还剩21页未读，
继续阅读
所属成套资源：中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练(原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
- 中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题04一元二次方程根的判别式的应用及根与系数的关系的应用(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题05函数图像信息题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题09二次函数抛物线与三角形存在性问题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题10二次函数与平行四边形含矩形菱形正方形的存在性问题(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
- 中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题11反比例函数与一次函数二次函数的综合运用(原卷版+解析) 试卷 0 次下载
中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题08一次函数与反比例函数的实际应用(原卷版+解析)
展开
这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题08一次函数与反比例函数的实际应用(原卷版+解析)，共24页。试卷主要包含了一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，一次函数与反比例函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。
（1）方案选择问题
1． (2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
2． (2023•东莞市校级二模）某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
（1）求a的值；
（2）结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
（3）通过计算，写出当月主叫通话时间y（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
最大利润问题
3． (2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
4．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
（1）请你设计出进货方案；
（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
（3）行程问题
5． (2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
6． (2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
类型二 反比例函数的实际应用
7． (2023•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
8． (2023•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
类型三 一次函数与反比例函数的综合运用
9． (2023•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值．
（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．
10． (2023秋•东平县校级月考）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待 min？
专题提优训练
1． (2023•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
4． (2023•鄂州一模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
4． (2023春•孝感期末）民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如表，
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．
①问共有多少种购进方案？
②直接写出总利润的最大值（总利润＝总销售额﹣总进货费用）．
商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
专题08 一次函数与反比例函数的实际应用（解析版）
类型一 一次函数的实际应用
（1）方案选择问题
1． (2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
思路引领：（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可．
解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得10a+5b=10005a+3b=550，
解得a=50b=100，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
总结提升：本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两种纪念品的单价是关键．
2． (2023•东莞市校级二模）某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
（1）求a的值；
（2）结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
（3）通过计算，写出当月主叫通话时间y（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
思路引领：（1）利用待定系数法可求出BC的解析式，再根据“方式一”的计费方式，也可求得BC的解析式，比较系数即可．
（2）根据两种计费方式可求出射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式．
（3）根据（2）所求即可得出结论．
解：（1）由题图可知，M（350，100），
设BC所在直线为y＝kt+b，
把B（150，60），M（350，100）代入，
得：150k+b=60350k+b=100，
解得：k=15b=30．
∴y=15t+30（t≥150）．
当t＞150时，y＝a（t﹣150）+60＝at+60﹣150a，
∴a＝0.2．
（2）由（1）可知射线BC对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，
y1＝0.2t+30，t≥150min，
又∵方式二中超过限定时间的部分0.25元/分钟，
∴y2＝0.25（t﹣380）+100＝0.25t+5．
∴射线EF对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，
y2＝0.25t+5，t≥380min．
（3）①0≤t≤150min时，y1＝60＜y2＝100；
②150≤t≤350min时，y1＝0.2t+30＜y2＝100；
③t≥500min时，y1＝0.2t+30＜y2＝0.25t+5．
综上所述，通话时间0≤t≤350min或t≥500min时，方式一省钱．
总结提升：考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
最大利润问题
3． (2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
思路引领：（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．
解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，2000k+b=300004000k+b=56000，
解得k=13b=4000，
∴y＝13x+4000．
∴y=15x(0≤x≤2000)13x+4000(x＞2000)．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w=−x+24000(1600≤x≤2000)x+20000(2000＜x≤4000)；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
4．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
（1）请你设计出进货方案；
（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
思路引领：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，根据总进价不超过105700元和销售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可；
（2）根据利润等于售价﹣进价的数量关系分别表示出购买A型电脑的利润和B型电脑的利润就求其和就可以得出结论．
解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，由题意，得
2500x+2800(40−x)≤1057003000x+3200(40−x)≥123200，
解得：21≤x≤24，
∵x为整数，
∴x＝21，22，23，24
∴有4种购买方案：
方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；
方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
（2）由题意，得
y＝（3000﹣2500）x+（3200﹣2800）（40﹣x），
＝500x+16000﹣400x，
＝100x+16000．
∵k＝100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝24时，y最大＝18400元．
答：采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
总结提升：此题考查一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
（3）行程问题
5． (2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
思路引领：（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴3k+b=06k+b=2400，
解得，k=800b=−2400．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x=611．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=185（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x=185或x＝6．
综上，出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
总结提升：本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
6． (2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
思路引领：（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；
（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．
解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案为：2，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：
2k+b=2006k+b=440，
解得k=60b=80，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120=113（小时），
当x=113时，y＝60×113+80＝300，
∴甲车距A地的路程为300千米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
类型二 反比例函数的实际应用
7． (2023•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
思路引领：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式求出V的值；
（2）由d的范围和图像的性质求出S的范围．
解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式得500=V20，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S=10000d，
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，
总结提升：此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．
8． (2023•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
思路引领：（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据解析式代入数值解答即可．
解：（1）由题意设：y=kx，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y=12x；
（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
总结提升：此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．
类型三 一次函数与反比例函数的综合运用
9． (2023•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值．
（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．
思路引领：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；
（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥325，由反比例函数y=900x可得y≥36时，x≤25，根据25−325=935＞17，即可得到答案．
解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y=kx，将C（20，45）代入得：
45=k20，
解得k＝900，
∴反比例函数的解析式为y=900x，
当x＝45时，y＝20，
∴D（45，20），
∴A（0，20），
即A对应的指标值为20；
（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：
20=n45=10m+n，
解得m=52n=20，
∴AB的解析式为y=52x+20，
当y≥36时，52x+20≥36，解得x≥325，
由（1）得反比例函数的解析式为y=900x，
当y≥36时，900x≥36，解得x≤25，
∴325≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
∵指标达到36为认真听讲，
而25−325=935＞17，
∴李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
总结提升：本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x＜10和20≤x≤45时的解析式．
10． (2023秋•东平县校级月考）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待 min？
思路引领：（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．
解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃），
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，
b=307k+b=100，
解得k=10b=30，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x＞7时，设y=ax，
100=a7，得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y=700x，
当y＝30时，x=703，
∴y与x的函数关系式为：y=10x+30(0≤x≤7)700x(7＜x≤703)，y与x的函数关系式每703分钟重复出现一次；
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y=700x，得x＝14，
∵14﹣2＝12，703−12=343，
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待343min，
故答案为：343．
总结提升：本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
专题提优训练
1． (2023•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据题意得到xy＝矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．
解：∵根据题意xy＝矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
2． (2023•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．
解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV（V，p都大于零），
∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．
3． (2023•鄂州一模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
思路引领：（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B地90千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案为：3.6；4.5；
（2）60×3.6＝216（千米），
当2＜x≤3.6时，设y＝kx+b，根据题意得：
2k+b=03.6k+b=216，解得k=135b=−270，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
当3.6＜x≤4.5时，y＝60x，
∴y=135x−270(2＜x≤3.6)60x(3.6＜x≤4.5)．
（3）∵甲车到达距B地90千米处时，x=270−9060=3，
∴将x＝3代入y＝135x﹣270，
得y＝135×3﹣270＝135，
即当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程是135千米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
4． (2023春•孝感期末）民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如表，
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．
①问共有多少种购进方案？
②直接写出总利润的最大值（总利润＝总销售额﹣总进货费用）．
思路引领：（1）分两种情况：当0≤x≤20时和当20＜x≤90时，分别根据已知列出函数关系式即可；
（2）①由购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元，得x≤4560(90−x)+50x≤5000，即可解得共有6种购进方案；
②设总利润为w元，可得w＝（﹣20x+9400）﹣[60（90﹣x）+50x]＝﹣10x+4000，由一次函数性质可得总利润的最大值是3600元．
解：（1）当0≤x≤20时，y＝100（90﹣x）+100x＝9000，
当20＜x≤90时，y＝100（90﹣x）+20×100+（100﹣20）×（x﹣20）＝﹣20x+9400，
∴y=9000(0≤x≤20)−20x+9400(20＜x≤90)；
（2）①∵购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元，
∴x≤4560(90−x)+50x≤5000，
解得40≤x≤45，
∵x是整数，
∴x可取40，41，42，43，44，45，
∴共有6种购进方案；
②设总利润为w元，
∵40≤x≤45，
∴总销售额y＝﹣20x+9400，
∴w＝（﹣20x+9400）﹣[60（90﹣x）+50x]＝﹣10x+4000，
∵﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝40时，w取最大值，最大值为﹣10×40+4000＝3600（元），
答：总利润的最大值是3600元．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
（1）方案选择问题
1． (2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
2． (2023•东莞市校级二模）某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
（1）求a的值；
（2）结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
（3）通过计算，写出当月主叫通话时间y（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
最大利润问题
3． (2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
4．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
（1）请你设计出进货方案；
（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
（3）行程问题
5． (2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
6． (2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
类型二 反比例函数的实际应用
7． (2023•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
8． (2023•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
类型三 一次函数与反比例函数的综合运用
9． (2023•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值．
（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．
10． (2023秋•东平县校级月考）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待 min？
专题提优训练
1． (2023•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
2． (2023•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
4． (2023•鄂州一模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
4． (2023春•孝感期末）民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如表，
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．
①问共有多少种购进方案？
②直接写出总利润的最大值（总利润＝总销售额﹣总进货费用）．
商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
专题08 一次函数与反比例函数的实际应用（解析版）
类型一 一次函数的实际应用
（1）方案选择问题
1． (2023•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
思路引领：（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可．
解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得10a+5b=10005a+3b=550，
解得a=50b=100，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
总结提升：本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两种纪念品的单价是关键．
2． (2023•东莞市校级二模）某移动通讯公司推出两种移动电话计费方式：
方式一：月租费60元，主叫150分钟内不再收费，超过限定时间的部分a元/分钟；被叫免费．
方式二：月租费100元，主叫380分钟内不再收费，超过限定时间的部分0.25元/分钟；被叫免费．
两种方式的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数图象如图．
（1）求a的值；
（2）结合题意和函数图象，分别求出函数图象中，射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式，并写出对应的t的取值范围；
（3）通过计算，写出当月主叫通话时间y（单位：分钟）满足什么条件时，选择方式一省钱．
思路引领：（1）利用待定系数法可求出BC的解析式，再根据“方式一”的计费方式，也可求得BC的解析式，比较系数即可．
（2）根据两种计费方式可求出射线BC和射线EF对应的月计费y（单位：元）关于主叫时间t（单位：分钟）的函数关系式．
（3）根据（2）所求即可得出结论．
解：（1）由题图可知，M（350，100），
设BC所在直线为y＝kt+b，
把B（150，60），M（350，100）代入，
得：150k+b=60350k+b=100，
解得：k=15b=30．
∴y=15t+30（t≥150）．
当t＞150时，y＝a（t﹣150）+60＝at+60﹣150a，
∴a＝0.2．
（2）由（1）可知射线BC对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，
y1＝0.2t+30，t≥150min，
又∵方式二中超过限定时间的部分0.25元/分钟，
∴y2＝0.25（t﹣380）+100＝0.25t+5．
∴射线EF对应的月计费y关于主叫时间t的关系式为，
y2＝0.25t+5，t≥380min．
（3）①0≤t≤150min时，y1＝60＜y2＝100；
②150≤t≤350min时，y1＝0.2t+30＜y2＝100；
③t≥500min时，y1＝0.2t+30＜y2＝0.25t+5．
综上所述，通话时间0≤t≤350min或t≥500min时，方式一省钱．
总结提升：考查了一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
最大利润问题
3． (2023•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．
思路引领：（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．
解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，2000k+b=300004000k+b=56000，
解得k=13b=4000，
∴y＝13x+4000．
∴y=15x(0≤x≤2000)13x+4000(x＞2000)．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w=−x+24000(1600≤x≤2000)x+20000(2000＜x≤4000)；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．
总结提升：本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
4．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过10.57万元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于12.32万元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．
（1）请你设计出进货方案；
（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？
思路引领：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，根据总进价不超过105700元和销售额不低于123200元建立不等式组，求出其解即可；
（2）根据利润等于售价﹣进价的数量关系分别表示出购买A型电脑的利润和B型电脑的利润就求其和就可以得出结论．
解：（1）设A型电脑购进x台，则B型电脑购进（40﹣x）台，由题意，得
2500x+2800(40−x)≤1057003000x+3200(40−x)≥123200，
解得：21≤x≤24，
∵x为整数，
∴x＝21，22，23，24
∴有4种购买方案：
方案1：购A型电脑21台，B型电脑19台；
方案2：购A型电脑22台，B型电脑18台；
方案3：购A型电脑23台，B型电脑17台；
方案4：购A型电脑24台，B型电脑16台；
（2）由题意，得
y＝（3000﹣2500）x+（3200﹣2800）（40﹣x），
＝500x+16000﹣400x，
＝100x+16000．
∵k＝100＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴x＝24时，y最大＝18400元．
答：采用方案4，即购A型电脑24台，B型电脑16台的利润最大，最大利润是18400元．
总结提升：此题考查一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
（3）行程问题
5． (2023•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
思路引领：（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴3k+b=06k+b=2400，
解得，k=800b=−2400．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x=611．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x=185（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x=185或x＝6．
综上，出发611分钟或185分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
总结提升：本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
6． (2023•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．
思路引领：（1）由甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇可求出m＝2，根据以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地知n＝6；
（2）用待定系数法可得y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）求出乙的速度，即可得乙到A地所用时间，即可求得甲车距A地的路程为300千米．
解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案为：2，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：
2k+b=2006k+b=440，
解得k=60b=80，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120=113（小时），
当x=113时，y＝60×113+80＝300，
∴甲车距A地的路程为300千米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
类型二 反比例函数的实际应用
7． (2023•广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
思路引领：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式求出V的值；
（2）由d的范围和图像的性质求出S的范围．
解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S=Vd，把点（20，500）代入解析式得500=V20，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S=10000d，
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，
总结提升：此题主要考查反比例函数的性质和概念，解答此题的关键是找出变量之间的函数关系，难易程度适中．
8． (2023•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．
（1）求y关于x的函数解析式．
（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
思路引领：（1）根据待定法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据解析式代入数值解答即可．
解：（1）由题意设：y=kx，
把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，
∴y关于x的函数解析式为：y=12x；
（2）把y＝3代入y=12x，得，x＝4，
∴小孔到蜡烛的距离为4cm．
总结提升：此题考查反比例函数的应用，关键是根据待定系数法得出反比例函数的解析式解答．
类型三 一次函数与反比例函数的综合运用
9． (2023•卧龙区模拟）通过心理专家实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标指标）随上课时间的变化而变化，指标达到36为认真听讲，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段，当20≤x≤45时是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值．
（2）李老师在一节课上讲一道数学综合题需17分钟，他能否经过适当安排．使学生在认真听讲时，进行讲解，请说明理由．
思路引领：（1）设反比例函数的解析式为y=kx，由C（20，45）求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；
（2）求出AB解析式，得到y≥36时，x≥325，由反比例函数y=900x可得y≥36时，x≤25，根据25−325=935＞17，即可得到答案．
解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y=kx，将C（20，45）代入得：
45=k20，
解得k＝900，
∴反比例函数的解析式为y=900x，
当x＝45时，y＝20，
∴D（45，20），
∴A（0，20），
即A对应的指标值为20；
（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：
20=n45=10m+n，
解得m=52n=20，
∴AB的解析式为y=52x+20，
当y≥36时，52x+20≥36，解得x≥325，
由（1）得反比例函数的解析式为y=900x，
当y≥36时，900x≥36，解得x≤25，
∴325≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
∵指标达到36为认真听讲，
而25−325=935＞17，
∴李老师能经过适当的安排，使学生在认真听讲时，进行讲解．
总结提升：本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x＜10和20≤x≤45时的解析式．
10． (2023秋•东平县校级月考）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示：
（1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；
（2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待 min？
思路引领：（1）根据题意和函数图象可以求得a的值；根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式，注意函数图象是循环出现的；
（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．
解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃），
当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b，
b=307k+b=100，
解得k=10b=30，
即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30，
当x＞7时，设y=ax，
100=a7，得a＝700，
即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y=700x，
当y＝30时，x=703，
∴y与x的函数关系式为：y=10x+30(0≤x≤7)700x(7＜x≤703)，y与x的函数关系式每703分钟重复出现一次；
（2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2，
将y＝50代入y=700x，得x＝14，
∵14﹣2＝12，703−12=343，
∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待343min，
故答案为：343．
总结提升：本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答．
专题提优训练
1． (2023•淮安）当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：根据题意得到xy＝矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．
解：∵根据题意xy＝矩形面积（定值），
∴y是x的反比例函数，（x＞0，y＞0）．
故选：B．
总结提升：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
2． (2023•宜昌）某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
思路引领：直接利用反比例函数的性质，结合p，V的取值范围得出其函数图象分布在第一象限，即可得出答案．
解：∵气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p=mV（V，p都大于零），
∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是：．
故选：B．
总结提升：此题主要考查了反比例函数的应用，正确掌握反比例函数图象分布规律是解题关键．
3． (2023•鄂州一模）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．
（3）当甲车到达距B地90千米处时，求甲、乙两车之间的路程．
思路引领：（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距B地90千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，
a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．
故答案为：3.6；4.5；
（2）60×3.6＝216（千米），
当2＜x≤3.6时，设y＝kx+b，根据题意得：
2k+b=03.6k+b=216，解得k=135b=−270，
∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；
当3.6＜x≤4.5时，y＝60x，
∴y=135x−270(2＜x≤3.6)60x(3.6＜x≤4.5)．
（3）∵甲车到达距B地90千米处时，x=270−9060=3，
∴将x＝3代入y＝135x﹣270，
得y＝135×3﹣270＝135，
即当甲车到达距B地90千米处时，甲、乙两车之间的路程是135千米．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
4． (2023春•孝感期末）民生超市计划购进甲、乙两种商品共90件进行销售，有关信息如表，
设乙种商品有x（件），销售完两种商品的总销售额为y（元）．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元．
①问共有多少种购进方案？
②直接写出总利润的最大值（总利润＝总销售额﹣总进货费用）．
思路引领：（1）分两种情况：当0≤x≤20时和当20＜x≤90时，分别根据已知列出函数关系式即可；
（2）①由购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元，得x≤4560(90−x)+50x≤5000，即可解得共有6种购进方案；
②设总利润为w元，可得w＝（﹣20x+9400）﹣[60（90﹣x）+50x]＝﹣10x+4000，由一次函数性质可得总利润的最大值是3600元．
解：（1）当0≤x≤20时，y＝100（90﹣x）+100x＝9000，
当20＜x≤90时，y＝100（90﹣x）+20×100+（100﹣20）×（x﹣20）＝﹣20x+9400，
∴y=9000(0≤x≤20)−20x+9400(20＜x≤90)；
（2）①∵购进乙种商品不超过45件，且该超市购进这两种商品的总进货费用不超过5000元，
∴x≤4560(90−x)+50x≤5000，
解得40≤x≤45，
∵x是整数，
∴x可取40，41，42，43，44，45，
∴共有6种购进方案；
②设总利润为w元，
∵40≤x≤45，
∴总销售额y＝﹣20x+9400，
∴w＝（﹣20x+9400）﹣[60（90﹣x）+50x]＝﹣10x+4000，
∵﹣10＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴x＝40时，w取最大值，最大值为﹣10×40+4000＝3600（元），
答：总利润的最大值是3600元．
总结提升：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．商品
甲
乙
进价（元/件）
60
50
售价（元/件）
100
100（其中一次性销售超过20件时，超出部分每件再让利20元）
相关试卷
中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题13旋转中的全等模型(原卷版+解析)： 这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题13旋转中的全等模型(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了对角互补模型，手拉手模型——旋转全等，通过旋转构造三角形全等等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题12含参代数式、方程与函数(原卷版+解析)： 这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题12含参代数式、方程与函数(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了含有参数的代数式，含有参数的方程，含有参数的函数等内容，欢迎下载使用。
中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题11反比例函数与一次函数二次函数的综合运用(原卷版+解析)： 这是一份中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练专题11反比例函数与一次函数二次函数的综合运用(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了反比例函数与一次函数的综合运用，反比例函数与二次函数的综合运用等内容，欢迎下载使用。
