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中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题10最值模型-胡不归问题(原卷版+解析)
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这是一份中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题10最值模型-胡不归问题(原卷版+解析)，共48页。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1． (2023·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
例2． (2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
例3． (2023·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
例4． (2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
例5． (2023·资阳市·中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．
例6． (2023·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．
例7． (2023·四川成都·中考模拟）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
课后专项训练
1． (2023·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
2． (2023·江苏·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（ ）
A． B． C．D．
3． (2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
4． (2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为
A．4B．5C．D．
5． (2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
6． (2023·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为 ．
7． (2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
8． (2023·成都市七中育才九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
9． (2023·四川自贡·一模）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．
10． (2023·广东·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
(1)求直线BC解析式．(2)如图①，求OP＋PA的和取最小值时点P的坐标．
(3)如图②，求AQ＋QP的最小值．(4)如图③，求AQQC的最小值．
11． (2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
12． (2023·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
13． (2023·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
14． (2023·广西·南宁三中一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
15． (2023·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．①求的最小值及取得最小值时点的坐标；
②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值．
16． (2023·天津·中考模拟）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
专题10 最值模型---胡不归问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11），记，即求BC+kAC的最小值.
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1． (2023·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
例2． (2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．
【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，
，，， ，
，，，，
当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，
当，，三点共线时，有最小值，此时，
的最小值为，故答案为．
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．
例3． (2023·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
例4． (2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，
∴，∴，∴直线PD的解析式为；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，
∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，
∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，
∴的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
例5． (2023·资阳市·中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；
（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．
【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，
解得，则抛物线的解析式为；
（2）对于二次函数，当时，，解得或，，
设点的坐标为，点的坐标为，
，，解得，
，设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，则直线的解析式为，
将点代入得：，解得或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，点的坐标为或；
（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，
，，解得，，
则平移后的二次函数的解析式为，
设直线的解析式为，将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，
，轴，，
，
由两点之间线段最短得：的最小值为，
由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，
则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，
则，，．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．
例6． (2023·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．
【答案】（1）-2，2，-3，；（2）4或6；（3）3
【分析】（1）由题意可知直线经过，因而把代入直线即可求出k的值，然后把代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E，并代入直线，解方程即可求出b的值，代入即可求解；
（2）将点D的横坐标代入抛物线（b，c为常数，），根据点A的坐标得到含b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，取点，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，在Rt△MDH中，可知，由题意可知点，用含b的代数式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线经过，
∴把代入直线，可得，解得；
∵抛物线（b，c为常数，）经过，
∴把代入抛物线，可得，
∵当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴顶点的坐标为，把代入直线，
可得，∴，解得，
∵，∴，∴，∴顶点的坐标为．
（2）∵点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为，
∴，∵在抛物线（b，c为常数，）上，
∴，即，∴，
可知点D在第四象限，且在直线的右侧．
∵，∴可取点，
如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，∴，得，
则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，
在Rt△MDH中，可知，∴，
∵点，∴，解得：，
∵，∴，∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．
例7． (2023·四川成都·中考模拟）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【答案】（1）；（2）或；（3）F．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
解：（1）抛物线，令，解得或，，．
直线经过点，，解得，
直线解析式为：．当时，，，．
点，在抛物线上，，．
抛物线的函数表达式为：．即．
（2）由抛物线解析式，令，得，，．
因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是或．
①若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，即，解得：．
②若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，，解得，
，，综上所述，或．
（3）方法一：如答图3，由（1）知：，，
如答图，过点作轴于点，则，，，
，．
过点作轴，则．过点作于点，则．
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．
点横坐标为，直线解析式为：，
，，．
综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．
方法二：作，，交直线于点，
，，，
当且仅当时，最小，
点在整个运动中用时为：，
，，
【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．
课后专项训练
1． (2023·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：如图，
在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP
当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cs30°＝．
∴AP+PB的最小值是．故选：B．
2． (2023·江苏·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝OP＝∴GH最小值为故选：C．
3． (2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
设，则,∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
4． (2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为
A．4B．5C．D．
解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．
四边形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：．
5． (2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
6． (2023·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为 ．
【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H，
∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°，
设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，
∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，
AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5．
7． (2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
8． (2023·成都市七中育才九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
【答案】##
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，
∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，
即AP+PC的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
9． (2023·四川自贡·一模）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．
∵，∴，∵，
设，， ∴，∴，
∴或（舍弃），∴，
∵，，，∴（等腰三角形两腰上的高相等）
∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为,故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
10． (2023·广东·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
(1)求直线BC解析式．(2)如图①，求OP＋PA的和取最小值时点P的坐标．
(3)如图②，求AQ＋QP的最小值．(4)如图③，求AQQC的最小值．
【答案】(1)(2)（，）(3)(4)
【分析】（1）先求B，C的坐标，然后根据待定系数法即可求解；
（2）设点O关于直线BC的对称点为D，连接CD，PD，BD，AD，先判断四边形OCDB为正方形，即可求点D坐标，然后根据待定系数法求出直线AD解析式，最后与直线BC解析式联立方程组即可求出点P的坐标；（3）设A关于y轴的对称点为（－1，0），连接，则可得当，Q，P三点共线，且时，AQ＋PQ最小，然后在中求出即可得出结论；
（4）在x轴负半轴上找点G，使得∠GCO＝30°，作QH⊥CG于H，则可得当A，Q，H三点共线，且AH⊥CG时，，然后解Rt△AHG即可求解．
（1）解：当y＝0时，，解得，，
∴A（1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），
设直线BC解析式为y＝kx＋b，，
则，解得，∴直线BC解析式；
（2）解：设点O关于直线BC的对称点为D，连接CD，PD，BD，AD，
∵B（3，0），C（0，3），∴BO＝CO＝3，
又∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
由对称性可知，，
∴∠DCB＝∠OCB＝45°，∠CDB＝∠COB＝90°，CO＝CD，OP＝PD，
∴∠OCD＝90°，∴四边形OCDB为正方形，∴D坐标为（3，3），
又A（1，0），∴AB＝2，BD＝3，
∴AD＝，
又OP＋PA＝DP＋PA≥AD，∴OP＋PA≥
当D，P，A三点共线时，OP＋PA＝，
设直线AD解析式为y＝mx＋n，
则，解得，∴直线AD解析式为，
联立方程组，解得，∴点P坐标为（，）
∴当P坐标为（，）时，OP＋PA的和取最小值；
（3）解：设A关于y轴的对称点为（－1，0），如图，连接，
则AQ＋QP＝，当，Q，P三点共线，且时，AQ＋PQ最小，
在中，∠OBP＝45°，∴，∴AQ＋QP的最小值为；
（4）解：如图，在x轴负半轴上找点G，使得∠GCO＝30°，作QH⊥CG于H，
∴，∴，
∴当A，Q，H三点共线，且AH⊥CG时，，
∵CO＝3，∠COG＝90°，∠GCO＝30°，
∴GO＝，∠CGO＝60°，∴，
当AH⊥CG时，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、正方形的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、解直角三角形等知识，添加合适的辅助线，运用以上知识解答是解题的关键．
11． (2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．抛物线的解析式为
联立，解得：或，点的坐标为．
如图1．，，，，，，
，是直角三角形，，；
（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，①如图2①，当时，则．
，，
，．．
则．把代入，得
，整理得：解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得，
整理得：解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．
②当时，则．同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；
方法二：作的“外接矩形” ，易证，，
以，，为顶点的三角形与相似，或，
设，，，
①，，，，
②，，，（舍，
满足题意的点的坐标为、，、，；
（2）方法一：过点作轴于，如图3．
在中，，即，
点在整个运动中所用的时间为．
作点关于的对称点，连接，
则有，，，
，．根据两点之间线段最短可得：
当、、三点共线时，最小．
此时，，四边形是矩形，
，．对于，
当时，有，解得：，．，，
，，点的坐标为．
方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，
作轴，垂足为，交直线于点，如图4，
在中，，即，
当、、三点共线时，最小，
，，，，，
，，，，，，
为的中点，，，．
方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．
，，．，，，
，．．
当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：
，
抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为
则点横坐标为2，将代入，得．所以．
12． (2023·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，∴，又∵，∴，即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，∴ 解得
即直线的解析式为 ，设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积 ∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，∴，
过点作于，则在中，，
∴，再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，∵，
又∵，∴，即，∴的最小值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．
13． (2023·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】解：（1）∵过，
∴∴，∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵对称轴．∴， ，
∴，∴ ∴
∴ 当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，， ∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，联立得 是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,
,也是等腰直角三角形 设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设 ，则
整理得： 解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
， 综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
14． (2023·广西·南宁三中一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）把点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论；
（2）由条件可得BE•DE=OE•EM，设D(a，-x2−x+1)，则可表示BE、DE、OE、EM的长，得到关于a的方程，解方程可求出D点的坐标，求出AE、DE长，则sin∠DAE的值可求；
（3）作D关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AD于点H，交轴于点P，则∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
【详解】解：（1）把点，点代入得
，解得，∴二次函数的表达式为；
（2）∵二次函数的表达式为，令，得，∴点的坐标为．
设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为．
∵轴，∴，．
∵，∴．设，则，
∴，，，，
∴，解得，（舍去），（舍去）， ∴，
∴，，∴，
∴；
（3）如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，则，
∵，∴，∴，
∴，由垂线段最短可知此时长度最小，
∵，∴，∴，
∴，∴的最小值为．
【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，以及解直角三角形的知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
15． (2023·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．①求的最小值及取得最小值时点的坐标；
②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值．
【答案】（1）；（2）①最小值为，点坐标为；
②，当时，最大值．
【分析】（1）函数对称轴为x=1，则点B（3，0），用交点式表达式得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；（2）①连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，交DF于点P，AP+PD=AP+PD，此时AP+PD=AH最小，即可求解；②根据题意，可分为0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤4三种情况，分别求解，即可得到答案．
【详解】解：（1）二次函数对称轴为，点坐标为，则点坐标为．
又∵点坐标，则，解得：，∴函数表达式为；
（2）①连接∵∴ 在中，依勾股定理得：
∴
过点作于点，交抛物线对称轴于点
则 则
依“垂线段最短”得此时长度为最小值， 即最小值为的长度，
∵ 则，
即最小值为． 点坐标为．
②A．当时，如图
依图知：则：
化简得：配方得：
根据自变量取值范围，当时，最大值4
B．当时，如图：四边形
整理得： 配方得： 即时，最大值
C．当时，如图： 根据自变量取值范围，当时，最大值
综上，，当时，最大值．
【点睛】本题考查的二次函数综合应用，解直角三角形，轴对称的性质，求二次函数的解析式和二次函数的最值，勾股定理，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行分析.
16． (2023·天津·中考模拟）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）AB＝8
【解析】（1）连接OC，如图，
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，
由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝ OC，
∴OC＝ h，∴AB＝2OC＝ h；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，
则∠AOF＝∠COF＝ ∠AOC＝ （180°﹣60°）＝60°．
∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．
过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝ DC，
∴CD＋OD＝DH＋FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，
此时FH＝OF•sin∠FOH＝ OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．
∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1． (2023·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
例2． (2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
例3． (2023·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
例4． (2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
例5． (2023·资阳市·中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．
例6． (2023·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．
例7． (2023·四川成都·中考模拟）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
课后专项训练
1． (2023·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
2． (2023·江苏·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（ ）
A． B． C．D．
3． (2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
4． (2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为
A．4B．5C．D．
5． (2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
6． (2023·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为 ．
7． (2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
8． (2023·成都市七中育才九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
9． (2023·四川自贡·一模）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．
10． (2023·广东·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
(1)求直线BC解析式．(2)如图①，求OP＋PA的和取最小值时点P的坐标．
(3)如图②，求AQ＋QP的最小值．(4)如图③，求AQQC的最小值．
11． (2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
12． (2023·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
13． (2023·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
14． (2023·广西·南宁三中一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
15． (2023·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．①求的最小值及取得最小值时点的坐标；
②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值．
16． (2023·天津·中考模拟）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
专题10 最值模型---胡不归问题
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，可将胡不归问题看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决胡不归问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1
2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值.
3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
例1． (2023·内蒙古·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此时PA+2PB＝2＝＝2BF，通过解直角三角形ABF，进一步求得结果．
【详解】解：如图，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此时PA+2PB最小，∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB•sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角直角三角形，解题的关键是作辅助线．
例2． (2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．
【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，
，，， ，
，，，，
当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，
当，，三点共线时，有最小值，此时，
的最小值为，故答案为．
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．
例3． (2023·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH
【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此时得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键.
例4． (2023·山东淄博·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此时点P的坐标为（0，-2），设直线PD的解析式为，
∴，∴，∴直线PD的解析式为；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，
∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，由轴对称的性质可知AP=GP，∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，∴由勾股定理得，
∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，
∴的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
例5． (2023·资阳市·中考真题）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，与相交于点E，当时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿方向平移，使点D落在点处，且，点M是平移后所得抛物线上位于左侧的一点，轴交直线于点N，连结．当的值最小时，求的长．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据可得点的坐标，代入直线的解析式求解即可得；
（3）先根据求出点的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点的坐标，从而可得点的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得．
【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，
解得，则抛物线的解析式为；
（2）对于二次函数，当时，，解得或，，
设点的坐标为，点的坐标为，
，，解得，
，设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，则直线的解析式为，
将点代入得：，解得或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，点的坐标为或；
（3）二次函数的顶点坐标为，设点的坐标为，
，，解得，，
则平移后的二次函数的解析式为，
设直线的解析式为，将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
如图，连接，过点作于点，过点作于点，交于点，连接，
，轴，，
，
由两点之间线段最短得：的最小值为，
由垂线段最短得：当点与点重合时，取得最小值，此时点与点重合，
则点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，解得，
则，，．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键．
例6． (2023·湖南·中考真题）已知直线与抛物线（b，c为常数，）的一个交点为，点是x轴正半轴上的动点．（1）当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为，当的最小值多时，求b的值．
【答案】（1）-2，2，-3，；（2）4或6；（3）3
【分析】（1）由题意可知直线经过，因而把代入直线即可求出k的值，然后把代入抛物线得出含b的代数式表达c，再根据直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点得出抛物线的顶点坐标E，并代入直线，解方程即可求出b的值，代入即可求解；
（2）将点D的横坐标代入抛物线（b，c为常数，），根据点A的坐标得到含b的代数式表达c，求出点D的纵坐标为，可知点D在第四象限，且在直线的右侧，取点，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，在Rt△MDH中，可知，由题意可知点，用含b的代数式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线经过，
∴把代入直线，可得，解得；
∵抛物线（b，c为常数，）经过，
∴把代入抛物线，可得，
∵当直线与抛物线（b，c为常数，）的另一个交点为该抛物线的顶点E，
∴顶点的坐标为，把代入直线，
可得，∴，解得，
∵，∴，∴，∴顶点的坐标为．
（2）∵点D在抛物线（b，c为常数，）上，且点D的横坐标为，
∴，∵在抛物线（b，c为常数，）上，
∴，即，∴，
可知点D在第四象限，且在直线的右侧．
∵，∴可取点，
如图2，过点D作直线AN的垂线，垂足为G，DG与x轴相交于点M，∴，得，
则此时点M满足题意，过点D作QH⊥x轴于点H，则点H，
在Rt△MDH中，可知，∴，
∵点，∴，解得：，
∵，∴，∴．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点，解题的关键是学会使用待定系数法求出抛物线的解析式．
例7． (2023·四川成都·中考模拟）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
（1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？
【答案】（1）；（2）或；（3）F．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可．
解：（1）抛物线，令，解得或，，．
直线经过点，，解得，
直线解析式为：．当时，，，．
点，在抛物线上，，．
抛物线的函数表达式为：．即．
（2）由抛物线解析式，令，得，，．
因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是或．
①若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，即，解得：．
②若，则有，如答图所示．
设，过点作轴于点，则，．
，即：，．
，代入抛物线解析式，
得，整理得：，
解得：或（与点重合，舍去），．
，，，解得，
，，综上所述，或．
（3）方法一：如答图3，由（1）知：，，
如答图，过点作轴于点，则，，，
，．
过点作轴，则．过点作于点，则．
由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：，
，即运动的时间值等于折线的长度值．
由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段．
过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点．
点横坐标为，直线解析式为：，
，，．
综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少．
方法二：作，，交直线于点，
，，，
当且仅当时，最小，
点在整个运动中用时为：，
，，
【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用．
课后专项训练
1． (2023·河北·九年级期中）如图，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：如图，
在△ABC内作∠MBA＝30°过点A作AE⊥BM于点E，BM交AC于点P，
∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP
当BP⊥AE时，则AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的长，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB•cs30°＝．
∴AP+PB的最小值是．故选：B．
2． (2023·江苏·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G∴∠AGC＝90°∵O为AC中点∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝OP＝∴GH最小值为故选：C．
3． (2023·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
设，则,∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
4． (2023·重庆·九年级期中）如图所示，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值为
A．4B．5C．D．
解：如图，过点作于点，过点作于点，连接交于点．
四边形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值为4，故选：．
5． (2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
6． (2023·湖南·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD为等边三角形点E为△BCD围成的区域（包括各边）的一点过点E作EM∥AB，交直线AC于点M作EN∥AC交直线AB于点N，则AN+AM的最大值为 ．
【解答】解：过E作EH⊥AC交AC的延长线于点H，
∵EN∥AC，EM∥AB，∴四边形ANEM是平行四边形，∠HME＝∠A＝60°，
设EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，
∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，当E在点D时，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，
AN+AM的最大值为7.5，故答案为：7.5．
7． (2023·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
8． (2023·成都市七中育才九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
【答案】##
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，
∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，
即AP+PC的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
9． (2023·四川自贡·一模）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是__________．
【答案】
【分析】过点D作于，过点C作于，首先通过勾股定理及求出AE,BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值．
【详解】解：如图，过点D作于，过点C作于．
∵，∴，∵，
设，， ∴，∴，
∴或（舍弃），∴，
∵，，，∴（等腰三角形两腰上的高相等）
∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴的最小值为,故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．
10． (2023·广东·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是直线BC上的动点，点Q是线段OC上的动点．
(1)求直线BC解析式．(2)如图①，求OP＋PA的和取最小值时点P的坐标．
(3)如图②，求AQ＋QP的最小值．(4)如图③，求AQQC的最小值．
【答案】(1)(2)（，）(3)(4)
【分析】（1）先求B，C的坐标，然后根据待定系数法即可求解；
（2）设点O关于直线BC的对称点为D，连接CD，PD，BD，AD，先判断四边形OCDB为正方形，即可求点D坐标，然后根据待定系数法求出直线AD解析式，最后与直线BC解析式联立方程组即可求出点P的坐标；（3）设A关于y轴的对称点为（－1，0），连接，则可得当，Q，P三点共线，且时，AQ＋PQ最小，然后在中求出即可得出结论；
（4）在x轴负半轴上找点G，使得∠GCO＝30°，作QH⊥CG于H，则可得当A，Q，H三点共线，且AH⊥CG时，，然后解Rt△AHG即可求解．
（1）解：当y＝0时，，解得，，
∴A（1，0），B（3，0），当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），
设直线BC解析式为y＝kx＋b，，
则，解得，∴直线BC解析式；
（2）解：设点O关于直线BC的对称点为D，连接CD，PD，BD，AD，
∵B（3，0），C（0，3），∴BO＝CO＝3，
又∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
由对称性可知，，
∴∠DCB＝∠OCB＝45°，∠CDB＝∠COB＝90°，CO＝CD，OP＝PD，
∴∠OCD＝90°，∴四边形OCDB为正方形，∴D坐标为（3，3），
又A（1，0），∴AB＝2，BD＝3，
∴AD＝，
又OP＋PA＝DP＋PA≥AD，∴OP＋PA≥
当D，P，A三点共线时，OP＋PA＝，
设直线AD解析式为y＝mx＋n，
则，解得，∴直线AD解析式为，
联立方程组，解得，∴点P坐标为（，）
∴当P坐标为（，）时，OP＋PA的和取最小值；
（3）解：设A关于y轴的对称点为（－1，0），如图，连接，
则AQ＋QP＝，当，Q，P三点共线，且时，AQ＋PQ最小，
在中，∠OBP＝45°，∴，∴AQ＋QP的最小值为；
（4）解：如图，在x轴负半轴上找点G，使得∠GCO＝30°，作QH⊥CG于H，
∴，∴，
∴当A，Q，H三点共线，且AH⊥CG时，，
∵CO＝3，∠COG＝90°，∠GCO＝30°，
∴GO＝，∠CGO＝60°，∴，
当AH⊥CG时，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题、正方形的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、解直角三角形等知识，添加合适的辅助线，运用以上知识解答是解题的关键．
11． (2023·江苏·中考模拟）如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？
解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．抛物线的解析式为
联立，解得：或，点的坐标为．
如图1．，，，，，，
，是直角三角形，，；
（Ⅱ）方法一：（1）存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似．
过点作轴于，则．
设点的横坐标为，由在轴右侧可得，则．
，，．
若点在点的下方，①如图2①，当时，则．
，，
，．．
则．把代入，得
，整理得：解得：（舍去），（舍去）．
②如图2②，当时，则．
同理可得：，则，
把代入，得，
整理得：解得：（舍去），，，；
若点在点的上方，①当时，则，同理可得：点的坐标为．
②当时，则．同理可得：点的坐标为，．
综上所述：满足条件的点的坐标为、，、，；
方法二：作的“外接矩形” ，易证，，
以，，为顶点的三角形与相似，或，
设，，，
①，，，，
②，，，（舍，
满足题意的点的坐标为、，、，；
（2）方法一：过点作轴于，如图3．
在中，，即，
点在整个运动中所用的时间为．
作点关于的对称点，连接，
则有，，，
，．根据两点之间线段最短可得：
当、、三点共线时，最小．
此时，，四边形是矩形，
，．对于，
当时，有，解得：，．，，
，，点的坐标为．
方法二：作点关于的对称点，交于点，显然，
作轴，垂足为，交直线于点，如图4，
在中，，即，
当、、三点共线时，最小，
，，，，，
，，，，，，
为的中点，，，．
方法三：如图，5，过作射线轴，过作射线轴，与交于点．
，，．，，，
，．．
当且仅当时，取得最小值，点在整个运动中用时最少为：
，
抛物线的解析式为，且，可求得点坐标为
则点横坐标为2，将代入，得．所以．
12． (2023·四川乐山市·中考真题）已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．（1）求抛物线的解析式；（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；②连结，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）先函数图象与x轴交点求出D点坐标，再由求出C点坐标，用待定系数法设交点式，将C点坐标代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式，设E坐标为，则F点坐标为，进而用t表示出的面积，由二次函数性质即可求出最大值；
②过点作于，由可得，由此可知当BPH三点共线时的值最小，即过点作于点，
线段的长就是的最小值，根据面积法求高即可．
【详解】解：（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，
∵是抛物线的对称轴，∴，又∵，∴，即，
代入抛物线的解析式，得，解得 ，
∴二次函数的解析式为 或；
（2）①设直线的解析式为 ，∴ 解得
即直线的解析式为 ，设E坐标为，则F点坐标为，
∴，
∴的面积 ∴，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，连接，根据图形的对称性可知 ，，∴，
过点作于，则在中，，
∴，再过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，∵，
又∵，∴，即，∴的最小值为．
【点睛】此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及了待定系数法求解析式和三角形的面积最大值求法、线段和的最值问题．解（1）关键是利用三角函数求出C点坐标，解（2）关键是由点E、F坐标表示线段EF长，从而得到三角形面积的函数解析式，解（3）的难点是将的最小值转化为点B到AC的距离．
13． (2023·四川达州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值．（3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的横坐标分别为：2，，或．
【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式，设解析式为将，两点代入求得，c的值即可；（2）胡不归问题，要求的值，将折线化为直线，构造相似三角形将转化为，再利用三角形两边之和大于第三边求得最值；（3）分2种情形讨论：①AB为矩形的一条边，利用等腰直角三角形三角形的性质可以求得N点的坐标;
②AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,RN=AB,利用两点距离公式求解方程可得N点的坐标．
【详解】解：（1）∵过，
∴∴，∴抛物线的解析式为：
（2）在上取一点，使得，连接，
∵对称轴．∴， ，
∴，∴ ∴
∴ 当，，三点在同一点直线上时，最小为．
在中，， ∴
即最小值为．
（3）情形①如图，AB为矩形的一条边时，联立得 是等腰，
分别过 两点作的垂线，交于点，
过作轴，轴,
,也是等腰直角三角形 设，则，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
同理，设，则 ，所以
代入，解得,（不符题意，舍）
② AB为矩形的对角线，设R为AB的中点,则
，
设 ，则
整理得： 解得：（不符题意，舍），（不符题意，舍），
， 综上所述：点的横坐标分别为：2，，或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函数与一次函数交点，矩形的性质，等腰直角三角形性质，平面直角坐标系中两点距离计算等知识，能正确做出辅助线，找到相似三角形是解题的关键．
14． (2023·广西·南宁三中一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）把点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论；
（2）由条件可得BE•DE=OE•EM，设D(a，-x2−x+1)，则可表示BE、DE、OE、EM的长，得到关于a的方程，解方程可求出D点的坐标，求出AE、DE长，则sin∠DAE的值可求；
（3）作D关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AD于点H，交轴于点P，则∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
【详解】解：（1）把点，点代入得
，解得，∴二次函数的表达式为；
（2）∵二次函数的表达式为，令，得，∴点的坐标为．
设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为．
∵轴，∴，．
∵，∴．设，则，
∴，，，，
∴，解得，（舍去），（舍去）， ∴，
∴，，∴，
∴；
（3）如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，则，
∵，∴，∴，
∴，由垂线段最短可知此时长度最小，
∵，∴，∴，
∴，∴的最小值为．
【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，以及解直角三角形的知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
15． (2023·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．①求的最小值及取得最小值时点的坐标；
②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值．
【答案】（1）；（2）①最小值为，点坐标为；
②，当时，最大值．
【分析】（1）函数对称轴为x=1，则点B（3，0），用交点式表达式得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；（2）①连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，交DF于点P，AP+PD=AP+PD，此时AP+PD=AH最小，即可求解；②根据题意，可分为0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤4三种情况，分别求解，即可得到答案．
【详解】解：（1）二次函数对称轴为，点坐标为，则点坐标为．
又∵点坐标，则，解得：，∴函数表达式为；
（2）①连接∵∴ 在中，依勾股定理得：
∴
过点作于点，交抛物线对称轴于点
则 则
依“垂线段最短”得此时长度为最小值， 即最小值为的长度，
∵ 则，
即最小值为． 点坐标为．
②A．当时，如图
依图知：则：
化简得：配方得：
根据自变量取值范围，当时，最大值4
B．当时，如图：四边形
整理得： 配方得： 即时，最大值
C．当时，如图： 根据自变量取值范围，当时，最大值
综上，，当时，最大值．
【点睛】本题考查的二次函数综合应用，解直角三角形，轴对称的性质，求二次函数的解析式和二次函数的最值，勾股定理，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行分析.
16． (2023·天津·中考模拟）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）证明：CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）AB＝8
【解析】（1）连接OC，如图，
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，
由题可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，∴h＝OC•sin60°＝ OC，
∴OC＝ h，∴AB＝2OC＝ h；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，
则∠AOF＝∠COF＝ ∠AOC＝ （180°﹣60°）＝60°．
∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．
过点D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝ DC，
∴CD＋OD＝DH＋FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，
此时FH＝OF•sin∠FOH＝ OF＝6，则OF＝4，AB＝2OF＝8．
∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为8．
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