二模）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是正方形
6． (2023·上海青浦·统考二模）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
7． (2023·上海·一模）点是的重心，设，，那么关于和的分解式是（ ）
A．B．C．D．．
8． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
9． (2023·上海宝山·统考一模）已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之间夹角的正切值为5
10． (2023·上海闵行·校考一模）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11． (2023·上海崇明·统考二模）若一个正多边形的内角和等于外角和的两倍，则该正多边形的边数是 _____．
12． (2023·上海普陀·统考二模）菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为___________
13．（2018·上海金山·统考二模）如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于__________.
14． (2023·上海青浦·统考二模）如图，已知平行四边形中，是上一点，，联结交于，若向量，向量，则向量________．
15．（2018·上海长宁·统考中考模拟）在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则______．
16． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为______．（结算结果保留）
17． (2023·上海普陀·统考一模）如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为，如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为__________米．
18． (2023·上海徐汇·一模）如图，已知是边长为的等边三角形，正方形的顶点分别在边 上，点在边上，那么的长是_____．
19．（2018·上海闵行·统考二模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cs∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____．
三、解答题
20． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
21． (2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当，，时，求的长．
22． (2023·上海金山·统考二模）如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
23． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
(1)求证：AD＝AE；
(2)设BF交AC于点G，若，判断四边形ADFE的形状，并证明．
相关
元素
平行四边形
矩形
菱形
正方形
边
对边平行且相等
对边平行且相等
①对边平行
②四条边都相等
①对边平行
②四条边都相等
角
对角相等
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
对角线互相平分
①对角线互相平分
②对角线相等
①对角线互相平分
②对角线互相垂直
③每一条对角线平分一组对角
①对角线互相平分
②对角线互相垂直．
③每一条对角线平分一组对角
④对角线相等
对称性
中心对称
既是中心对称
又是轴对称
既是中心对称
又是轴对称
既是中心对称
又是轴对称
专题14 四边形

多边形、四边形、平面向量及其线性运算是中考的重要考点，尤其是特殊的平行四边形更是中考的难点，主要考查基础概念，几何推理与证明，综合分析几何问题.
1. 掌握多边形内角和与外角和公式，灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.
2. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念, 了解它们之间的关系. 掌握它们的性质和判别方法, 并能运用这些知识进行证明和计算.
3. 掌握三角形和梯形的中位线定理，并能灵活应用.
4. 了解平面向量的概念，掌握平面向量的线性运算.
一、多边形内角和定理、外角定理
边形的内角和为(－2)·180°(≥3)．
要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.
二、平行四边形
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质： 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
判定： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行线的性质
1.平行线间的距离都相等
2.等底等高的平行四边形面积相等
三、梯形
定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形.
等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等；
（2）同一底边上的两个角相等；
（3）两条对角线相等；
（4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）．
面积：
等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：

（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．
（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．
（3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形．
（4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.
综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现．
三角形、梯形的中位线
联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
一、单选题
1．一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是（ ）
A．10B．9C．6D．4
【答案】C
【分析】根据多边形的外角和等于，可以用除一个外角的度数，可以算出多边形的边数即可．
【解析】解：，
这个多边形的边数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的外角和，能够熟练掌握根据多边形的外角和与正多边形一个外角的度数求出多边形的边数是解决本题的关键．
2．若一个多边形的内角和比它的外角和大，则该多边形的边数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设多边形的边数为，根据多边形的外角和内角和之间的关系可到关于的方程，解方程即可得．
【解析】解：∵多边形的外角和是，多边形的内角和比它的外角和大
∴设这个多边形的边数为
由题意得：
解得：
故选：
【点睛】本题考查了多边形的外角和与内角和，理清外角和与内角和的关系是解题的关键．
3．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（ ）
A．1B．1C．1D．1
【答案】D
【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值．
【解析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，
由题意得：，
，
由于n为整数，x为正数且小于，
，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角．
4．刘师傅给客户加工一个平行四边形的零件，他要检查这个零件是否为平行四边形，用下列方法不能检查的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即可得A，B，D可以判定四边形是平行四边形，不能通过一组对边平行另一组对边相等得到平行四边形，也可以是等腰梯形；即可求得答案．
【解析】A．，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知本选项正确，但不符合题意；
B．，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，可知本选项正确，但不符合题意；
C．，，可知四边形可以是平行四边形，也可以是等腰梯形；故本选项错误，符合题意；
D．，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知本选项正确，但不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题比较简单，注意熟记平行四边形的判定定理是解此题的关键．
5．如图，在中，平分交于点F，平分交于点E，若，，则的长度为（ ）

A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，所以，所以，同理可得，则根据即可求解．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
同理可得．
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握数学模型“角平分线+平行线得到等腰三角形”．
6．下列命题：①等腰梯形的两个底角相等；②两个底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的对角线等；⑤对角线相等的梯形是等腰梯形，其中真命题的个数是（ ）
A．0B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据等腰梯形的性质对①③进行判断；根据等腰梯形的判定方法对②④进行判断．
【解析】解：等腰梯形的两个底角相等，所以①为真命题；
两个底角相等的梯形是等腰梯形，所以②为真命题；
等腰梯形的对角线相等，所以③为真命题；
对角线相等的梯形是等腰梯形，所以④为真命题．
故选：D．
【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．如图，在等腰梯形中，ADBC，，，，则BC=（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】过作交于，得出四边形是平行四边形，推出，，证出是等边三角形，得到，即可求出答案．
【解析】解：过作交于，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
是等边三角形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查对等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，把等腰梯形转化成平行四边形和三角形是解此题的关键．
8．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（ ）．
A．124°B．114°C．104°D．56°
【答案】A
【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．
【解析】解：
由折叠得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
9．如图，在中，如果点是边的中点，且，那么下列结论不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质与等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，逐个判断即可．
【解析】解：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，
∵AD∥BC，∠A＝∠AEC，
∴AB＝CE，
∴CE＝CD，故A正确；
∵点E是边AD的中点，
∴AD＝BC＝2AE＝2DE，
∵AD∥BC，
∴△BFC∽△DFE，
∴
∴BF＝2DF，故B正确；
∵AB＝CE，
∴FC＝2EF，
∴CE＝3EF，
∴AB＝CE＝3EF，故C不正确；
∵，△BFC∽△DFE，
∴S△BFC＝4S△DEF，
∴S△DFC＝2S△DEF，
∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF，
∴S四边形ABFE＝5S△DEF，故D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等腰梯形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10．某花木场有一块如等腰梯形的空地（如图），各边的中点分别是、、、，用篱笆围成的四边形场地的周长为40cm，则对角线的长度为（ ）
A．20cmB．15cmC．10cmD．5cm
【答案】A
【分析】根据等腰梯形的性质及三角形中位线的性质可推出四边形为菱形，根据菱形的性质可求得其边长，再根据三角形中位线的性质即可求得梯形对角线的长度．
【解析】解：连接，
四边形是等腰梯形，
，
各边的中点分别是、、、
， ，

四边形是菱形，
四边形场地的周长为，
，
。
故选：A．
【点睛】本题主要考查等腰梯形的性质及菱形的判定，证明四边形为菱形是解题的关键．
二、填空题
11．如果某个等腰梯形的一个底角为60°，它的上、下底长分别为3和5，那么这个梯形的腰长是 _____．
【答案】2
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰梯形的性质可得出AE的长度，在Rt△ABE中可求出腰长AB的长度．
【解析】解：如图，
过点A作AE⊥BC于点E，由题意得，AD=3，BC=5，
∴BE=（BC—AD）=1，
∵∠B=60°，
∴AB=2BE=2，
故这个梯形的腰长是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用含30°角的直角三角形的性质求出AB的长度．
12．如图，在梯形中，，，周长为，，则该梯形的周长等于______．
【答案】26
【分析】要求梯形的周长，就要利用周长公式，然后根据周长为，求出梯形的各边长即可．
【解析】解：梯形的周长，
∵，，，
为平行四边形，
，
周长为，
，
梯形的周长．
故答案为：26．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质；解题时要熟练掌握梯形的性质及平行四边形的性质．
13．在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分别为各边中点，已知对角线AC＝10，则四边形EFGH的周长为________．
【答案】20
【分析】连接BD，根据等腰梯形的性质得到BD=AC，根据三角形中位线定理解答即可．
【解析】解：连接BD， ∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=10，
∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴EF=AC=5，GH=AC=5，EH=BD=5，GF=BD=5，
∴四边形EFGH的周长=5+5+5+5=20，
故答案为：20．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握等腰梯形的性质、三角形中位线定理是解题的关键．
14．如图，平行四边形中，，，垂足分别是、，，，，则平行四边形的周长为______．
【答案】20
【分析】根据四边形的内角和为，求得；根据平行四边形的对边平行，可得与互补，即可求得，在直角三角形中求得的长，同理求得的长，继而求得平行四边形的周长；
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为＝，
故答案：20．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等．还考查了直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，正确求得∠B和∠DAF的度数是关键．
15．如图，梯形中，，，平分，若，，则的长为________．
【答案】
【分析】过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形．证明，推出，利用勾股定理求出，，可得结论．
【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形．
梯形中，，，
，，
平分，
，
，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
16．如图，中，连接，E是上一点，连接并延长交于F，交延长线于点G，若，则________．
【答案】
【分析】过点E作，可得，从而得到，再由平行四边形的性质可得，，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可求解．
【解析】解：如图，过点E作，
∴，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得：或（舍去），
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键．
17．如图，在梯形中，，与相交于点，如果，那么：______．
【答案】：##
【分析】首先根据，可得：：；然后根据∽，可得：：：：，进而可得：：，：：，：：，设，分别表达和进而可得结论．
【解析】解：在梯形中，，，
：：；
，
∽，
：：：：，
：：，：：，：：，
设，则，，
，
：：：．
故答案为：：．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．
18．如图，点F在正五边形的内部，若为等边三角形，则的度数是______．
【答案】##66度
【分析】根据等边三角形的性质得到，，由正五边形的性质得到，，等量代换得到，，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】解：是等边三角形，
，，
在正五边形中，，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记正多边形的内角的求法是解题的关键．
19．如图，对角线与交于点，且，，在延长线上取一点，使，连接交于，则的长为______．
【答案】
【分析】过点作，先由和平行四边形的性质说明是的中位线并求出，再判断，最后由相似三角形的性质得结论．
【解析】解：过点作，交于点，
四边形是平行四边形，是对角线与的交点，
，点是的中点．
，
是的中位线．
，．
．
．
，
．
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理及平行四边形的性质是解决本题的关键．
20．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______．
【答案】8
【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线．
【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位线为：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
四、特殊平行四边形
矩形的判定
平行四边形：（1）有一个角为直角（2）对角线相等.
一般四边形中，三个角为直角.
菱形的判定：
在平行四边形中，（1）有一组邻边相等。（2）对角线互相垂直.
一般四边形中，四条边相等.
正方形的判定：
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质：
一、单选题
1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
D．对角线垂直且平分的四边形是正方形
【答案】B
【分析】利用平行四边形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解析】解：A、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，符合题意；
C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；
D、对角线垂直、相等且平分的四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
2．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ）
A．22B．24C．48D．44
【答案】B
【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．
【解析】解： 菱形ABCD，

在Rt△BCO中， 即可得BD=8，

∴四边形ACED是平行四边形，
∴AC=DE=6，
BE=BC+CE=10，

∴△BDE是直角三角形，
∴S△BDE=DE•BD=24．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．
3．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（ ）
A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°
【答案】A
【分析】利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，∠DBC=45°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：A．
【点睛】本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．
4．如图，矩形中，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是22.5，则（ ）
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】根据折叠和矩形的性质，可得∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，从而得到∠BDE=∠DBE，进而得到BE=DE，再由的面积是22.5，可得，然后根据勾股定理，即可求解．
【解析】解：根据题意得： ∠DBE =∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，
∴∠BDE=∠CBD，
∴∠BDE=∠DBE，
∴BE=DE，
∵的面积是22.5，，
∴ ，解得： ，
∴，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了折叠和矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠和矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15B．20C．D．
【答案】A
【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．
【解析】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，
∴CF＝CE，，
在△CFO和△AEO中，，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB−AE＝24−CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得，
∴，
解得CE＝15，
∴AE＝15，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解决本题的关键是证明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．
6．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，则的最小值为（ ）
A．1.2B．1.25C．2.4D．2.5
【答案】C
【分析】先证四边形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP即可．
【解析】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
要使最小，只要最小即可，
当时，最短，
，，，
，
的面积，
，
即，
故选：C．
【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．
7．如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD四条边AB，BC，CD，DA的中点，则关于四边形EFGH，下列说法正确的是（ ）
A．不一定是平行四边形B．当AC＝BD时，它为菱形
C．一定是轴对称图形D．不一定是中心对称图形
【答案】B
【分析】先连接AC，BD，根据EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四边形EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形；当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，据此进行判断即可．
【解析】解：连接AC，BD，如图：
∵点E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，故A错误；
∴四边形EFGH一定是中心对称图形，故D错误；
当AC⊥BD时，∠EFG＝90°，此时四边形EFGH是矩形，
当AC＝BD时，EF＝FG＝GH＝HE，此时四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH可能是轴对称图形，故C错误；
∴说法正确的是当AC＝BD时，它为菱形，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：平行四边形是中心对称图形．解决问题的关键是掌握三角形中位线定理．
8．如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、（不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ）
A．发生变化，存在最大值B．发生变化，存在最小值
C．不发生变化，存在最大值D．不发生变化，存在最小值
【答案】D
【分析】根据正方形的性质证明△AOM≌△BON，得到两个正方形重叠部分形成图形的面积S四边形OMBN=S△BOM+S△BON= S△BOM+S△AOM= S△AOB=S正方形ABCD为定值，再根据全等三角形与等腰直角三角形的性质得到的周长为MN+BM+BN=MN+AB=，故可得n存在最小值，故可判断求解．
【解析】∵四边形ABCD和四边形是正方形，
∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，∠MON=∠AOB=90°
∴∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°
∴∠AOM=∠BON
∴△AOM≌△BON（ASA）
∴S△AOM≌S△BON
∵两个正方形重叠部分形成图形的面积S四边形OMBN=S△BOM+S△BON= S△BOM+S△AOM= S△AOB=S正方形ABCD
∴为定值，不发生变化，
∵△AOM≌△BON
∴OM=ON
∴△MON是等腰直角三角形
∴的周长为MN+BM+BN=MN+AB=，
故当MO最小时即OM⊥AB时，n存在最小值，
故选D．
【点睛】此题主要考查正方形的性质综合运用，解题的关键是熟知正方形的性质、全等三角形及等腰直角三角形的判定与性质．
二、填空题
9．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是_________．填代号①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤四个角都是；⑥轴对称图形．
【答案】④⑤⑥
【分析】根据平行四边形的性质以及矩形的性质进而分析得出答案即可．
【解析】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是：
④对角线相等；
⑤4个角都是90°；
⑥轴对称图形．
故答案为：④⑤⑥．
【点睛】此题主要考查了矩形与平行四边形的性质与区别，熟练区分它们的性质是解题关键．
10．菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形的面积是________．
【答案】24
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．
【解析】解：如图，当BD=6时，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，
∵AB=5，
∴AO=，
∴AC=8，
∴菱形的面积是：BD×AC=×6×8=24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．
11．如图， 在矩形中， 对角线，相交于点，若，，则的长为_____．
【答案】8
【分析】由四边形为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得，由，根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得三角形为等边三角形，根据等边三角形的每一个角都相等都为可得出为，在直角三角形中，根据直角三角形的两个锐角互余可得为，根据角所对的直角边等于斜边的一半，由的长可得出的长．
【解析】解：四边形为矩形，
，，且，，
，
又，
为等边三角形，
，
在直角三角形中，，，
，
，
则．
故答案为：8．
【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，以及含角直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质是解觉本题的关键．
12．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E点，若，则________．
【答案】65°##65度
【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案为：65°．
【点睛】本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
13．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，则PE+PF=______．
【答案】
【分析】连接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性质得出S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．
【解析】解：连接OP，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴OA=OB，AC==10，
∴S矩形ABCD=AB•BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，
∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA•PE+OB•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，
∴PE+PF=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE，交BD于点F．若∠CDE＝30°，则∠DFC的度数为 ___．
【答案】105°
【分析】根据正方形性质和已知得AD=DE，根据等腰△ADE顶角为120°计算∠DAE=30°，由三角形的内角和定理得∠AFD=105°，通过证明△ADF≌△CDF证出∠DFC=∠AFD即可得到答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADB=∠BDC=45°，
∵DC=DE，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=90°+30°=120°，
∴∠DAE=30°，
∴∠AFD=180°-25°-45°=105°，
在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DFC=∠AFD=105°，
故答案为：105°．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质是关键．
三、解答题
15．已知：如图，矩形的两条对角线与相交于点O，点E、F分别是线段的中点，联结．
(1)求证：四边形是等腰梯形；
(2)过点O作，垂足为点M，联结，如果，求证：四边形是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，，求出 ，，根据三角形的中位线性质得出，，，求出，，根据等腰梯形的判定得出即可；
（2）根据三角形的中位线性质得出．求出，求出处，根据平行四边形的判定得出四边形和四边形是平行四边形．求出，根据菱形的判定得出平行四边形是菱形，根据菱形的性质得出，求出即可．
(1)
证明：四边形是矩形，
，，，，
，，
点、分别是线段、的中点，
，，，
，，
，
即，
四边形是等腰梯形；
(2)
证明：连接，
点、分别是线段、的中点，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
由（1）知：，
四边形是平行四边形，
同理：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，
，
又四边形是等腰梯形，
，
又，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识点，能灵活运用等腰梯形的性质和判定、矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质进行推理是解此题的关键．
16．已知如图，四边形中，，E为对角线的中点，点F在边上，交于点G，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线可得AE＝CE＝BD，再结合已知CF＝BD，从而可得AE＝CF，进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据AE＝CE即可解答；
（2）利用（1）的结论可得AD∥CE，从而可得∠ADE＝∠DEC，进而可得∠ADE＝∠DCF，再利用平行线的性质可得∠EAD＝∠CFD，然后证明，利用相似三角形的性质解答．
【解析】（1）证明：∵，E为对角线的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等知识，熟练掌握菱形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
五、平面向量
平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： .向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作||或｜｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量.
方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量.
方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.
平面向量的加法：
向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 设，则＝＝.
向量加法的平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共起点，作两个向量分别和相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是与的和向量.
向量的加法满足交换律，满足结合律.
零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量.
＝｜｜＝0..
平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.
向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.
要点：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.
（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
，但这时必须“首尾相连”．
六、实数与向量相乘
1. 实数与向量相乘的意义：
一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.
要点：
设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.
2．向量数乘的定义
一般地，实数与向量的相乘所得的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）如果时，则：
①的长度：；②的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；
（2）如果时，则：，的方向任意.
实数与向量相乘，叫做向量的数乘.
要点：
（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；
（2）实数与向量不能进行加减运算；
（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；
（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.
3. 实数与向量的相乘的运算律：
设为实数，则：
（1）（结合律）；
（2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）；
（3） （向量的数乘对于向量加法的分配律）
七、平行向量定理
1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.
要点：
任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.
2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.
要点：
（1）定理中，，的符号由与同向还是反向来确定.
（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.
（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.
（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使.
（5）A、B、C三点的共线若存在实数λ，使 .
八、向量的线性运算
1．向量的线性运算定义：
向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.
要点：
（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.
（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
2．向量的分解：
平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.
要点：
（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.
一组基底中，必不含有零向量．
(2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解.
(3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同．
3．用向量方法解决平面几何问题：
（1）利用已知向量表示未知向量
用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：
①建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.
②通过向量运算，研究几何元素的关系.
③把运算结果“翻译”成几何关系.
一、单选题
1．若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据相反向量的定义逐项判断即可．
【解析】解：A、由平行向量的定义可知A正确，不符合题意；
B、因为和的方向相反，所以，故B正确，不符合题意；
C、由相反向量的定义可知，故错误，符合题意；
D、由相反向量的定义可知，故正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查相反向量的概念，属基础题，正确理解定义是解决问题的关键．
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．如果、为实数，那么
B．如果或，那么
C．如果，且，那么的方向与的方向相同
D．长度为1的向量叫做单位向量
【答案】C
【分析】由平面向量的性质，即可得A与B正确，又由长度为l的向量叫做单位向量，可得D正确，向量是有方向性的，所以C错误．
【解析】解∶A、根据向量的性质得，故本选项正确；
B、如果或，那么，故本选项正确；
C、因为向量是有方向性的，所以C错误；
D、长度为l的向量叫做单位向量， 故本选项正确．
故选∶ C．
【点睛】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是解此题的关键．
3．矩形的对角线与相交于点，如果，，那么（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出，再根据即可得到结果．
【解析】解：如图所示：
∵
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力．
4．下列说法正确的是（ ）
A．如果为单位向量，那么B．如果，那么
C．如果都是单位向量，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】向量有方向，大小，加减运算，根据相关的概念和运算方法即可求解．
【解析】解：选项，如果为单位向量，且与的方向相同，那么，故不符合题意；
选项，如果，大小相同，方向相反，那么，故符合题意；
选项，如果都是单位向量，那么，方向不确定，故不符合题意；
选项，如果，那么，模相等，方向不确定，故不符题意．
故选：．
【点睛】本题主要考查向量的基本知识，掌握向量的大小，方向，模的基础知识是解题的关键．
5．下列命题正确的个数是（ ）
①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量；
②如果，，那么的模是；
③如果，或，那么；
④如果，的方向与的方向相反．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解．
【解析】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确；
②如果，，那么的模是，故②正确；
③如果，或，那么，故③错误；
④如果，的方向与的方向相反，故④错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键．
6．下列命题中，正确的是（ ）
A．如果或，那么B．如果，那么（k为实数）
C．如果（k为实数），那么D．如果，那么或
【答案】D
【分析】根据向量的性质之一判断即可得到答案．
【解析】解：A．如果或，那么，原说法错误，不符合题意，选项错误；
B．如果，且，那么（k为实数），原说法错误，不符合题意，选项错误；
C．如果（k为实数），当时，和不平行，原说法错误，不符合题意，选项错误；
D．如果，那么或，说法正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解题关键．
7．如图，已知A、B、C是直线l上的三点，P是直线l外的一点，BC＝2AB，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图形得：，则，再根据可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的计算是解答本题的关键．
8．已知单位向量与非零向量、，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的定义，平面向量模的定义以及共线向量的定义进行判断即可．
【解析】A.当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C.当非零向量，的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当单位概率与非零向量的方向相同时才成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了平面向量知识，理解单位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，单位向量具有确定的方向是解题的关键．
二、填空题
9．计算：______．
【答案】##
【分析】根据向量的运算法则可直接进行解答．
【解析】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉向量的相关性质是解题的关键．
10．如果向量、、满足关系式，那么=____（用向量、表示）．
【答案】##
【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括号、移项，即可求得答案．
【解析】解：，
，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握此向量方程的解法与一元一次方程的解法一样．
11．如图，在中，，，垂足为点．设，，那么________（结果用、的式子表示）．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质得出，继而根据三角形法则即可求解．
【解析】解：∵在中，，，垂足为点．
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平面向量的线性运算，数形结合是解题的关键．
12．如图，已知在中，，，．设，，试用向量、表示向量______．
【答案】
【分析】首先由，得到，由，，即可求得，由相似三角形的对应边成比例，即可得到，；即可求得．
【解析】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的意义与运算．此题难度一般，解题时要注意数形结合思想的应用．
13．如图，已知梯形中，，，设，，那么向量用向量、表示为___________．
【答案】
【分析】过点D作交BC于点E，根据平行四边形的判定和性质及向量的三角形法则进行求解即可．
【解析】解：如图，过点D作交BC于点E，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，

故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，向量加法的三角形法则，掌握向量加法的三角形法则是解本题的关键．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，设，，那么向量用向量、表示为______.
【答案】
【分析】根据向量线性运算的三角形法则和正六边形的性质即可求解
【解析】连接，取的中点为O，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则
15．如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么________．（用、表示）
【答案】
【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得与的数量关系，然后根据，可得与、的数量关系．
【解析】解，连接，并延长交于点，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量，能够熟练掌握重心的性质是解决本题的关键．
16．如图，在梯形中，，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AB、CD的中点，，设，那么_______．（用含向量的式子表示）
【答案】
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例可求出BC，根据中位线的性质即可求出EF．
【解析】∵，AC、BD相交于点O，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∵点E、F分别是梯形腰AB、CD的中点，
∴EF是梯形的中位线，
∴，且，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形和中位线的性质，熟练掌握知识是解题关键．
一、单选题
1． (2023·上海青浦·统考二模）如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（ ）
A．360°B．720°C．1080°D．1440°
【答案】C
【分析】多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．
【解析】解：多边形的边数是：360÷45＝8．
则内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形的外角和、内角和，熟知公式是关键，利用外角和解决正多边形边数问题是常用思路
2． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）依次连接等腰梯形各边的中点得到的四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．等腰梯形
【答案】A
【分析】根据等腰梯形的性质、中位线定理以及菱形的判定，可推出四边形为菱形．
【解析】解：如图所示，等腰梯形中，，，分别是、的中点，连接．
E、F分别是的中点，
，
同理，可得：，
又等腰梯形，
，
，
四边形是菱形．
故选A．
【点睛】此题考查了等腰梯形的性质、三角形中位线定理以及菱形的判定，熟练掌握这些性质与定理是解此题的关键．
3． (2023·上海宝山·统考三模）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的梯形是等腰梯形
B．有两个角相等的梯形是等腰梯形
C．一组对边平行的四边形一定是梯形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
【答案】A
【分析】根据等腰梯形的判定定理与梯形定义对各个选项逐一分析即可．
【解析】解：A、对角线相等的梯形是等腰梯形，
∵四边形ABCD为梯形，
∴DC∥AB，
过C作CE∥DB交AB延长线于E，
∴四边形BECD为平行四边形
∴∠DBA=∠E，BD=CE，
∵AC=BD，
∴AC=BD=CE，
∴∠CAB=∠E=∠DBA，
在△ADB和△BCA中，
，
∴△ADB≌△BCA（SAS），
∴AD=BC，
四边形ABCD为等腰梯形，故本选项正确；
B、根据等腰梯形的性质和判定可判断：直角梯形中有两个角相等为90度，但不是等腰梯形，故本选项错误；
C、一组对边平行的四边形一定是梯形，错误，因为这组对边相等，那么就有可能是平行四边形，当这组对边不相等时是梯形，故本选项错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等则有两种情况，即平行四边形或等腰梯形，所以不能说一定是等腰梯形．故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰梯形判定与梯形的识别，掌握等腰梯形判定定理与梯形的识别方法是解题关键．
4． (2023·上海徐汇·统考二模）下列命题中，假命题是（ ）
A．顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形
B．顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形
C．顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
D．顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形
【答案】D
【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可．
【解析】
观察图形：分别为的中点，根据中位线定理：

A：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；
B：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；
C：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；
D：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误．
故答案选：D．
【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键．
5． (2023·上海长宁·统考二模）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是菱形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当时，四边形是正方形
【答案】D
【分析】根据平行四边形性质和矩形，菱形，正方形判定进行判定.
【解析】A．四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确；
B．∵四边形是平行四边形，
∴对角线互相平分，
∵，
∴四边形是菱形，故B选项正确；
C．有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D．根据对角线相等的平行四边形是矩形可知，当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选D．
【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定，解答本题的关键是：根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．
6． (2023·上海青浦·统考二模）已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的模只有大小，没有方向，向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A. 向量的模只有大小，没有方向，则不成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. 单位向量与向量方向不一定相同，则，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑．
7． (2023·上海·一模）点是的重心，设，，那么关于和的分解式是（ ）
A．B．C．D．．
【答案】C
【分析】连接AG并延长，交BC于点D．由重心的性质可知，D为BC中点，且．再根据题意可求出，即可由求出结果．
【解析】如图，连接AG并延长，交BC于点D．
∵点G为重心，
∴点D为BC中点．
又∵，，
∴，即，
∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形重心的性质，向量的线性运算．掌握重心的性质是解答本题的关键．
8． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，AD和BE交于点G，设，，那么向量用向量、表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形法则求出，再根据三角形中心的性质解决问题即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∵AD，BE是△ABC的中线，
∴G是△ABC的重心，
∴BG＝BE，
∴＝，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平面向量计算的三角形法则及三角形重心的知识，解题的关键是熟练掌握这些基本知识．
9． (2023·上海宝山·统考一模）已知，为非零向量，如果＝﹣5，那么向量与的方向关系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之间夹角的正切值为5
【答案】B
【分析】根据平行向量的性质解决问题即可．
【解析】∵已知，为非零向量，如果＝﹣5，
∴∥，与的方向相反，
故选：B．
【点睛】本题考查了平面向量，熟记向量的长度和方向是解题关键．
10． (2023·上海闵行·校考一模）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解析】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH•PC，故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AE＝AB＝BC，
∵∠DCF＝30°，
∴DF＝DC＝BC，
∴EF＝AE+DF＝﹣BC，
∴FE：BC＝（2﹣3）：3
故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二、填空题
11． (2023·上海崇明·统考二模）若一个正多边形的内角和等于外角和的两倍，则该正多边形的边数是 _____．
【答案】6
【分析】设这个正多边形的边数为n，则内角和为（n-2）180°，再根据外角和等于360°列方程解答即可．
【解析】解：设这个正多边形的边数为n，由题意得：
（n-2）180°=360°×2，
解得n=6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为（n-2）180°．
12． (2023·上海普陀·统考二模）菱形的两条对角线长分别为5和12，那么这个菱形的面积为___________
【答案】30
【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果．
【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为5和12，
∴菱形的面积：．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了菱形的面积，解题的关键是掌握菱形面积的求解方法有两种：①底乘以高，②对角线积的一半．
13．（2018·上海金山·统考二模）如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于__________.
【答案】4.
【分析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算.
【解析】解：根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，则另一条底边长.
故答案为4
【点睛】本题考查梯形中位线，用到的知识点为：梯形的中位线=（上底＋下底）
14． (2023·上海青浦·统考二模）如图，已知平行四边形中，是上一点，，联结交于，若向量，向量，则向量________．
【答案】
【分析】先求出，再根据△AEF∽CBF，得出与的关系即可．
【解析】解：∵， ，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴△AEF∽CBF，
∴，
∵，
∴BC=AD=3AE，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了向量的计算，平行四边形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握向量的运算法则是解答本题的关键．
15．（2018·上海长宁·统考中考模拟）在四边形中，，分别是边，的中点，若，，，，则______．
【答案】145°
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，结合图形计算即可．
【解析】解：连接BD，
∵点E、F分别是边AB、AD的中点，
∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，
∴∠ADB＝∠AFE＝55°，
∵，，
∵， ，
∴，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，
故答案为：145°．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则劣弧的长为______．（结算结果保留）
【答案】
【分析】连接OE，求出∠DOE＝40°，得到，根据弧长公式计算得到答案．
【解析】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，
∵OD＝OE＝，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠DOE＝40°，
∴，
的长＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是弧长计算、平行四边形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
17． (2023·上海普陀·统考一模）如图，小明在教学楼的楼顶测得：对面实验大楼的顶端的仰角为，底部的俯角为，如果教学楼的高度为米，那么两栋教学楼的高度差为__________米．
【答案】
【分析】连接AC，由题意知四边形ABCH是矩形，则DH=AB=m，利用Rt△ADH得到，推出，再根据Rt△ACH中，即可求出答案．
【解析】连接AC，
由题意知四边形ABCH是矩形，则DH=AB=m，
在Rt△ADH中，∠DAH=，，
∴，
在Rt△ACH中，∠CAH=，，
∴，
故答案为：．
．
【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题中的仰角和俯角，构建直角三角形利用锐角三角函数解决问题是解题的关键．
18． (2023·上海徐汇·一模）如图，已知是边长为的等边三角形，正方形的顶点分别在边 上，点在边上，那么的长是_____．
【答案】
【分析】根据等边三角形以及正方形的性质，在Rt△CDG中运用正弦的定义建立方程求解即可．
【解析】根据题可知，△ADE为等边三角形，即：AD=DE，
根据正方形的性质可知DE=DG，DG⊥BC，∠C=60°，
设AD=x，则DG=x，DC=AC-AD=2-x，
∴在Rt△CDG中，，
即：，
解得：，
经检验是上述分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形和等边三角形的性质，以及利用锐角三角函数解直角三角形，灵活根据题意找准合适的直角三角形是解题关键．
19．（2018·上海闵行·统考二模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=12，DC=7，cs∠ABC=，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A恰巧落在对角线BD上点P处，那么PD=_____．
【答案】12-12
【解析】解：过点C作CF⊥AB于点F，则四边形AFCD为矩形，如图所示．
∵AB=12，DC=7，
∴BF=5．
又∵cs∠ABC=，
∴BC=13，CF==12．
∵AD=CF=12，AB=12，
∴BD==12．
∵△ABE沿BE翻折得到△PBE，
∴BP=BA=12，
∴PD=BD﹣BP=12﹣12．
故答案为12﹣12．
【点睛】本题考查了翻折变换、直角梯形以及解直角三角形，通过解直角三角形求出AD、BD的长度是解题的关键．
三、解答题
20． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）如图，在 中， ，，， CD⊥AB，垂足为 D．
(1)求 BD 的长；
(2)设，，用，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解直角三角形，先求出CD的长度，然后求出AD，由等角的三角函数值相等，有，即可求出BD的长度；
（2）由（1）可求AB的长度，根据三角形法则，求出，然后求出.
（1）
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ACD中，，
∴．
∴，
∴．
∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠B =∠A+∠B=90°，
∴∠DCB=∠A．
∴；
（2）
解：∵，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，向量的运算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形求三角形的各边长度.
21． (2023·上海虹口·统考一模）如图，在中，点是的重心，联结，联结并延长交边于点，过点作交边于点．
（1）如果，，用、表示向量；
（2）当，，时，求的长．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由G是重心，可得， ， 因为，可得， 进而求出；
（2）根据G是重心，求出DG=3，因为△AGD是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD=，由AD=DC，DC=3DE求出DE=，相加即可．
解：（1）∵，
∵点G是Rt△ABC的重心，
∴AD＝AC，
∵，，
∴，
∴
∴，
．
（2）∵G是三角形的重心，
∴BG=2GD，AD=DC，
∵BG=6，
∴GD=3，
∵，，
∴AG=GD=3，
∴，
∵，
∴，
∴DE=，
∴AE=AD+DE=
【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．
22． (2023·上海金山·统考二模）如图，梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=．
(1)求CE的长；
(2)求∠ADE的余弦．
【答案】(1)
(2)的余弦为
【分析】（1）利用正切函数求得DE=4，再利用勾股定理即可求解；
（2）取CD的中点F，利用梯形中位线定理得到AD//EF，∠ADE=∠DEF，在Rt△DEF中，利用勾股定理和余弦函数的定义即可求解．
（1）
解：∵∠CDE=90°，CD=6，tan∠DCE=，
∴=，即=，
∴DE=4，
由勾股定理得CE=；
（2）
解：取CD的中点F，连接EF，
∵E是AB的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD//EF，
∴∠ADE=∠DEF，
在Rt△DEF中，，，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
即的余弦为．
【点睛】本题考查了梯形的中位线，解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
23． (2023·上海徐汇·统考二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
(1)求证：AD＝AE；
(2)设BF交AC于点G，若，判断四边形ADFE的形状，并证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)四边形ADFE是正方形，证明见解析．
【分析】（1）根据条件，结合两个三角形全等的判定定理，得出≌，利用全等三角形的性质即可得出；
（2）根据条件得到，进而判定四边形ADFE是矩形，再结合（1）中结论，即可得证．
（1）
证明：∠BAC＝90°，BF⊥CE，
，，
，
，
在和中，
≌，
；
（2）
四边形ADFE是正方形．
证明：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
，
，
，即，
，
，
∠BAC＝90°，
，
，
，，
四边形ADFE是矩形，
由（1）知，
四边形ADFE是正方形．
【点睛】本题为几何证明综合题，涉及到三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定和正方形的判定，熟练掌握相关知识点，并能根据题中条件与所证结准确寻找到思路是解决问题的关键．
相关
元素
平行四边形
矩形
菱形
正方形
边
对边平行且相等
对边平行且相等
①对边平行
②四条边都相等
①对边平行
②四条边都相等
角
对角相等
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
对角线互相平分
①对角线互相平分
②对角线相等
①对角线互相平分
②对角线互相垂直
③每一条对角线平分一组对角
①对角线互相平分
②对角线互相垂直．
③每一条对角线平分一组对角
④对角线相等
对称性
中心对称
既是中心对称
又是轴对称
既是中心对称
又是轴对称
既是中心对称
又是轴对称