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苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和课后复习题
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这是一份苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和课后复习题，共26页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5802" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5802 \h 1
\l "_Tc15297" 【考点一 多边形内角和问题】 PAGEREF _Tc15297 \h 1
\l "_Tc20337" 【考点二 正多边形的内角问题】 PAGEREF _Tc20337 \h 2
\l "_Tc10740" 【考点三 多边形截角后的内角和问题】 PAGEREF _Tc10740 \h 3
\l "_Tc15975" 【考点四 正多边形的外角问题】 PAGEREF _Tc15975 \h 4
\l "_Tc9995" 【考点五 多边形外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc9995 \h 5
\l "_Tc1368" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1368 \h 8
【典型例题】
【考点一 多边形内角和问题】
例题： (2023秋·河南安阳·八年级统考期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．9D．8
【变式训练】
1． (2023秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
2． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．七边形C．六边形D．五边形
【考点二 正多边形的内角问题】
例题： (2023秋·全国·八年级专题练习）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形
【变式训练】
1． (2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．不确定
2． (2023秋·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期末）一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【考点三 多边形截角后的内角和问题】
例题： (2023秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11B．12，11，10C．8，9，10D．9，10
【变式训练】
1． (2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________．
2． (2023秋·全国·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为 ______________．
【考点四 正多边形的外角问题】
例题： (2023秋·天津西青·八年级校考期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为___，它的每一个外角等于___．
【变式训练】
1． (2023秋·山东滨州·八年级校考期末）一个正n边形的每个外角都为，则边数n为______．内角和度数为__________．
2． (2023秋·辽宁大连·八年级校考期末）已知一个正多边形的外角为20°，则这个多边形的边数为____．
【考点五 多边形外角和的实际应用】
例题： (2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10m后向左转40°，再沿直线前进10m后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了__________m．
【变式训练】
1． (2023秋·山东德州·八年级统考期中）小聪从点出发，先向前走20m，接着向左转30°，然后他继续再向前走20m，又向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他走回点时共走的路程是______．
2． (2023秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为________．
【考点六 多边形内角和与外角和综合】
例题： (2023秋·河南新乡·八年级校考期中）多边形的每一个内角都等于，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成_________个三角形．
【变式训练】
1． (2023春·八年级课时练习）（1）十二边形的内角和的度数是____________．
（2）一个多边形的内角和是它的外角和的5.5倍，这个多边形的边数是____________．
2． (2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，小明从点A出发沿直线前进8米到达点B后向左旋转角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，…照这样走下去，第一次回到出发地点A时，他共走了72米，则每次旋转的角度为___________度；小明所走路线形成的多边形的内角和为___________ 度．
【过关检测】
一、选择题
1． (2023秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．6D．7
2． (2023秋·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．8C．6D．4
3． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）如图，一束平行太阳光照射到正六边形上，若，则的大小为（ ）
A．150°B．148°C．140°D．138°
4．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
5． (2023秋·全国·八年级专题练习）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为的多边形，则n的值为（ ）
A．只能为13B．只能为14C．只能为15D．以上都不对
6． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7． (2023秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）2021边形的外角和等于___________．
8． (2023秋·广东广州·八年级校考期末）一个正多边形的每一个外角都等于60°，则该正多边形的内角和等于___________度．
9． (2023秋·山西朔州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则_________．
10． (2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为，则该正多边形的内角和的度数为________．
11． (2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_____度．
12． (2023秋·山东日照·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为____；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做_______条对角线．
三、解答题
13． (2023秋·河北邯郸·八年级校联考期中）已知一个多边形的边数为n．
(1)若，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
14． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，的平分线交于点E．
(1)若，则＝ °；
(2)若，求的大小．
15． (2023春·八年级课时练习）如图，在六边形中，．
(1)求证：．
(2)求的度数．
16． (2023秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
专题06 多边形的内角和与外角和压轴题五种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5802" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5802 \h 1
\l "_Tc15297" 【考点一 多边形内角和问题】 PAGEREF _Tc15297 \h 1
\l "_Tc20337" 【考点二 正多边形的内角问题】 PAGEREF _Tc20337 \h 2
\l "_Tc10740" 【考点三 多边形截角后的内角和问题】 PAGEREF _Tc10740 \h 3
\l "_Tc15975" 【考点四 正多边形的外角问题】 PAGEREF _Tc15975 \h 4
\l "_Tc9995" 【考点五 多边形外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc9995 \h 5
\l "_Tc1368" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1368 \h 8
【典型例题】
【考点一 多边形内角和问题】
例题： (2023秋·河南安阳·八年级统考期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．9D．8
【答案】D
【分析】n边形的内角和为，列出方程解出n的值即可．
【详解】解：多边形的内角和是，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了求n边形的内角和公式，解决本题的关键是熟记求n边形的内角和公式．
【变式训练】
1． (2023秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
【答案】B
【分析】根据多边形内角和公式，列方程求解即可，边形的内角和为．
【详解】解：设多边形的边数为，根据多边形内角和定理得：
，
解得：．
所以此多边形的边数为10边．
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形内角和的公式．
2． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．七边形C．六边形D．五边形
【答案】C
【分析】设这个多边形是n边形，则它的内角和是，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
，
∴，
∴该多边形的边数是六边形．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
【考点二 正多边形的内角问题】
例题： (2023秋·全国·八年级专题练习）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于，列出方程，解出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
则有，
解得：，
这个多边形的边数为7．
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
【变式训练】
1． (2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．不确定
【答案】B
【分析】n边形的内角和公式为，由此列方程求边数n．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则，
解得，
∴这个多边形的边数为5，
故选：B．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题关键在于熟练掌握公式．
2． (2023秋·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期末）一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】设该正多边形的一个外角为x，根据正多边形的外角与相邻内角互补列方程求解x，再根据正多边形的外角相等且外角和为360°即可求解．
【详解】解：设该正多边形的一个外角为x，
根据题意，得，
解得：，
∴这个多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的外角和和内角和，熟知正多边形的外角和相邻内角互补是解答的关键．
【考点三 多边形截角后的内角和问题】
例题： (2023秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11B．12，11，10C．8，9，10D．9，10
【答案】A
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则，
解得：．
∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；
∴原来多边形的边数可能是9或10或11
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
【变式训练】
1． (2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________．
【答案】10或11或12
【分析】根据多边形的内角和公式，先计算出截取之后的边数，再进行分类讨论即可．
【详解】解：设截取后多边形的边数为n，
，解得：，
，．
故答案为：10或11或12．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式以及掌握一个多边形截取一个角后边的数量可能会增加一条，可能不变，也可能减少一条．
2． (2023秋·全国·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为 ______________．
【答案】5或6或7
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，
则，
解得：．
∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，
∴原多边形的边数可能为5或6或7．
故答案是：5或6或7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，知道一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，是解题的关键．
【考点四 正多边形的外角问题】
例题： (2023秋·天津西青·八年级校考期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为___，它的每一个外角等于___．
【答案】 12 30°
【分析】根据题意求得正多边形的边数，进而求得答案
【详解】解：∵一个正多边形的内角和为1800°，即
∴
由
故答案为：
【点睛】本题考查了正多边形的内角和和外角和公式，根据内角和公式求得边数是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023秋·山东滨州·八年级校考期末）一个正n边形的每个外角都为，则边数n为______．内角和度数为__________．
【答案】 9 ##1260度
【分析】根据多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等，即可求出n的值，再根据多边形的内角和为，即可进行解答．
【详解】解：∵该正多边形的每个外角都为，
∴，
∴该多边形的内角和为：，
故答案为：9，．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和以及内角和，解题的关键是掌握多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等；多边形的内角和为．
2． (2023秋·辽宁大连·八年级校考期末）已知一个正多边形的外角为20°，则这个多边形的边数为____．
【答案】18
【分析】先思考正多边形的外角和为360°，再根据一个外角为20°，即可求出正多边形的边数即可．
【详解】正多边形的边数是： ．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
【考点五 多边形外角和的实际应用】
例题： (2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10m后向左转40°，再沿直线前进10m后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了__________m．
【答案】90
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和为360度即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴他需要走9次才会回到原来的起点，即一共走了（米）．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．解题的关键是理解任何一个多边形的外角和都是360°．
【变式训练】
1． (2023秋·山东德州·八年级统考期中）小聪从点出发，先向前走20m，接着向左转30°，然后他继续再向前走20m，又向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他走回点时共走的路程是______．
【答案】240m##240米
【分析】根据题意，小聪走过的路是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以20米即可．
【详解】解：小聪每次都是走20m后向左转30°，
小聪走过的路线是正多边形，且正多边形的外角是30°，
正多边形的边数，
当他走回点时共走的路程是，
故答案为：240m．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都是360°．
2． (2023秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为________．
【答案】##30度
【分析】由题意可知此人的前行路线是一个正多边形，所求α为多边形的外角，首先求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和得到α的度数．
【详解】解：由题意得：正多边形的周长为60m，边长为5m
∴正多边形边数为，此人前行路线为正十二边形
∵多边形的外角和为，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形外角和定理，解题关键是牢记多边形的外角和为．
【考点六 多边形内角和与外角和综合】
例题： (2023秋·河南新乡·八年级校考期中）多边形的每一个内角都等于，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成_________个三角形．
【答案】
【分析】已知多边形的每一个内角都等于，则外角为，根据多边形的外角和为，由此即可求出多边形的边数，再根据多边形的边数即可求解．
【详解】解：多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的外角为，根据多边形外角和定理得，边数为，即多边形为五边形，
∴从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成个三角形，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和综合，对角线知识，掌握多边形的外角和定理，对角线知识是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023春·八年级课时练习）（1）十二边形的内角和的度数是____________．
（2）一个多边形的内角和是它的外角和的5.5倍，这个多边形的边数是____________．
【答案】 ##度 13
【分析】（1）根据多边形内角和公式进行求解即可；
（2）先根据多边形外角和为360度求出这个多边形的内角和，再根据多边形内角和公式进行求解即可
【详解】解：（1），
∴十二边形的内角和度数是，
故答案为：；
（2）∵一个多边形的内角和是它的外角和的5.5倍，
∴这个多边形的内角和为，
∴这个多边形的边数是，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和和外角和，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为360度是解题的关键．
2． (2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，小明从点A出发沿直线前进8米到达点B后向左旋转角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，…照这样走下去，第一次回到出发地点A时，他共走了72米，则每次旋转的角度为___________度；小明所走路线形成的多边形的内角和为___________ 度．
【答案】 40
【分析】根据共走了72米，每前进8米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和及内角和公式，计算左转的角度及内角和即可．
【详解】解：向左转的次数 (次)，
则左转的角度是，
这个多边形是9边形，
内角和为：
故答案是：40，1260．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理与内角和公式，熟练掌握和运用多边形的外角和定理与内角和公式是解决本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1． (2023秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．6D．7
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式，依此列方程可求解．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
则，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
2． (2023秋·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和等于外角和列方程解答即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则
，
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和公式及外角和是解题的关键．
3． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）如图，一束平行太阳光照射到正六边形上，若，则的大小为（ ）
A．150°B．148°C．140°D．138°
【答案】B
【分析】如图，先标注各点，先求解，再证明，最后利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，先标注各点，
由正六边形可得：，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查的是正多边形的内角和与外角和问题，平行线的性质，三角形的外角的性质，利用正多边形的外角的性质求解正多边形的每一个内角是解本题的关键．
4．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
【答案】A
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出的度数是多少，进而求出的度数即可．
【详解】解：正三角形的每个内角是：，
正方形的每个内角是：，
正五边形的每个内角是：
，
正六边形的每个内角是：
，
则
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
5． (2023秋·全国·八年级专题练习）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为的多边形，则n的值为（ ）
A．只能为13B．只能为14C．只能为15D．以上都不对
【答案】D
【分析】在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，则所得新的多边形的边可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：设一个内角和为的多边形的边数为，则
，解得．
在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，分三种情况：
①若新多边形的边增加一个，则的值为13；
②若新多边形的边不变，则的值为14；
③若新多边形的边减少一个，则的值为15．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，解题的关键是理解在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，则所得新的多边形的边可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个．
6． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，根据多边形的外角和等于，得 ,根据三角形外角的性质，得，那么．根据三角形内角和定理，得．
【详解】解：如图．
由题意得：，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键．
二、填空题
7． (2023秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）2021边形的外角和等于___________．
【答案】360°##360度
【分析】根据多边形外角和可直接进行求解．
【详解】解：2021边形的外角和等于360°；
故答案为360°．
【点睛】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和都为360°是解题的关键．
8． (2023秋·广东广州·八年级校考期末）一个正多边形的每一个外角都等于60°，则该正多边形的内角和等于___________度．
【答案】
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
【详解】解：正多边形的边数是：，
则正多边形的内角和是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
9． (2023秋·山西朔州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则_________．
【答案】##240度
【分析】根据多边形的内角和公式，是多边形的边数，即可求解．
【详解】解：四边形的内角和为，即，，
∴，
∵剪去后变成五边形，
∴五边形的内角和为，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，掌握多边形内角定理的运用是解题的关键．
10． (2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为，则该正多边形的内角和的度数为________．
【答案】##1800度
【分析】设正多边形的每个外角度数为x，则与它相邻的内角的度数为，根据邻补角的性质列出方程得到，再根据多边形的外角和为，得到出多边形的边数为12，最后利用多边形的内角和公式即可计算该正多边形的内角和的度数．
【详解】解：设正多边形的每个外角度数为x，则与它相邻的内角的度数为，
，
，
这个多边形的每个外角是，
该正多边形的边数为，
该正多边形的内角和的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了邻补角，多边形外角和，多边形内角和，解题关键是掌握多边形内角和公式和多边形外角和等于．
11． (2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_____度．
【答案】
【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
12． (2023秋·山东日照·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为____；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做_______条对角线．
【答案】 15，16或17
【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论；根据n边形，从一个顶点出发可以引条对角线解答即可．
【详解】设新多边形的边数为n，
则，
解得，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
所以多边形的边数可以为15，16或17．
从十五边形的一顶点出发，能作的对角线的条数为：（条）．
故答案为：15，16或17；12．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理、多边形的对角线，解题的关键在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1，有这么三种情况．
三、解答题
13． (2023秋·河北邯郸·八年级校联考期中）已知一个多边形的边数为n．
(1)若，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
【答案】(1)；
(2)12．
【分析】（1）把，代入多边形内角和公式求解即可．
（2）根据多边形内角和公式及多边形外角和为，列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）当时，，
∴这个多边形的内角和为．
（2）由题意，得，
解得．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，一元一次方程应用，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
14． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，的平分线交于点E．
(1)若，则＝ °；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)40°
【分析】（1）根据四边形内角和360°以及，可求．
（2）因为，所以，进而可求出，再根据平分可求出，然后利用四边形内角和可求出．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和四边形的内角和，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是本题的解题关键．
15． (2023春·八年级课时练习）如图，在六边形中，．
(1)求证：．
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据平行线的性质得到，再根据四边形内角和定理可证即可证明；
（2）先证明，再根据六边形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
16． (2023秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
【答案】探究一：；探究二：；探究三：
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解
探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．
【详解】解：探究一：∵，，
∴；
故答案为：；
探究二：∵分别平分和，
∴，，
∴
；
探究三：∵分别平分和，
∴，，
∴
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5802" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5802 \h 1
\l "_Tc15297" 【考点一 多边形内角和问题】 PAGEREF _Tc15297 \h 1
\l "_Tc20337" 【考点二 正多边形的内角问题】 PAGEREF _Tc20337 \h 2
\l "_Tc10740" 【考点三 多边形截角后的内角和问题】 PAGEREF _Tc10740 \h 3
\l "_Tc15975" 【考点四 正多边形的外角问题】 PAGEREF _Tc15975 \h 4
\l "_Tc9995" 【考点五 多边形外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc9995 \h 5
\l "_Tc1368" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1368 \h 8
【典型例题】
【考点一 多边形内角和问题】
例题： (2023秋·河南安阳·八年级统考期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．9D．8
【变式训练】
1． (2023秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
2． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．七边形C．六边形D．五边形
【考点二 正多边形的内角问题】
例题： (2023秋·全国·八年级专题练习）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形
【变式训练】
1． (2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．不确定
2． (2023秋·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期末）一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【考点三 多边形截角后的内角和问题】
例题： (2023秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11B．12，11，10C．8，9，10D．9，10
【变式训练】
1． (2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________．
2． (2023秋·全国·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为 ______________．
【考点四 正多边形的外角问题】
例题： (2023秋·天津西青·八年级校考期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为___，它的每一个外角等于___．
【变式训练】
1． (2023秋·山东滨州·八年级校考期末）一个正n边形的每个外角都为，则边数n为______．内角和度数为__________．
2． (2023秋·辽宁大连·八年级校考期末）已知一个正多边形的外角为20°，则这个多边形的边数为____．
【考点五 多边形外角和的实际应用】
例题： (2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10m后向左转40°，再沿直线前进10m后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了__________m．
【变式训练】
1． (2023秋·山东德州·八年级统考期中）小聪从点出发，先向前走20m，接着向左转30°，然后他继续再向前走20m，又向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他走回点时共走的路程是______．
2． (2023秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为________．
【考点六 多边形内角和与外角和综合】
例题： (2023秋·河南新乡·八年级校考期中）多边形的每一个内角都等于，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成_________个三角形．
【变式训练】
1． (2023春·八年级课时练习）（1）十二边形的内角和的度数是____________．
（2）一个多边形的内角和是它的外角和的5.5倍，这个多边形的边数是____________．
2． (2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，小明从点A出发沿直线前进8米到达点B后向左旋转角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，…照这样走下去，第一次回到出发地点A时，他共走了72米，则每次旋转的角度为___________度；小明所走路线形成的多边形的内角和为___________ 度．
【过关检测】
一、选择题
1． (2023秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．6D．7
2． (2023秋·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．8C．6D．4
3． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）如图，一束平行太阳光照射到正六边形上，若，则的大小为（ ）
A．150°B．148°C．140°D．138°
4．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
5． (2023秋·全国·八年级专题练习）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为的多边形，则n的值为（ ）
A．只能为13B．只能为14C．只能为15D．以上都不对
6． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7． (2023秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）2021边形的外角和等于___________．
8． (2023秋·广东广州·八年级校考期末）一个正多边形的每一个外角都等于60°，则该正多边形的内角和等于___________度．
9． (2023秋·山西朔州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则_________．
10． (2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为，则该正多边形的内角和的度数为________．
11． (2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_____度．
12． (2023秋·山东日照·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为____；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做_______条对角线．
三、解答题
13． (2023秋·河北邯郸·八年级校联考期中）已知一个多边形的边数为n．
(1)若，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
14． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，的平分线交于点E．
(1)若，则＝ °；
(2)若，求的大小．
15． (2023春·八年级课时练习）如图，在六边形中，．
(1)求证：．
(2)求的度数．
16． (2023秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
专题06 多边形的内角和与外角和压轴题五种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc5802" 【典型例题】 PAGEREF _Tc5802 \h 1
\l "_Tc15297" 【考点一 多边形内角和问题】 PAGEREF _Tc15297 \h 1
\l "_Tc20337" 【考点二 正多边形的内角问题】 PAGEREF _Tc20337 \h 2
\l "_Tc10740" 【考点三 多边形截角后的内角和问题】 PAGEREF _Tc10740 \h 3
\l "_Tc15975" 【考点四 正多边形的外角问题】 PAGEREF _Tc15975 \h 4
\l "_Tc9995" 【考点五 多边形外角和的实际应用】 PAGEREF _Tc9995 \h 5
\l "_Tc1368" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1368 \h 8
【典型例题】
【考点一 多边形内角和问题】
例题： (2023秋·河南安阳·八年级统考期中）一个多边形的内角和是，则这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．9D．8
【答案】D
【分析】n边形的内角和为，列出方程解出n的值即可．
【详解】解：多边形的内角和是，
，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了求n边形的内角和公式，解决本题的关键是熟记求n边形的内角和公式．
【变式训练】
1． (2023秋·全国·八年级专题练习）若一个多边形的内角和是，则此多边形的边数是（ ）
A．十二B．十C．八D．十四
【答案】B
【分析】根据多边形内角和公式，列方程求解即可，边形的内角和为．
【详解】解：设多边形的边数为，根据多边形内角和定理得：
，
解得：．
所以此多边形的边数为10边．
故选：B．
【点睛】此题考查了多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形内角和的公式．
2． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是（ ）
A．八边形B．七边形C．六边形D．五边形
【答案】C
【分析】设这个多边形是n边形，则它的内角和是，得到关于n的方程组，就可以求出边数n．
【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意知，
，
∴，
∴该多边形的边数是六边形．
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
【考点二 正多边形的内角问题】
例题： (2023秋·全国·八年级专题练习）一个正多边形的内角和是900度，则这个多边形是（ ）
A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形
【答案】B
【分析】根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于，列出方程，解出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
则有，
解得：，
这个多边形的边数为7．
故选：B．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
【变式训练】
1． (2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．不确定
【答案】B
【分析】n边形的内角和公式为，由此列方程求边数n．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则，
解得，
∴这个多边形的边数为5，
故选：B．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题关键在于熟练掌握公式．
2． (2023秋·广东广州·八年级广州市番禺区香江育才实验学校校考期末）一个正多边形的一个内角是一个外角的4倍，则正多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】设该正多边形的一个外角为x，根据正多边形的外角与相邻内角互补列方程求解x，再根据正多边形的外角相等且外角和为360°即可求解．
【详解】解：设该正多边形的一个外角为x，
根据题意，得，
解得：，
∴这个多边形的边数为，
故选：C．
【点睛】本题考查多边形的外角和和内角和，熟知正多边形的外角和相邻内角互补是解答的关键．
【考点三 多边形截角后的内角和问题】
例题： (2023秋·四川绵阳·八年级统考阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11B．12，11，10C．8，9，10D．9，10
【答案】A
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则，
解得：．
∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；
∴原来多边形的边数可能是9或10或11
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
【变式训练】
1． (2023秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）已知一个多边形被截取一个角后，内角和变为1620°，则原多边形的边数为________．
【答案】10或11或12
【分析】根据多边形的内角和公式，先计算出截取之后的边数，再进行分类讨论即可．
【详解】解：设截取后多边形的边数为n，
，解得：，
，．
故答案为：10或11或12．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式以及掌握一个多边形截取一个角后边的数量可能会增加一条，可能不变，也可能减少一条．
2． (2023秋·全国·八年级期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为 ______________．
【答案】5或6或7
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是n，
则，
解得：．
∵一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，
∴原多边形的边数可能为5或6或7．
故答案是：5或6或7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，知道一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变，是解题的关键．
【考点四 正多边形的外角问题】
例题： (2023秋·天津西青·八年级校考期中）若一个正多边形的内角和为1800°，则边数为___，它的每一个外角等于___．
【答案】 12 30°
【分析】根据题意求得正多边形的边数，进而求得答案
【详解】解：∵一个正多边形的内角和为1800°，即
∴
由
故答案为：
【点睛】本题考查了正多边形的内角和和外角和公式，根据内角和公式求得边数是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023秋·山东滨州·八年级校考期末）一个正n边形的每个外角都为，则边数n为______．内角和度数为__________．
【答案】 9 ##1260度
【分析】根据多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等，即可求出n的值，再根据多边形的内角和为，即可进行解答．
【详解】解：∵该正多边形的每个外角都为，
∴，
∴该多边形的内角和为：，
故答案为：9，．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和以及内角和，解题的关键是掌握多边形的外角和为，正多边形每个外角都相等；多边形的内角和为．
2． (2023秋·辽宁大连·八年级校考期末）已知一个正多边形的外角为20°，则这个多边形的边数为____．
【答案】18
【分析】先思考正多边形的外角和为360°，再根据一个外角为20°，即可求出正多边形的边数即可．
【详解】正多边形的边数是： ．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
【考点五 多边形外角和的实际应用】
例题： (2023秋·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10m后向左转40°，再沿直线前进10m后，又向左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，一共走了__________m．
【答案】90
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和为360度即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴他需要走9次才会回到原来的起点，即一共走了（米）．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．解题的关键是理解任何一个多边形的外角和都是360°．
【变式训练】
1． (2023秋·山东德州·八年级统考期中）小聪从点出发，先向前走20m，接着向左转30°，然后他继续再向前走20m，又向左转30°，他以同样的方法继续走下去，当他走回点时共走的路程是______．
【答案】240m##240米
【分析】根据题意，小聪走过的路是正多边形，先用360°除以30°求出边数，然后再乘以20米即可．
【详解】解：小聪每次都是走20m后向左转30°，
小聪走过的路线是正多边形，且正多边形的外角是30°，
正多边形的边数，
当他走回点时共走的路程是，
故答案为：240m．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都是360°．
2． (2023秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，某人从点A出发沿直线前进5m到达点B后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5m，到达点C后，又向左旋转α，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了60m，则每次旋转的角度α为________．
【答案】##30度
【分析】由题意可知此人的前行路线是一个正多边形，所求α为多边形的外角，首先求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和得到α的度数．
【详解】解：由题意得：正多边形的周长为60m，边长为5m
∴正多边形边数为，此人前行路线为正十二边形
∵多边形的外角和为，
∴
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正多边形外角和定理，解题关键是牢记多边形的外角和为．
【考点六 多边形内角和与外角和综合】
例题： (2023秋·河南新乡·八年级校考期中）多边形的每一个内角都等于，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成_________个三角形．
【答案】
【分析】已知多边形的每一个内角都等于，则外角为，根据多边形的外角和为，由此即可求出多边形的边数，再根据多边形的边数即可求解．
【详解】解：多边形的每一个内角都等于，
∴多边形的外角为，根据多边形外角和定理得，边数为，即多边形为五边形，
∴从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以将该多边形分成个三角形，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和与外角和综合，对角线知识，掌握多边形的外角和定理，对角线知识是解题的关键．
【变式训练】
1． (2023春·八年级课时练习）（1）十二边形的内角和的度数是____________．
（2）一个多边形的内角和是它的外角和的5.5倍，这个多边形的边数是____________．
【答案】 ##度 13
【分析】（1）根据多边形内角和公式进行求解即可；
（2）先根据多边形外角和为360度求出这个多边形的内角和，再根据多边形内角和公式进行求解即可
【详解】解：（1），
∴十二边形的内角和度数是，
故答案为：；
（2）∵一个多边形的内角和是它的外角和的5.5倍，
∴这个多边形的内角和为，
∴这个多边形的边数是，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和和外角和，熟知多边形内角和公式和多边形外角和为360度是解题的关键．
2． (2023秋·河北邢台·八年级校考阶段练习）如图，小明从点A出发沿直线前进8米到达点B后向左旋转角度，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，…照这样走下去，第一次回到出发地点A时，他共走了72米，则每次旋转的角度为___________度；小明所走路线形成的多边形的内角和为___________ 度．
【答案】 40
【分析】根据共走了72米，每前进8米左转一次可求得左转的次数，则已知多边形的边数，再根据外角和及内角和公式，计算左转的角度及内角和即可．
【详解】解：向左转的次数 (次)，
则左转的角度是，
这个多边形是9边形，
内角和为：
故答案是：40，1260．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理与内角和公式，熟练掌握和运用多边形的外角和定理与内角和公式是解决本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1． (2023秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数为（ ）
A．8B．9C．6D．7
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和公式，依此列方程可求解．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
则，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
2． (2023秋·福建龙岩·八年级校考期中）一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和等于外角和列方程解答即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则
，
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和公式及外角和是解题的关键．
3． (2023秋·广东江门·八年级统考期末）如图，一束平行太阳光照射到正六边形上，若，则的大小为（ ）
A．150°B．148°C．140°D．138°
【答案】B
【分析】如图，先标注各点，先求解，再证明，最后利用三角形的外角的性质可得答案．
【详解】解：如图，先标注各点，
由正六边形可得：，
∵，，
∴，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查的是正多边形的内角和与外角和问题，平行线的性质，三角形的外角的性质，利用正多边形的外角的性质求解正多边形的每一个内角是解本题的关键．
4．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠放在一起，则（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
【答案】A
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出的度数是多少，进而求出的度数即可．
【详解】解：正三角形的每个内角是：，
正方形的每个内角是：，
正五边形的每个内角是：
，
正六边形的每个内角是：
，
则
．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边形的内角和且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
5． (2023秋·全国·八年级专题练习）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为的多边形，则n的值为（ ）
A．只能为13B．只能为14C．只能为15D．以上都不对
【答案】D
【分析】在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，则所得新的多边形的边可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：设一个内角和为的多边形的边数为，则
，解得．
在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，分三种情况：
①若新多边形的边增加一个，则的值为13；
②若新多边形的边不变，则的值为14；
③若新多边形的边减少一个，则的值为15．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，解题的关键是理解在一个凸边形的纸板上切下一个三角形，则所得新的多边形的边可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个．
6． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，根据多边形的外角和等于，得 ,根据三角形外角的性质，得，那么．根据三角形内角和定理，得．
【详解】解：如图．
由题意得：，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键．
二、填空题
7． (2023秋·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）2021边形的外角和等于___________．
【答案】360°##360度
【分析】根据多边形外角和可直接进行求解．
【详解】解：2021边形的外角和等于360°；
故答案为360°．
【点睛】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和都为360°是解题的关键．
8． (2023秋·广东广州·八年级校考期末）一个正多边形的每一个外角都等于60°，则该正多边形的内角和等于___________度．
【答案】
【分析】根据多边形的外角和是360度，每个外角都相等，即可求得多边形的边数，根据内角和定理即可求得内角和．
【详解】解：正多边形的边数是：，
则正多边形的内角和是：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化，因而把求多边形内角的计算转化为外角的计算，可以使计算简便．
9． (2023秋·山西朔州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，若沿图中虚线剪去，则_________．
【答案】##240度
【分析】根据多边形的内角和公式，是多边形的边数，即可求解．
【详解】解：四边形的内角和为，即，，
∴，
∵剪去后变成五边形，
∴五边形的内角和为，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多边形内角和定理，掌握多边形内角定理的运用是解题的关键．
10． (2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）若一个正多边形的外角与其相邻的内角之比为，则该正多边形的内角和的度数为________．
【答案】##1800度
【分析】设正多边形的每个外角度数为x，则与它相邻的内角的度数为，根据邻补角的性质列出方程得到，再根据多边形的外角和为，得到出多边形的边数为12，最后利用多边形的内角和公式即可计算该正多边形的内角和的度数．
【详解】解：设正多边形的每个外角度数为x，则与它相邻的内角的度数为，
，
，
这个多边形的每个外角是，
该正多边形的边数为，
该正多边形的内角和的度数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了邻补角，多边形外角和，多边形内角和，解题关键是掌握多边形内角和公式和多边形外角和等于．
11． (2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则_____度．
【答案】
【分析】根据正五边形的性质求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∵是的外角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
12． (2023秋·山东日照·八年级统考期中）一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，则原多边形边数为____；其中边数最少的原多边形从一顶点出发，能做_______条对角线．
【答案】 15，16或17
【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1三种情况进行讨论；根据n边形，从一个顶点出发可以引条对角线解答即可．
【详解】设新多边形的边数为n，
则，
解得，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
所以多边形的边数可以为15，16或17．
从十五边形的一顶点出发，能作的对角线的条数为：（条）．
故答案为：15，16或17；12．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理、多边形的对角线，解题的关键在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多1，少1，有这么三种情况．
三、解答题
13． (2023秋·河北邯郸·八年级校联考期中）已知一个多边形的边数为n．
(1)若，求这个多边形的内角和；
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的外角和多，求n的值．
【答案】(1)；
(2)12．
【分析】（1）把，代入多边形内角和公式求解即可．
（2）根据多边形内角和公式及多边形外角和为，列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）当时，，
∴这个多边形的内角和为．
（2）由题意，得，
解得．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，一元一次方程应用，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
14． (2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形中，，的平分线交于点E．
(1)若，则＝ °；
(2)若，求的大小．
【答案】(1)
(2)40°
【分析】（1）根据四边形内角和360°以及，可求．
（2）因为，所以，进而可求出，再根据平分可求出，然后利用四边形内角和可求出．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和四边形的内角和，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是本题的解题关键．
15． (2023春·八年级课时练习）如图，在六边形中，．
(1)求证：．
(2)求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接，根据平行线的性质得到，再根据四边形内角和定理可证即可证明；
（2）先证明，再根据六边形内角和定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，平行线的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
16． (2023秋·天津河西·八年级统考期中）探究一：已知：如图1，与分别为的两个外角．
试探究与的数量关系_____(即列出一个含有，，的等式，直接写出答案即可)；
探究二：已知：如图2，在中，分别平分和，求：与的数量关系；
探究三：若将探究2中的改为任意四边形呢？
即：如图3，在四边形中，分别平分和，试利用上述结论探究与的数量关系．
【答案】探究一：；探究二：；探究三：
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解
探究三：根据四边形的内角和定理表示出，然后同理探究二解答即可．
【详解】解：探究一：∵，，
∴；
故答案为：；
探究二：∵分别平分和，
∴，，
∴
；
探究三：∵分别平分和，
∴，，
∴
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用三角形内角和定理解决问题．
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