中考数学总复习专题11反比例函数及其应用(10个高频考点)(举一反三)(全国版)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习专题11反比例函数及其应用(10个高频考点)(举一反三)(全国版)(原卷版+解析)，共60页。

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc25828" 【考点1 反比例函数的定义】 PAGEREF _Tc25828 \h 1
\l "_Tc31524" 【考点2 反比例函数的图象】 PAGEREF _Tc31524 \h 2
\l "_Tc1224" 【考点3 反比例函数图象的对称性】 PAGEREF _Tc1224 \h 4
\l "_Tc6758" 【考点4 反比例函数的性质】 PAGEREF _Tc6758 \h 4
\l "_Tc15071" 【考点5 反比例函数系数k的几何意义】 PAGEREF _Tc15071 \h 5
\l "_Tc2730" 【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc2730 \h 7
\l "_Tc18456" 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 PAGEREF _Tc18456 \h 8
\l "_Tc2062" 【考点8 反比例函数与一次函数的综合】 PAGEREF _Tc2062 \h 9
\l "_Tc9052" 【考点9 实际问题与反比例函数】 PAGEREF _Tc9052 \h 10
\l "_Tc13330" 【考点10 反比例函数与几何综合】 PAGEREF _Tc13330 \h 13
【要点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数
【要点2 反比例函数的解析式】
1、； 2、； 3、
【考点1 反比例函数的定义】
【例1】（2022·浙江·校考三模）图像经过点(1，2)的反比例函数是（ ）
A．y=−2xB．y=2xC．y=12xD．y＝2x
【变式1-1】（2022·辽宁抚顺·统考二模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=−x2B．y=1x2C．y=13xD．y=−12x
【变式1-2】（2022·北京石景山·统考一模）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【变式1-3】（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
【要点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【考点2 反比例函数的图象】
【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）若反比例函数y＝m−2x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
【变式2-1】（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
B．
C．D．
【变式2-2】（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．
(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
【变式2-3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，反比例函数y=kx(k>0)在第一象限的图象上有A(1,6)，B(3,b)两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD⋅BC=AB⋅DO，连接CD，记△ADC,△DOC的面积分别为S1,S2，则S1−S2的值为___________．
【要点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【考点3 反比例函数图象的对称性】
【例3】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2x的图像交于A(1,m)、B两点，当k1x≤k2x时，x的取值范围是（ ）
A．−1≤x<0或x≥1B．x≤−1或0C．x≤−1或x≥1D．−1≤x<0或0【变式3-1】（2022·四川绵阳·统考二模）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．y＝x2B．y＝1xC．y＝|x﹣2|D．y＝1|x|
【变式3-2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ）
A．−1B．1C．−7D．7
【变式3-3】（2022·江苏南通·统考中考真题）平面直角坐标系xOy中，已知点A(m,6m),B(3m,2n),C(−3m,−2n)是函数y=kx(k≠0)图象上的三点.若S△ABC=2，则k的值为___________．
【考点4 反比例函数的性质】
【例4】（2022·上海·统考中考真题）已知反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3）B．（-2，3）C．（3，0）D．（-3，0）
【变式4-1】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y=kxk>0的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y=kx的图象上的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【变式4-2】（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知点−3,y1,−1,y2,1,y3在下列某一函数图像上，且y3A．y=3xB．y=3x2C．y=3xD．y=−3x
【变式4-3】（2022·青海·统考中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P=FS，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为______（用小于号连接）.
【考点5 反比例函数系数k的几何意义】
【例5】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3B．-3C．32D．−32
【答案】B
【变式5-1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，点A，C为函数y＝kx（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为34时，k的值为( )
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【变式5-2】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．32B．3C．23D．4
【变式5-3】（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k=______．
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例6】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知反比例函数y=kxk≠0的图像经过点−2,4，那么该反比例函数图像也一定经过点（ ）
A．4,2B．1,8C．−1,8D．−1,−8
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点A2,3向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数y=kx的图像上，则k的值是______．
【变式6-2】（2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A′B′O的位置，且A′在OB的中点，B′在反比例函数y=kx上，则k的值为________________．
【变式6-3】（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A，B分别在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求k1，k2的值：
(2)若点C，D分在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
【例7】（2022·山东威海·统考中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．
【变式7-1】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞mx的解集．
【变式7-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，正比例函数y=4x与反比例函数y=kxx>0的图象交于点Aa,4，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C2,0．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【变式7-3】（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A5,0，B0,52两点，且与反比例函数y2=k2x的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为54．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当y2>y1时，求x的取值范围；
(3)若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
【例8】（2022·西藏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y=bax（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）将双曲线y=1x向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为________．
【变式8-2】（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．
【变式8-3】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
【考点9 实际问题与反比例函数】
【例9】（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【变式9-1】（2022·辽宁大连·统考中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
【变式9-2】（2022·广东广州·统考中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【变式9-3】（2022·山东临沂·统考中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
【考点10 反比例函数与几何综合】
【例10】（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，S△ABC=6，则k=____．
【变式10-1】（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=3，∠BDC=120°，S△BCD=923，若反比例函数y=kxx<0的图像经过C，D两点，则k的值是（ ）
A．−63B．−6C．−123D．−12
【变式10-2】（2022·山东济南·统考一模）图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2)，OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点F，交AB于点G．
(1)求tan∠COF的值及反比例函数表达式．
(2)在x轴上是否存在一点M，使MF−MG的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
(3)在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形，请直接写出OP的长．
【变式10-3】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO=∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，且OB>OC．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
(2)若反比例函数y=kxk≠0图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由． 函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
xkg
……
0.25
0.5
1
2
4
……
ycm
……
……
专题11 反比例函数及其应用（10个高频考点）（举一反三）

TOC \ "1-1" \h \u
\l "_Tc25828" 【考点1 反比例函数的定义】 PAGEREF _Tc25828 \h 1
\l "_Tc31524" 【考点2 反比例函数的图象】 PAGEREF _Tc31524 \h 3
\l "_Tc1224" 【考点3 反比例函数图象的对称性】 PAGEREF _Tc1224 \h 9
\l "_Tc6758" 【考点4 反比例函数的性质】 PAGEREF _Tc6758 \h 12
\l "_Tc15071" 【考点5 反比例函数系数k的几何意义】 PAGEREF _Tc15071 \h 14
\l "_Tc2730" 【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】 PAGEREF _Tc2730 \h 18
\l "_Tc18456" 【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】 PAGEREF _Tc18456 \h 22
\l "_Tc2062" 【考点8 反比例函数与一次函数的综合】 PAGEREF _Tc2062 \h 29
\l "_Tc9052" 【考点9 实际问题与反比例函数】 PAGEREF _Tc9052 \h 36
\l "_Tc13330" 【考点10 反比例函数与几何综合】 PAGEREF _Tc13330 \h 42
【要点1 反比例函数的定义】
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数
【要点2 反比例函数的解析式】
1、； 2、； 3、
【考点1 反比例函数的定义】
【例1】（2022·浙江·校考三模）图像经过点(1，2)的反比例函数是（ ）
A．y=−2xB．y=2xC．y=12xD．y＝2x
【答案】B
【分析】将x=1代入到A、B、C函数关系式中求出y值即可找出答案，D中y=2x是正比例函数，不用考虑．
【详解】解：观察四个选项，A、B、C是反比函数，D是正比例函数，
将x=1代入到A、B、C函数关系式中，只有B选项中y=2，
故正确答案为：B．
【点睛】本题考查反比例函数上的点，熟练掌握反比例函数的定义是解题关键．
【变式1-1】（2022·辽宁抚顺·统考二模）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=−x2B．y=1x2C．y=13xD．y=−12x
【答案】D
【分析】根据反比例函数的定义即形如y=kx（k是常数，且k≠0）的函数，对各选项进行判断即可．
【详解】A选项中函数是正比例函数，故不符合题意；
B选项中函数不是反比例函数，故不符合题意；
C选项中函数是正比例函数，故不符合题意；
D选项中函数符合反比例函数的定义，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义．解题的关键在于对反比例定义与形式的熟练掌握与灵活运用．
【变式1-2】（2022·北京石景山·统考一模）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【答案】B
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【详解】A. 圆的周长与其半径是正比例关系，不符合题意，
B. 平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高成反比例关系，符合题意，
C. 销售单价一定时，销售总价与销售数量成正比例关系，不符合题意，
D. 汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间成正比例关系，不符合题意，
故选B．
【点睛】本题主要考查成反比例函数关系的量，关键就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
【变式1-3】（2022·广西钦州·校考一模）已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
【详解】解：根据题意有：v•t＝s，
∴t=sv，
故t与v之间的函数图象为反比例函数图象，
且根据实际意义v＞0、t＞0，
∴其图像在第一象限，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
【要点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【考点2 反比例函数的图象】
【例2】（2022·四川成都·统考中考真题）若反比例函数y＝m−2x的图像经过第二、四象限，则m的取值范围是 _____．
【答案】m＜2
【分析】由反比例函数图像经过第二、四象限，得出m﹣2＜0，求出m范围即可．
【详解】解：∵反比例函数y＝m−2x的图像经过第二、四象限，
∴m﹣2＜0，
得：m＜2．
故答案为：m＜2．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质，根据反比例函数图像的性质，列出关于m的不等式，是解题的关键．
【变式2-1】（2022·湖南衡阳·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（ ）
B．
C．D．
【答案】D
【分析】先证明CD=AD=y，过D点做DE⊥AC于点E，证明△ABC∽△AED，利用相似三角形的性质可得函数关系式，从而可得答案．
【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，
∵AC平分∠DAB，∴∠BAC=∠CAD，
∴∠ACD=∠CAD，则CD=AD=y，即△ACD为等腰三角形，
过D点做DE⊥AC于点E．
则DE垂直平分AC，AE=CE=12AC=3，∠AED=90°，
∵∠BAC=∠CAD，∠B=∠AED=90°，
∴△ABC∽△AED，
∴ACAD=ABAE，
∴6y=x3，
∴y=18x，
∵在△ABC中，AB∴x<6，
故选D．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，反比例函数的图象，证明△ABC∽△AED是解本题的关键．
【变式2-2】（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．
(1)求m的值和点D的坐标；
(2)求DF所在直线的表达式；
(3)若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．
【答案】(1)m=−2,D(4,2)
(2)直线DF的解析式为：y=−x+6.
(3)S△EFG=8.
【分析】（1）如图，过A作AH⊥BO于H, 利用等腰直角三角形的性质可得AH=BH=OH=2,从而可得m的值，再由平移的性质可得D的纵坐标，利用反比例函数的性质可得D的坐标；
（2）由A(−2,2),D(4,2), 可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则F(6,0), 再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；
（3）先联立两个函数解析式求解G的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，过A作AH⊥BO于H,
∵△ABO为等腰直角三角形，A(m,2),
∴AH=BH=OH=2,
∴A(−2,2), 即m=−2,
由平移的性质可得：yD=yA=2,
∴xD=82=4, 即D(4,2),
（2）由A(−2,2),D(4,2),
∴ 等腰直角三角形向右平移了6个单位，
∴F(6,0),
设DF为y=kx+b,
∴{4k+b=26k+b=0, 解得：{k=−1b=6,
∴直线DF的解析式为：y=−x+6.
（3）如图，延长FD交反比例函数于G，连结EG,
{y=−x+6y=8x ，
解得：{x=2y=4,{x=4y=2, 经检验符合题意；
∴G(2,4),
∵EF=BO=4,
∴S△EFG=12×EF×yG=12×4×4=8.
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G的坐标是解本题的关键．
【变式2-3】（2022·内蒙古包头·中考真题）如图，反比例函数y=kx(k>0)在第一象限的图象上有A(1,6)，B(3,b)两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD⋅BC=AB⋅DO，连接CD，记△ADC,△DOC的面积分别为S1,S2，则S1−S2的值为___________．
【答案】4
【分析】如图，连结BD，证明△DAB∽△OAC, 再求解反比例函数为：y=6x，B(3,2), 直线AB为：y=−2x+8, 再求解C(4,0), S△AOC=12×4×6=12, 再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连结BD，
∵ AD⋅BC=AB⋅DO，
∴ADDO=ABBC,
∴ADAO=ABAC, 而∠DAB=∠OAC,
∴△DAB∽△OAC,
∵A(1,6)在反比例函数图象y=kx上，
∴k=6, 即反比例函数为：y=6x，
∵B(3,b)在反比例函数图象y=6x上，
∴b=2, 即B(3,2),
设直线AB为：y=mx+n,
∴{m+n=63m+n=2, 解得：{m=−2n=8,
∴直线AB为：y=−2x+8,
∴ 当y=0时，x=4,
∴C(4,0),
∴S△AOC=12×4×6=12,
∵△DAB∽△OAC,
∴S△ADBS△AOC=(yA−yByA)2=49, ABAC=ADAO=23,
∴S1=23×12=8,S2=13×12=4,
∴S1−S2=4.
故答案为：4
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与 性质，证明ABAC=ADAO=23是解本题的关键．
【要点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线和直线
【考点3 反比例函数图象的对称性】
【例3】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2x的图像交于A(1,m)、B两点，当k1x≤k2x时，x的取值范围是（ ）
A．−1≤x<0或x≥1B．x≤−1或0C．x≤−1或x≥1D．−1≤x<0或0【答案】A
【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点B的坐标，然后根据k1x≤k2x的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案．
【详解】解析：∵正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2x的图像交于A(1,m)、B两点，
∴B(−1,−m)，
由图像可知，当k1x≤k2x时，x的取值范围是−1≤x<0或x≥1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点B的坐标的坐标是解本题的关键．
【变式3-1】（2022·四川绵阳·统考二模）下列函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．y＝x2B．y＝1xC．y＝|x﹣2|D．y＝1|x|
【答案】B
【分析】根据一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的对称性分析判断即可得解．
【详解】解：A、y＝x2，抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、y＝1x，反比例函数，图象是双曲线，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、y＝|x﹣2|，图象以直线x＝2为对称轴，故不是中心对称图形，不符合题意；
D、y＝1|x|，图象以y轴为对称轴，故不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．
【变式3-2】（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ）
A．−1B．1C．−7D．7
【答案】C
【分析】由直线AB与第二象限角平分线垂直可知A、B关于直线y=−x对称，即有x1=−y2，x2=−y1，再根据两点均在反比例函数图象，可得x1⋅y1=x2⋅y2=7，问题随之得解．
【详解】解：根据题意A、B关于直线y=−x对称，
∴x1=−y2，x2=−y1，
∵互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，
∴x1⋅y1=x2⋅y2=7，
∴x1⋅x2=x1⋅−y1=−x1y1=−7，
故选：C．
【点睛】本题主要考考查了反比例函数的性质，轴对称的性质，根据A、B关于直线y=−x对称，得出x1=−y2，x2=−y1，是解答本题的关键．
【变式3-3】（2022·江苏南通·统考中考真题）平面直角坐标系xOy中，已知点A(m,6m),B(3m,2n),C(−3m,−2n)是函数y=kx(k≠0)图象上的三点.若S△ABC=2，则k的值为___________．
【答案】34##0.75
【分析】由点A、B、C的坐标可知k=6m2>0，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据S△ABC=2列式求出m2，进而可得k的值．
【详解】解：∵点A(m,6m),B(3m,2n),C(−3m,−2n)是函数y=kx(k≠0)图象上的三点，
∴k=6m2>0，k=6mn，
∴m＝n，
∴B(3m,2m)，C(−3m,−2m)，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为y=kxk≠0，
代入B(3m,2m)得：2m=3mk，
解得：k=23，
∴直线BC的解析式为y=23x，
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
把x＝m代入y=23x得：y=23m，
∴D（m，23m），
∴AD＝6m−23m=163m，
∴S△ABC=12×163m⋅3m+3m=2，
∴m2=18，
∴k=6m2=6×18=34，
而当m＜0时，同样可得k=34，
故答案为：34．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
【考点4 反比例函数的性质】
【例4】（2022·上海·统考中考真题）已知反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3）B．（-2，3）C．（3，0）D．（-3，0）
【答案】B
【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可．
【详解】解：∵反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，,
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式4-1】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数y=kxk>0的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y=kx的图象上的点是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质，在第一象限内y随x的增大而减小，用平滑的曲线连接发现M点不在函数y=kx的图象上
【详解】解：y=kxk>0在第一象限内y随x的增大而减小，用平滑的曲线连接发现M点不在函数y=kx的图象上
故选C
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例数图象的性质是解题的关键．
【变式4-2】（2022·江苏泰州·统考中考真题）已知点−3,y1,−1,y2,1,y3在下列某一函数图像上，且y3A．y=3xB．y=3x2C．y=3xD．y=−3x
【答案】D
【分析】先假设选取各函数，代入自变量求出y1、y2、y3的值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：A．把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1B．把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，这与已知条件y3C． 把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=3x，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2D． 把点−3,y1,−1,y2,1,y3代入y=-3x，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以y3故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数，解题的关键是掌握函数值的大小变化和函数的性质．
【变式4-3】（2022·青海·统考中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积之比是5：3：1，如果A，B，C三个面分别向下在地上，地面所受压强分别为P1，P2，P3，压强的计算公式为P=FS，其中P是压强，F是压力，S是受力面积，则P1，P2，P3的大小关系为______（用小于号连接）.
【答案】P1【分析】先根据这块砖的重量不变可得压力F的大小不变，且F>0，再根据反比例函数的性质（增减性）即可得．
【详解】解：∵这块砖的重量不变，
∴不管A,B,C三个面中的哪面向下在地上，压力F的大小都不变，且F>0，
∴P随S的增大而减小，
∵A,B,C三个面的面积之比是5:3:1，
∴P1故答案为：P1【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性是解题关键．
【考点5 反比例函数系数k的几何意义】
【例5】（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3B．-3C．32D．−32
【答案】B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴S△OAM=S△OCN=12k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
【变式5-1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，点A，C为函数y＝kx（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为34时，k的值为( )
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣4
【答案】B
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】∵点E为OC的中点，
∴S△AEO=S△AEC=34，
∵点A，C为函数y＝kx（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO＝34，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴SΔOEBSΔOCD=122，
∴S△OCD＝1，
则12xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式5-2】（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数y=kx（k>0，x>0）的图象上，其纵坐标为2，过点P作PQ//y轴，交x轴于点Q，将线段QP绕点Q顺时针旋转60°得到线段QM．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．32B．3C．23D．4
【答案】C
【分析】作MN⊥x轴交于点N，分别表示出ON、MN，利用k值的几何意义列式即可求出结果．
【详解】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（k2，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=12QM=1，QN=3，
∴ON·MN=k，
即：k2+3=k，
解得：k=23，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是k的几何意义，表示出对应线段是解题的关键．
【变式5-3】（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y=kx(k>0)上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE=32，则k=______．
【答案】3
【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE=32，以及S△ADE=S△ADO=32，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．
【详解】解：连接OD、DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点B、点D到对角线AC的距离相等，
∴S△ADE= S△ABE=32，
∵AD⊥x轴，
∴AD∥OE，
∴S△ADE=S△ADO=32，
设点D(x，y) ，
∴S△ADO=12OA×AD=12xy=32，
∴k=xy=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE= S△ABE是解题的关键．
【考点6 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例6】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）已知反比例函数y=kxk≠0的图像经过点−2,4，那么该反比例函数图像也一定经过点（ ）
A．4,2B．1,8C．−1,8D．−1,−8
【答案】C
【分析】先把点−2,4代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数y=kxk≠0的图象经过点−2,4，
∴k=−2×4=−8，
A、∵4×2=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×8=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、−1×8=−8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、(−1)×(−8)=8≠−8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y=kxk≠0中，k=xy为定值是解答此题的关键．
【变式6-1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将点A2,3向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数y=kx的图像上，则k的值是______．
【答案】−4
【分析】将点A2,3向下平移5个单位长度得到点B，再把点B代入反比例函数y=kx，利用待定系数法进行求解即可．
【详解】将点A2,3向下平移5个单位长度得到点B，则B2,−2，
∵点B恰好在反比例函数y=kx的图像上，
∴k=2×−2=−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式6-2】（2022·广东深圳·统考中考真题）如图，已知直角三角形ABO中，AO=1，将△ABO绕点O点旋转至△A′B′O的位置，且A′在OB的中点，B′在反比例函数y=kx上，则k的值为________________．
【答案】3
【分析】连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出ΔAOA′是等边三角形，从而得出∠AOB=∠A′OB′=60°，即可得出∠B′OE=60°，解直角三角形求得B′的坐标，进一步求得k=3．
【详解】解：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，
由题意知OA=OA′，A′是OB中点，∠AOB=∠A′OB′，OB′=OB，
∴AA′=12OB=OA′，
∴ΔAOA′是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴OB=2OA=2，∠B′OE=60°，
∴OB′=2，
∴OE=12OB′=1，
∴B′E=3OE=3，
∴B′(1,3)，
∵B′在反比例函数y=kx上，
∴k=1×3=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式6-3】（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A，B分别在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求k1，k2的值：
(2)若点C，D分在函数y=k1x（x>0）和y=k2x（x>0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)k1=4，k2=−4
(2)C4,1，D1,−4
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入y=k1x即可求得k1，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入y=k2x求得k2；（2）由△COD≌△AOB可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为(1,4)，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入y=k1x和y=k2x，
解得，k1=4，k2=−4；
（2）由（1）得，点A在y=4x图象上，点B在y=−4x图象上，两函数关于x轴对称，
∵△COD≌△AOB，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
【考点7 待定系数法求反比例函数解析式】
【例7】（2022·山东威海·统考中考真题）正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4）．若反比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点C，则k的值为 _____．
【答案】24
【分析】过点C作CE⊥y轴，由正方形的性质得出∠CBA=90°，AB=BC，再利用各角之间的关系得出∠CBE=∠BAO，根据全等三角形的判定和性质得出OA=BE=2，OB=CE=4，确定点C的坐标，然后代入函数解析式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥y轴，
∵点B（0，4），A（2，0），
∴OB=4，OA=2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CBA=90°，AB=BC，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO，
∵∠CEB=∠BOA=90°，
∴∆ABO≅∆BCE，
∴OA=BE=2，OB=CE=4，
∴OE=OB+BE=6，
∴C（4，6），
将点C代入反比例函数解析式可得：
k=24，
故答案为：24．
【点睛】题目主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式的确定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
【变式7-1】（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx相交于A（1，2），B两点，与x轴相交于点C（4，0）．
(1)分别求直线AC和双曲线对应的函数表达式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x＞0时，关于x的不等式kx+b＞mx的解集．
【答案】(1)y=−23x+83，y=2x；
(2)△AOB的面积为83；
(3)1【分析】（1）将点A ( 1，2 )代入y =mx，求得m=2，再利用待定系数法求得直线的表达式即可；
（2）解方程组求得点B的坐标，根据SΔAOB=SΔAOC−SΔBOC，利用三角形面积公式即可求解；
（3）观察图象，写出直线的图象在反比例函数图象的上方的自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点A ( 1，2 )代入y =mx，得m=2，
∴双曲线的表达式为： y=2x，
把A（1，2）和C（4，0）代入y=kx+b得：
y=k+b=24k+b=0，解得：k=−23b=83，
∴直线的表达式为：y=−23x+83；
（2）解：联立y=2xy=−23x+83 ，
解得x=1y=2，或x=3y=23，
∵点A 的坐标为（1，2），
∴点B的坐标为（3，23），
∵SΔAOB=SΔAOC−SΔBOC=12OC⋅|yA|−12OC⋅|yB|
=12×4×2−12×4×23
=83，
∴△AOB的面积为83；
（3）解：观察图象可知：不等式kx+b>mx的解集是1【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会利用方程组求两个函数的交点坐标，学会利用分割法求三角形面积．
【变式7-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，正比例函数y=4x与反比例函数y=kxx>0的图象交于点Aa,4，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作BC⊥x轴于点C2,0．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)y=4x
(2)1,2或1,6
【分析】（1）先将Aa,4代入y=4x求出A1,4，再将A1,4代入反比例函数y=kx即可求出k；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限．
【详解】（1）解：∵正比例函数y=4x与反比例函数y=kxx>0的图象交于点A
把Aa,4代入y=4x得4a=4
∴a=1
∴A1,4
把A1,4代入反比例函数y=kx得4=k1
∴k=4
∴反比例函数的解析式是y=4x；
（2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为y=4x，
∵BC⊥x，B在反比例函数y=4x图象上，
∴B(2，2),
令D(m,n)，
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
当AB为一条对角线时，则m+22=1+22，n+02=4+22
解得m=1，n=6，
∴D(1,6)
当AC为一条对角线时，则m+22=1+22，n+22=4+02
解得m=1，n=2，
∴D(1,2)
当AD为一条对角线时，则m+12=2+22，n+42=2+02
解得m=3，n=-2，
∴D(3,-2)（舍去）
综上所述，点D的坐标是1,2或1,6．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标．
【变式7-3】（2022·黑龙江绥化·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A5,0，B0,52两点，且与反比例函数y2=k2x的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为54．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当y2>y1时，求x的取值范围；
(3)若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．
【答案】(1)y1=−12x+52, y2=2x.
(2)04，
(3)65
【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据△OAP的面积为54和直线解析式求出点P坐标，从而可求出反比例函数解析式；
（2）联立方程组并求解可得点K的坐标，结合函数图象可得出x的取值范围；
（3）作点K关于x轴的对称点K′，连接KK′，PK′交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，求出点C的坐标，再根据SΔPKC=SΔAKM−SΔKMC−SΔPAC求解即可．
（1）
解：∵一次函数y1=k1x+b与坐标轴分别交于A5,0，B0,52两点，
∴把A5,0，B0,52代入y1=k1x+b得，
5k1+b=0b=52,，解得，k1=−12b=52，
∴一次函数解析式为y1=−12x+52,
过点P作PH⊥x轴于点H，
∵A(5,0),
∴OA=5,
又SΔPAO=54,
∴12×5×PH=54
∴PH=12,
∴−12x+52=12，
∴x=4,
∴P(4,12)
∵P(4,12)在双曲线上，
∴k2=4×12=2,
∴y2=2x.
（2）
解：联立方程组得，y=−12x+52y=2x
解得，x1=1y1=2 ，x2=4y2=12
∴k(1,2),
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有04，
∴当y2>y1时，求x的取值范围为04，
（3）
解：作点K关于x轴的对称点K′，连接KK′交x轴于点M，则K′（1，-2），OM=1，
连接PK′交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线PK′的解析式为y=mx+n,
把P(4,12),K′(1,−2)代入得，m+n=−24m+n=12
解得，m=56n=−176
∴直线PK'的解析式为y=56x−176,
当y=0时，56x−176=0，解得，x=175，
∴C(175,0)
∴OC=175
∴MC=OC−OM=175−1=125,
AC=OA−OC=5−175=85
AM=OA−OM=5−1=4，
∴SΔPKC=SΔAKM−SΔKMC−SΔPAC
=12×4×2−12×125×2−12×85×12
=4−125−25
=65
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【考点8 反比例函数与一次函数的综合】
【例8】（2022·西藏·统考中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与y=bax（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据a，b的取值分类讨论即可．
【详解】解：若a＜0，b＜0，
则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y=bax（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y=bax（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，
则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y=bax（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，
则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数y=bax（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键．
【变式8-1】（2022·四川巴中·统考中考真题）将双曲线y=1x向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为________．
【答案】4044
【分析】直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011可由直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，这与双曲线y=1x的平移方式相同，从而可知新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点也可以由双曲线y=1x与直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点以同样的方式平移得到，从而得知新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点横坐标之和是4，再用4乘以1011得解．
【详解】解：直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011可由直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，
∴直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011到直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的平移方式与双曲线y=1x双曲线的相同，
∴新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点也可以由双曲线y=1x与直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点以同样的方式平移得到，
设双曲线y=1x与直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点的横坐标为xi,x′i，i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011，
则新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点的横坐标为xi+2,x′i+2 i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011，
根据双曲线y=1x与直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011图像都关于原点对称，可知双曲线y=1x与直线y=kix ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点也关于原点对称，
∴xi+x′i=0，i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011，
∴xi+2+x′i+2=4 i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011，
即新双曲线与直线y=ki(x−2)−1 ki>0,i=1,2,3,⋅⋅⋅,1011的交点的横坐标之和都是4，
∴这2022个点的横坐标之和为：4×1011=4044．
故答案是：4044．
【点睛】本题考查正比例函数与反比例函数的图像交点问题和平移，掌握正比例函数与反比例函数的图像和平移规则是解题的关键．
【变式8-2】（2022·宁夏·中考真题）如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与x轴、y轴分别相交于C、B两点，与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC：CA=1：2．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，求点D的坐标．
【答案】(1)y=12x(x>0)
(2)点D的坐标为1,−12
【分析】（1）过点A作AF⊥x轴于点F，先证△ACF∽△BCO，根据对应边成比例得BCAC=OBAF=OCCF=12，结合已知条件推出OC=2OB=2，AF=2，CF=4， OF=OC+CF=2+4=6，可得A6,2，代入反比例函数解析式求出m值即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=12x−1，设点D的横坐标为t，则D(t,12t−1)，E(t,12t)，用含t的代数式表示出ED，进而利用三角形面积公式得到关于t的一元二次函数，化成顶点式，即可求出最值．
（1）
解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
∴∠AFC=∠BOC=90°，
又∵∠ACF=∠BCO，
∴△ACF∽△BCO，
∴BCAC=OBAF=OCCF=12，
∵OB=1，tan∠OBC=2，
∴OC=2OB=2，
∴AF=2，CF=4，
∴OF=OC+CF=2+4=6，
∴A6,2．
∵点A在反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象上，
∴m=2×6=12．
∴反比例函数的表达式为：y=12x(x>0)．
（2）
解：由题意可知B0,−1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A6,2，B0,−1代入y=kx+b，
得2=6k+b−1=b，
解得k=12b=−1，
∴直线AB的解析式为：y=12x−1．
设点D的横坐标为t，则D(t,12t−1)，E(t,12t)，
∴ED=12t−12t+1，
∴△BDE的面积为：
12(t−0)(12t−12t+1)
=−14t2+12t+6
=−14(t−1)2+254．
∵−14<0，
∴t=1时，△BDE面积取最大值，最大值为254，
将x=1代入y=12x−1，得y=12−1=−12
∴点D的坐标为1,−12．
【点睛】本题属于一次函数、反比例函数以及二次函数的综合题，考查待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数解直角三角形，以及二次函数的最值等，解第一问的关键是求出点A的坐标，解第二问的关键是求出△BDE面积的函数表达式．
【变式8-3】（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB=CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图像上？请说明理由；
(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE−PB|最大时，求点P的坐标．
【答案】(1)点E在这个反比例函数的图像上，理由见解析
(2)①k=1，b=2；②点P的坐标为(0,−2)
【分析】（1）设点A的坐标为(m,8 m)，根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH=EH，再结合等腰三角形三线合一得到CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，求出H(m,4m)，进而求得E(2m,4m)，于是得到点E在这个反比例函数的图像上；
（2）①根据正方形的性质得到AD=CE，AD垂直平分CE，求得CH=12AD，设点A的坐标为(m,8 m)，得到m=2（负值舍去），求得A(2,4)，C(0,2)，把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得，解方程组即可得到结论；②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y=x−2，于是得到结论．
【详解】（1）解：点E在这个反比例函数的图像上．
理由如下：
∵一次函数y=kx+b(k>0)的图像与反比例函数y=8x(x>0)的图像交于点A，
∴设点A的坐标为(m,8 m)，
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
连接CE交AD于H，如图所示：
∴CH=EH，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，∠ADB=90°，
∴∠CDO+∠ADC=90°，
∵CB=CD，
∴∠CBO=∠CDO，
在RtΔABD中，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CAD=∠CDA，
∴CH为ΔACD边AD上的中线，即AH=HD，
∴H(m,4m)，
∴E(2m,4m)，
∵2m×4m=8，
∴点E在这个反比例函数的图像上；
（2）解：①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD=CE，AD垂直平分CE，
∴CH=12AD，
设点A的坐标为(m,8 m)，
∴CH=m，AD=8m，
∴m=12×8m，
∴m=2（负值舍去），
∴A(2,4)，C(0,2)，
把A(2,4)，C(0,2)代入y=kx+b得{2k+b=4b=2，
∴ {k=1b=2；
②延长ED交y轴于P，如图所示：
∵CB=CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE−PD|=|PE−PB|，则点P即为符合条件的点，
由①知，A(2,4)，C(0,2)，
∴D(2,0)，E(4,2)，
设直线DE的解析式为y=ax+n，
∴ {2a+n=04a+n=2，解得{a=1n=−2，
∴直线DE的解析式为y=x−2，
当x=0时，y=−2，即(0,−2)，故当|PE−PB|最大时，点P的坐标为(0,−2)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
【考点9 实际问题与反比例函数】
【例9】（2022·山东枣庄·统考中考真题）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
(1)在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】(1)线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
(2)y＝13.5x（x≥3）；
(3)该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由见解析．
【分析】（1）设线段AC的函数表达式为：y=kx+b，把A、C两点坐标代入求出k、b的值即可；
（2）设函数的表达式为：y=kx，把C点坐标代入，求出k的值即可；
（3）根据（2）所得表达式，求出x=15时，y的值与硫化物浓度允许的最高值比较即可．
【详解】（1）解：由前三天的函数图像是线段，设函数表达式为：y=kx+b
把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得12=b4.5=3k+b ，
解得：k=﹣2.5，b=12
∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=kx，
把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=k3，
解得k=13.5，
∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=13.5x ；
（3）解：能，理由如下：
当x=15时，y=13.515=0.9，
因为0.9＜1，
所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数，熟练掌握根据坐标确定解析式的一次项系数和常数项是解题关键．
【变式9-1】（2022·辽宁大连·统考中考真题）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3．
(1)求密度ρ关于体积V的函数解析式；
(2)若3≤V≤9，求二氧化碳密度ρ的变化范围．
【答案】(1)ρ=9.9VV>0
(2)1.1≤ρ≤3.3kgm3
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度ρ的变化范围．
【详解】（1）解：∵密度ρ与体积V是反比例函数关系，
∴设ρ=kVV>0，
∵当V=5m3时，ρ=1.98kg/m3，
∴1.98=k5，
∴k=1.98×5=9.9，
∴密度ρ关于体积V的函数解析式为：ρ=9.9VV>0；
（2）解：观察函数图象可知，ρ随V的增大而减小，
当V=3m3时，ρ=9.93=3.3kg/m3，
当V=9m3时，ρ=9.99=1.1kg/m3，
∴当3≤V≤9时，1.1≤ρ≤3.3kgm3
即二氧化碳密度ρ的变化范围是1.1≤ρ≤3.3kgm3．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式9-2】（2022·广东广州·统考中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)V=10000米3
(2)当16≤d≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为S=10000d，再利用反比例函数的性质可得答案．
(1)
解：由图知：当深度d=20米时，底面积S=500米2，
∴V=Sd=500米2×20米=10000米3；
(2)
由（1）得：
Sd=10000，
则S=10000d（d>0），S随着d的增大而减小，
当d=16时，S=625； 当d=25时，S=400；
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．
【变式9-3】（2022·山东临沂·统考中考真题）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
(1)图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点О右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0(2)调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点О右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
【答案】(1)y=4x；0(2)y=1x，表、图见解析
【分析】（1）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂解答即可；
（2）根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．
【详解】（1）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
∴重物×OA=秤砣×OB．
∵OA=2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2x=0.5y，
∴y=4x；
∵4>0，
∴y随x的增大而增大，
∵当y=0时，x=0；当y=48时，x=12，
∴0（2）解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
∴秤砣×OA=重物×OB．
∵OA=2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2×0.5=xy，
∴y=1x；
当x=0.25时，y=10.25=4；
当x=0.5时，y=10.5=2；
当x=1时，y=11=1；
当x=2时，y=12；
当x=4时，y=14；
填表如下：
画图如下：
【点睛】本题考查了一次函数的应用，反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．
【考点10 反比例函数与几何综合】
【例10】（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，S△ABC=6，则k=____．
【答案】125
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，设点C的坐标为m,n，则OF=m,CF=n,mn=k，先根据相似三角形的判定可得△AOE∼△AFC，根据相似三角形的性质可得AO=OF=m，又根据相似三角形的判定证出△BDG∼△BCF，根据相似三角形的性质可得DG=13n，BG=13BF，再根据反比例函数的解析式可得OG=3m，从而可得BF=3m,AB=5m，然后根据S△ABC=6即可得出答案．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，
设点C的坐标为m,n，则OF=m,CF=n,mn=k，
∵AE=CE，CD=2BD，
∴AEAC=12，BDBC=13，
∵OE⊥x轴，CF⊥x轴，
∴OE∥CF，
∴△AOE∼△AFC，
∴AOAF=AEAC=12，即AO=12AF，
∴AO=OF=m，
又∵CF⊥x轴，DG⊥x轴，
∴CF∥DG，
∴△BDG∼△BCF，
∴BGBF=DGCF=BDBC，即BGBF=DGn=13，
解得DG=13n，BG=13BF，
将x=13n代入反比例函数y=kx得：y=k13n=3m，
∴D3m,13n,OG=3m，
∴FG=OG−OG=2m，
由BG=13BF得：BF=32FG=3m，
∴AB=AO+OF+BF=m+m+3m=5m，
∵S△ABC=6，
∴12AB⋅CF=12×5mn=6，
解得mn=125，
即k=125，
故答案为：125．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
【变式10-1】（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=3，∠BDC=120°，S△BCD=923，若反比例函数y=kxx<0的图像经过C，D两点，则k的值是（ ）
A．−63B．−6C．−123D．−12
【答案】C
【分析】过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，可证明△COE≌△ABE（AAS），则OE=BD=3；由S△BDC=12•BD•CF=923可得CF=9，由∠BDC=120°，可知∠CDF=60°，所以DF=33，所以点D的纵坐标为43；设C（m，3），D（m+9，43），则k=3m=43（m+9），求出m的值即可求出k的值．
【详解】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BD∥y轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=3，
∵S△BDC=12•BD•CF=923，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=33．
∴点D的纵坐标为43，
设C（m，3），D（m+9，43），
∵反比例函数y=kx（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=3m=43（m+9），
∴m=-12，
∴k=-123．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键．
【变式10-2】（2022·山东济南·统考一模）图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2)，OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点F，交AB于点G．
(1)求tan∠COF的值及反比例函数表达式．
(2)在x轴上是否存在一点M，使MF−MG的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
(3)在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形，请直接写出OP的长．
【答案】(1)12；y=2x
(2)存在；M（5，0）
(3)2+292或158或4−11
【分析】（1）利用△OCF∽△OAB，tan∠COF=tan∠AOB=ABOA=12，得CFAB=OCOA，从而求出点F的坐标，得出k的值；
（2）利用三角形三边关系可得，延长FG交x轴于M，此时|MF−MG|的值最大，利用待定系数法求出直线EF的解析式即可得出点M的坐标；
（3）设点P(m,0)，利用两点间的距离公式得FG2=9+94=454，PF2=(m−1)2+4，PG2=(m−4)2+14，再分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵B(4,2)，
∴OA=4，AB=OC=2，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，
∴∠DOE=∠AOB，
∵∠OCF=∠OAB，
∴△OCF∽△OAB，
∴tan∠COF=tan∠AOB=ABOA=12
∴ CFAB=OCOA，
∴ CF2=24，
∴CF=1，
∴F(1,2)，
∴k=2；
∴y=2x
（2）解：由（1）知，y=2x，
当x=4时，y=12，
延长FG交x轴于M，
此时|MF−MG|的值最大，
设直线FG的解析式为y=kx+b，将点F、G坐标代入得，
k+b=24k+b=12，
解得k=−12b=52，
∴y=−12x+52，
当y=0时，x=5，
∴M(5,0)；
（3）解：设点P(m,0)，
∵F(1,2)，G(4,12)，
∴FG2=9+94=454，PF2=(m−1)2+4，PG2=(m−4)2+14，
当GF=PF时，454=(m−1)2+4，
解得：m=2+292或2−292（负值舍去），
当PF=PG时，同理可得：m=158；
当GF=PG时，同理可得：m=4−11或4+11（大于4舍去），
综上，OP的长为：2+292或158或4−11．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，等腰三角形，解题的关键是表示出△PFG的三边长度，运用分类思想求解．
【变式10-3】（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO=∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2−5x+6=0的两个根，且OB>OC．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
(2)若反比例函数y=kxk≠0图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)B−3,0，C（2，0）
(2)y=20x
(3)存在，N1（−173，163），N2（-9，12），N3（−13，−163），N43,−12，N55713,−1213，N61713,−3213．
【分析】（1）解方程得出方程的解，即可确定点B，C的坐标；
（2）首先证明∠AFB＝∠AOB＝90°，再证明AB=BC=5，由AD∥BC得∠ADB=∠DBC，从而得∠ABD=∠ADB，即可得到AD=AD=5，再由勾股定理求出AO=4，得出点D的坐标即可求出反比例函数解析式；
（3）如图，分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由x2−5x+6=0解得x1=2，x2=3．
∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB>OC，
∴OB=3，OC=2．
∴B−3,0，C（2，0）．
（2）解：∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°．
∵∠CAO＝∠DBC，∠CAO+∠AFB=∠DBC+∠AOB，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴AB=BC=5．
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD=5．
∵在Rt△ABO中，AO=AB2−OB2=52−32=4．
∴D（5，4）．
∴反比例函数解析式为y=20x．
（3）解：如下图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点N1作N1P1⊥x轴于点P1,
∴∠N1P1B=∠DQB=90°
∵四边形DBN1M1是矩形，
∴∠N1BD=90°
∴∠N1BP1+∠DBQ=90°
又∠N1BP1+∠BN1P1=90°
∴ΔN1P1B∼ΔBQD
∴N1P1BQ=P1BQD=N1BBD=23
∵BQ=BO+OQ=3+5=8,DQ=4
∴N1P1=163,P1B=83
∴P1B=83+3=173
∴点N1（−173，163），
同理可求出N2（-9，12），N3（−13，−163），N43,−12
②如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点N5WT N5F⊥x于点F，设DN5与x轴交于点G，
∴∠DEB=90°
又∠DN5B=90°
∴∠DEB=∠DN5B
∵BD是圆的直径，
∴点E在圆上，
∴∠N5BG=∠GDE
∴ΔN5BG∼ΔDEG
∴N5GEG=N5BDE
∵DE=4，BE=3+5=8，
∴BD=BE2+DE2=45
又DN5:BN5=2:3，
设DN5=2k,BN5=3k
由勾股定理得，DN52+BN52=BD2
∴(2k)2+(3k)2=(45)2，解得，k=46513
∴BN5=126513
设GE=x，则BG=8-x，代入比例式得，N5Gx=1265134
∴N5G=36513x
在RtΔBN5G中，BN52+N5G2=BG2
∴(126513)2+(36513x)2=(8−x)2
解得，x1=12,x2=−7（舍去）
∴BG=8−12=152
∵12BG×N5F=12BN5·N5G
∴N5F=BN5·N5GBG=126513×36513152=1213
由勾股定理可得，BF=BN52−N5F2=9613
∴OF=BF−BO=5713
∴N55713,−1213
同理可得N61713,−3213，
综上，点N的坐标为：N1（−173，163），N2（-9，12），N3（−13，−163），N43,−12，N55713,−1213，N61713,−3213．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键. 函数
图象
所在象限
增减性
三象限
在同一象限内，随的增大而减小
四象限
在同一象限内，随的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
xkg
……
0.25
0.5
1
2
4
……
ycm
……
……
xkg
……
0.25
0.5
1
2
4
……
ycm
……
4
2
1
12
14
……