备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题07正比例函数和反比例函数(原卷版+解析)

这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题07正比例函数和反比例函数(原卷版+解析)，共83页。试卷主要包含了 平面直角坐标系的基础，四象限的角平分线上，则，即横，解答题等内容，欢迎下载使用。
正比例函数和反比例函数是本市中考的重要知识点，函数定义域，函数法则的函数值是本市的特色中考考点，中考中多以选择题、填空题、解答题多以函数的应用形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．掌握函数的有关概念和本质，函数的图像和性质的结合，函数的应用（实际应用和几何应用），难度系数简单-中等。。
一、 平面直角坐标系的基础
有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
二 、点的坐标的有关性质
性质一 各象限内点的坐标的符号特征
性质二 坐标轴上的点的坐标特征
1.轴上的点，纵坐标等于0；
2.轴上的点，横坐标等于0；
3.原点位置的点，横、纵坐标都为0.
性质三 象限角的平分线上的点的坐标
1．若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；








2．若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上
性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征
1.在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；




点A、B的纵坐标都等于；



2.在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；


点C、D的横坐标都等于；
性质五 点到坐标轴距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1.点P到轴的距离为；
2.点P到轴的距离为；
3.点P到原点O的距离为PO＝

性质六 平面直角坐标系内平移变化
性质七 对称点的坐标




点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
2.点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；




3.点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；




一、单选题
1．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（ ）
A．实数B．有理数
C．有序实数对D．有序有理数对
2．已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
6．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，三角形ABC的面积等于（ ）
A．12B． C．13D．
8．已知点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．△ABC三个顶点坐标A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），将点B向右平移2个长度单位后，再向上平移5个长度单位到D，若设△ABC面积为S1，△ADC的面积为S2，则S1与S2大小关系为（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能确定
10．如图，点A(O，1)、点A1(2，0)、点A2(3，2)、点A3(5，1)、…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为 ( )
A． (2023，2021)B．(3032，1010)C．(3033， 1011)D． (2023，1012)
二、填空题
11．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示为______．
12．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是__________．
13．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，﹣1)，若轴，且AB＝9，则点B的坐标是 ___．
14．如图，点是棋盘上象的第一跳后的位置，象走的规则是沿“田”形对角线走．
请指出：（1）象是从点________跳到A点；
（2）象下一跳的可能位置是__________．
15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是，点P的坐标为，若为直角三角形，则的值为 _____．
三、解答题
16．已知点Q，试分别根据下列条件，回答问题．
(1)若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
(2)若点Q在（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
17．已知点P(2m-6，m+1)，试分别根据下列条件直接写出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)点P到x轴的距离与到y轴距离相等．
18．如图，在平面直角坐标系中．
(1)求出的面积；
(2)在图中作出关于y轴对称的图形，并写出，的坐标；
(3)在x轴上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最小．
19．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点B在x轴的正半轴上，点A在y轴正半轴上，△AOB的面积为4，且.
(1)求点B的坐标；
(2)过点A作的垂线，点C在直线的下方垂直y轴于点D，当时，求点C的坐标：
(3)在（2）的条件下，连接，点E为的中点，求点E的坐标.
一、函数
1、函数的相关概念
在某个变化过程中有两个变量，设为x和y,如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，那么变量y叫做变量x的函数 ，x叫做自变量 。
2、函数的定义域与函数值
①定义域：函数的自变量的允许取值的范围（简称自变量的取值范围）。
常见函数的定义域：
（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数；
（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；
（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数
（4）在实际生活中有意义。
②函数记号与函数值：
函数记号：y是x的函数用记号y=f（x）表示；
函数值：在函数记号y=f（x）表示时，f（a）表示当x=a时的函数值。
二、正比例函数与反比例函数
1.正比例函数和反比例函数的定义：
①正比例函数的定义：定义域是一切实数的函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数.
注意：正比例函数的定义域是一切实数.
②反比例函数的定义： 定义域为不等于零的一切实数的函数，（ k为不等于零的常数）叫做反比例函数，其中k也叫比例系数.
要点：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；
（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
2、正比例函数和反比例函数的图像与性质
要点：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数(为常数，) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．
3、过双曲线() 中k的几何意义
①过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.
②过双曲线（k≠0）上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
三、函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
1、解析法
把两个变量之间的依赖关系用数学式子来表达，这种表示函数的方法叫做解析法．这种数学式子也就是函数解析式．如、，再如S=200t、、……
2、列表法
这种把两个变量之间的依赖关系用表格来表达，这种表示函数的方法叫做列表法．
3、图象法
这种把两个变量之间的依赖关系用图像来表示，这种表示函数的方法叫做图像法．
要点：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值时，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
一、单选题
1．下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法不成立的是（ ）．
A．在中，与x成正比B．在中，与x成反比
C．若，则x，y成正比D．若，则x，y成反比
3．关于函数y＝﹣x，以下说法错误的是（ ）
A．图象经过原点B．图象经过第二、四象限
C．图象经过点D．y的值随x的增大而增大
4．关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象是双曲线
B．它的图象在第一、三象限
C．的值随的值增大而减小
D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上
5．已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（ ）
A．k1＞k2＞k3＞k4B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4D．k4＞k3＞k2＞k1
6．在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．一列货运火车从北京站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货之后又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么火车的速度v与行驶时间t之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙二人沿相同的路线由A到B匀速行进，A，B两地间的路程为20km．他们行进的路程与甲出发后的时间t（h）之间的函数图象如图所示．根据图中信息，下列说法中，不正确的是（ ）
A．甲的速度是5；B．乙的速度是10
C．乙比甲晚出发1hD．从A到B，甲比乙多用了1h
10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C为反比例函数y=（k＞0）上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直x轴于点E、F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
二、填空题
11．函数的定义域是______．
12．已知：，那么_______________．
13．已知函数，当______．时，这个函数为正比例函数．
14．已知正比例函数，如果它的图像经过第二、四象限，则的取值范围是________．
15．已知反比例函数的图像上两点、，当时，有，则的取值范围是______．
16．在描述某一个反比例函数的性质时，甲同学说：“从这个反比例函数图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，与两坐标轴所围成的长方形的面积为2022.”乙同学说：“这个反比例函数在同一个象限内，y的值随着x的值增大而增大.”根据这两位同学所描述，此反比例函数的解析式是_______.
17．如图，在平面直角坐标中，点、点，线段绕点顺时针方向旋转90°，点的对应点恰好落在反比例函数的图像上，则______．
18．如图，点A是射线上一点，过点A作轴于点B，以为边在其右侧作正方形，过点A的双曲线交边于点E，若，则的值是______．
三、解答题
19．已知，并且与x成正比例，与成反比例．当时，；当时，，求：y关于x的函数解析式．
20．若和是关于的方程的两个不相等实数根，且是非负整数．
(1)求的值；
(2)反比例函数图象过点（其中），求的值．
21．某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求出P与S之间的函数表达式；
(2)如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
22．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴正半轴上，，，C为斜边的中点，反比例函数在第一象限内的图像经过点C，交边于点D．
(1)这个反比例函数的解析式；
(2)连结，求的值．
23．已知反比例函数的图象经过点．
(1)试确定此反比例函数的解析式；
(2)点是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．判断点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
(3)已知点也在此反比例函数的图象上（其中），过点作轴的垂线，交轴于点．若线段上存在一点，使得的面积是，设点的纵坐标为，求的值．
一、单选题
1． (2023·上海普陀·统考一模）如果点在轴上，那么点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2017·上海徐汇·统考二模）已知点M(1－2m，m－1)在第四象限内，那么m的取值范围是( )
A．m＞1B．m＜C．＜m＜1D．m＜或m＞1
3． (2023·上海浦东新·统考二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（ ）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
4． (2023·上海杨浦·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，2），点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°