备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题06代数方程(原卷版+解析)

这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题06代数方程(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了分式的概念，分式的运算，整数指数幂， 分式方程及其应用等内容，欢迎下载使用。
代数方程是本市中考特色考点，中考中多以选择题、填空题、简单的解一元二次方程及其应用题和渗透在大题中的形式计算问题出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌握代数方程的分类，会解代数方程，及解代数方程过程中的形式变换，掌握有关的实际问题转化为代数方程来解决，难度系数中等。。
一、分式的概念
概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子??叫做分式，A为分子，B为分母。
【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。
与分式有关的条件：
二、分式的运算
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：??=?•??•?，??=?÷??÷?，
其中A、B、C是整式，C≠0。
拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
??=−?−?=−−??=−?−?
注意：在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
分式的约分
约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式。
分式约分步骤：
1）提分子、分母公因式
2）约去公因式
3）观察结果，是否是最简分式或整式。
注意：
1.约分前后分式的值要相等.
2.约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式.
3.约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式
分式的通分
通分的定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
分式通分的关键：确定最简公分母
确定分式的最简公分母的方法
1.因式分解
2.系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3.字母：各分母的所有字母的最高次幂
4.多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂
5.积
分式混合运算的运算
运算顺序：1.先把除法统一成乘法运算；
2.分子、分母中能分解因式的多项式分解因式；
3.确定分式的符号，然后约分；
4.结果应是最简分式.
三、整数指数幂
??⋅??=??+?
???=???
???=????
??÷??=??−?（?≠0）
???=????
?−?=1??（?≠0）
?0=1（?≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）
其中m，n均为整数。
科学记数法
有了负整数指数幂后，小于1的正数也可以用科学记数法表示。即小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式.(1≤∣a∣＜10，n是正整数)
注意：
1）1≤︱a︱＜10
2）n是正整数，n等于原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。(包括小数点前面的0）
四、 分式方程及其应用
解分式方程的基本
1）去分母(两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程)。
2）解整式方程(去括号-移项/合并同类项-系数化为1)。
3）检验(把整式方程的解代入最简公分母，
若最简公分母为0 ，则x=a不是分式方程的解
若最简公分母不为0，则x=a是分式方程的解
4）写出答案
分式方程解决实际问题的步骤：
1. 根据题意找等量关系
2. 设未知数
3. 列出方程
4. 解方程，并验根（对解分式方程尤为重要）
5. 写答案
一一、单选题
1．下列各式①；②；③；④；⑤中，分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列运算结果为x-1的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．C．D．
4．若分式的值为0,则x的值为( )
A．1B．0C．-1D．0或-1
5．下列计算正确的是( )
A．a-1+a-2=a-3B．a-5·a-2=a10C．(-2a-4)4=16a-8D．(a-1)2=a-2
6．计算÷-的结果为( )
A．B．C．D．a
7．已知关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．4B．C．2D．
8．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
二、填空题
9．新型冠状病毒 (2023﹣nCV）的平均直径是100纳米．1米＝109纳米，100纳米可以表示为_____米．（用科学记数法表示）
10．计算：_____________ ＝_____________
＝_____________ ＝_________________
11．已知方程，如果设，那么原方程可以变形为关于的整式方程为___________．
12．某次列车平均提速vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶skm．提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度是xkm/h．根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④．则其中正确的方程有_________．
13．若，则________．
14．计算：________________.
三、解答题
15．计算：
(1)
(2)
(3)
(4).
(5)
(6).
(7)
(8).
(9)
16．计算：．
17．解方程：
(1)
(2).
(3)
(4)
18．某区招办处在中考招生录取工作时，为了防止数据输入出错，全区3600名学生的成绩数据分别由李某、王某两位同志进行操作，两人各自独立地输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致．已知李某的输入速度是王某的2倍，结果李某比王某少用2小时输完．问李某、王某两人每分钟分别能输入多少名学生的成绩？
19．疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题：
(1)求购进的第一批医用口罩有多少包？
(2)政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？
一、基本概念
一元整式方程：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。
二项方程：一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。其一般式为
Ax^n+b=0(其中a≠0, b≠0,n为正整数).
双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.其一般形式为:ax^4+bx^2+c=0(a≠0)
无理方程：方程中含有根式,并且被开方数含有未知数的代数式.
二元二次方程组:仅含有两个未知数,并且含有未知数项的最高次数为2的整式方程.
二、整式方程的解法
1.一元一次方程和一元二次方程的解法
2.含字母系数的整式方程的解法
3. 特殊的高次方程的解法
（1）二项方程的解法
二项方程的定义：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。关于x的一元n次二项方程的一般形式是二项方程的解法及根的情况：
一般地，二项方程可变形为可见，解一元n次二项方程，可以转化为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。
二项方程的根的情况：
对于二项方程，
当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。
当n为偶数时，如果，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果，那么方程没有实数根。
（2）双二次方程的解法
双二次方程的定义：
只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。
关于x的双二次方程的一般形式是双二次方程的解法：
可以用“换元法”解形如的双二次方程。就是用y代替方程中的x，同时用y代替x，将方程转化为关于y的一元二次方程ay+by+c=0。解这个关于y的一元二次方程即可。
（3）因式分解法解高次方程
解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。
用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。
三、可化为一元二次方程的分式方程的解
1．适宜用“去分母”的方法的分式方程
解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。解分式方程要注意验根！
2.适宜用“换元法”的分式方程
适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法
四、无理方程的解法
解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。
解无理方程一定要验根！
在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。
1.只有一个含未知数根式的无理方程
当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
2.有两个含未知数根式的无理方程
当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。
3.适宜用换元法解的无理方程
如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
A．是二元二次方程B．是二项方程
C．是分式方程D．是无理方程
2．下列方程组是二元二次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程中，二项方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知下列关于x、y的方程，说法正确的是（ ）
A．2x5+b＝0是二项方程
B．是分式方程
C．2x+5＝x是无理方程
D．是二元二次方程组
5．下列方程有实数解的是（ ）
A．B．C．D．
6．小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（ ）
A．可得，再用代入消元法解
B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组
C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解
D．经检验：是方程组的一组解
7．下列方程中，有实数解的是（ ）
A．B．
C．D．
8．二元二次方程组的解的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
9．方程的根是______．
10．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组___________，使它的解是和．
11．下列方程：，，，无实数根的方程有________个．
12．方程的解为________．
13．方程组的解是______________________．
三、解答题
14．解方程组：
15．解方程：．
16．解方程组：
17．解方程组：．
一、单选题
1． (2023·上海宝山·校考三模）在下列方程中，不是二元二次方程的有（ ）
A．；B．xy＝3；C．；D．．
2． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A．B．
C．D．
3． (2023·上海·校考三模）下列方程中，有实数解的个数是（ ）
①，②，③，④
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题
4． (2023·上海松江·统考二模）用换元法解方程＝3时，设＝y，那么原方程化成关于y的整式方程是____________．
5． (2023·上海普陀·统考二模）如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是__．
6． (2023·上海金山·统考二模）方程的解是_______．
7． (2023·上海黄浦·统考二模）方程组的解是__________________．
8．（2011·上海浦东新·统考中考模拟）如果关于x的方程的一个根为3，那么a=___．
9．（2018·上海浦东新·统考一模）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程：__________．
10． (2023·上海静安·统考一模）方程的根为____．
三、解答题
11． (2023·上海金山·统考二模）解方程：．
12．（2017·上海静安·统考中考模拟）解方程： +=1．
13． (2023·上海宝山·统考二模）解方程组：．
14． (2023·上海崇明·统考二模）解方程组：．
15．（2011·上海黄浦·统考中考模拟）黄商超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的3倍．
（1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在这两次苹果销售中共获利多少元？
16． (2023·上海徐汇·统考二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
(1)根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
(2)试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很快销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
要求
表示
分式有意义
分母≠0
?≠0
分式无意义
分母=0
?=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
?=0,?≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0
A