常州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析）

这是一份常州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．全等图形是指两个图形（）
A．面积相等B．形状一样C．能完全重合D．周长相同
3．下列各组线段中，能组成直角三角形是（）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．如图，已知，若用“”证明，还需加上条件（）
A．B．C．D．
5．如图，在由个相同的小正方形拼成的网格中，（）
A．B．C．D．
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD长为（）
A．3B．4C．5D．6
7．已知直角三角形的面积为15，两直角边的和为11，则它的斜边长的平方为（ ）
A．61B．62C．63D．64
8．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．如图，四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，若，，则的大小为______°．
第9题图第10题图
10．如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为___________．
11．如图，是△ABC的高，．若，则的度数是_________．
第11题图第13题图
12．等腰三角形一边长，另一边长，它的第三边长为________．
13．如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为_______．
14．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为_____．
第15题图第16题图
16．如图，△PAB中，，M、N、K分别是，，上点，且，，若，则的大小为_____．
17．在△ABC中，，．若点P在边AC上移动，则线段BP的最小值是 ________ ．
18．△ABC中，，则中线的取值范围是____________．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．如图，△ABC中，，求△ABC的面积．
20．小明在做数学作业时，遇到这样一个问题: 如图，，，请说明的道理．小明动手测量一下，发现确实相等，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由．
21．如图，在△ABC中，，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，且，，求∠CDE的度数．
22．已知：如图，点C、D、B、F在一条直线上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AB＝CD，CE＝AF．
求证：（1）△ABF≌△CDE；
（2）CE⊥AF．
23．1876年，美国第20任总统仰菲尔德利用以下图形给出了一种证明勾股定理的方法，你能利用它证明勾股定理吗？写出你的证明过程．（提示：如图三个三角形均是直角三角形）
24．证明“直角三角形中，角所对的边是斜边的一半．”如图，△ABC中，，．
求证：．
25．如图，已知P是直线l外一点，用两种不同的方法求作一点Q，使得点Q到点P的距离和点Q到直线l的距离相等．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）
26．定义：若过三角形的一个顶点作射线与其对边相交，将这个三角形分成的两个三角形中有等腰三角形，那么这条射线就叫做原三角形的“等腰分割线”．
（1）中，，，．
①如图1，若O为的中点，则射线_____△ABC的等腰分割线（填“是”或“不是”）
②如图2，已知△ABC的一条等腰分割线交边于点P，且，请求出的长度．
（2）如图3，△ABC中，为边上的高，F为的中点，过点F的直线l交于点E，作，，垂足为M，N，，，且．若射线为△ABC的“等腰分割线”，求的最大值．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．B
【解析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；故选：B．
2．C
【解析】利用全等图形的定义可得答案．
【详解】解：全等图形是指两个图形能完全重合．故选：C．
【点睛】本题考查全等图形的概念，理解概念是解答的关键．
3．B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断即可．
【详解】A、，不能组成直角三角形；
B、，能组成直角三角形；
C、，不能组成直角三角形；
D、，不能组成直角三角形；
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，若一个三角形中两个较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形．
4．C
【解析】
【分析】根据已知，，添加条件，即可用“”证明，即可求解．
【详解】解：补充条件，
在与中
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
5．C
【解析】利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示，连接，
在和中，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键．
6．A
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】设两直角边长为，从而可得，，再利用完全平方公式和勾股定理求解即可得．
【详解】解：设两直角边长为，
∵直角三角形的面积为15，两直角边的和为11，
，，即，
则它的斜边长的平方为，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、完全平方公式，熟练掌握勾股定理是解题关键．
8．C
【解析】
【详解】如图，作出每一个三角形长度为8的边上的高，根据垂线段最短可得选项A、B、D中，长度为8的边上的高都小于6；
选项C中，因，这个三角形为直角三角形，所以长度为8的边上的高为6，
因此在这4个选项中，底都为8时，选项C的高最大，所以选项C的面积最大，
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
9．140
【解析】
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据轴对称的性质可得，由此即可得．
【详解】解：，，
，
∵四边形是轴对称图形，直线是它的对称轴，
，
，
故答案：140．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
10．3
【解析】
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：由全等三角形的性质得：，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
11．##35度
【解析】
【分析】根据题意，得，则，根据三角形的内角和，则，求出的角度，再根据，即可．
【详解】∵是的高，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握三角形的高，三角形的内角和定理．
12．12
【解析】
【分析】分两种情况：①腰长为和②腰长为，再根据三角形的三边关系即可得．
【详解】解：①当腰长为时，
这个等腰三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系；
②当腰长为时，
这个等腰三角形的三边长分别为，，，此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
所以它的第三边长为，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．
13．．
【解析】
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
正方形的面积，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
14．11
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可.
【详解】解：∵这两个三角形全等
∴x=6，y=5
∴x + y =11
故答案为11.
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键.
15．5
【解析】
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，
∴DE=AB=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16．80
【解析】
【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：80．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．
17．
【解析】
【分析】作AD⊥BC于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出AD，根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，再利用三角形的面积求解即可．
【详解】解：作AD⊥BC于点D，如图，
∵，，
∴BD=CD=3，AD=，
根据垂线段最短可知：当BP⊥AC时，BP最小，
则由S△ABC=，可得，解得；
即线段BP的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
18．
【解析】
【分析】延长到，使，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：如图，延长到，使，
∵是边上的中线，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中点加倍延，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共64分）
19．24
【解析】
【分析】先根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：∵中，，
，
是直角三角形，，
则的面积为．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．
20．见解析
【解析】
【分析】连接，利用证明可证得结论．
【详解】解：连接，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，添加辅助线证明三角形全等是解答的关键．
21．25°
【解析】
【分析】由题意知，，根据等边对等角，三角形内角和定理求出的值，进而可求出的值．
【详解】解：∵，AD是中线，
∴，
∵
∴
∴
∴的值为25°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形的性质．
22．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意由题干条件直接利用HL即可证得结论；
（2）由全等三角形的性质可求得∠BAF＝∠DCE，再利用直角三角形的性质可求得∠AEG＝90°，即可证得结论．
【详解】解：（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠CDE＝90°，
在Rt△ABF和Rt△CDE中
．
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
（2）∵△ABF≌△CDE（已证），
∴∠BAF＝∠DCE，
∵∠BAF+∠CGB＝90°，
∴∠BAF+∠AGE＝90°，
∴∠AEG＝90°，
即CE⊥AF．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
23．见解析
【解析】
【分析】根据直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和即可得证．
【详解】证明：由图可知，直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，
则，
所以，
所以，
即一个直角三角形的两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据图形发现直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和是解题关键．
24．证明见解析
【解析】
【分析】在上截取，连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，由此即可得证．
【详解】证明：如图，在上截取，连接，
中，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
25．见详解
【解析】
【分析】方法一：过P点作直线l的垂线PA，交直线l于A点，再作线段PA的垂直平分线，垂足为Q点；
方法二：在直线l上任意取点B，过B点作直线l的垂线BC，然后作PB的垂直平分线交BC于点Q．
【详解】如图，
点Q即为所作．
证明：
方法一：根据作图可知：直线，，
又有：点Q到直线l的距离为，点Q到点P的距离为，
∴点Q满足要求；
方法二：连接，如图，
根据作图可知：直线，，
又有：点Q到直线l的距离为，点Q到点P的距离为，
∴点Q满足要求．
【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了点到直线的距离．
26．（1）①是；②；（2）的最大值为4．
【解析】
【分析】（1）①由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
②设，由勾股定理得出，解方程可得出答案；
（2）过点A作于点G．由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出．由直角三角形的性质可得出，据此计算则可得出答案．
小问1详解】
解：①∵中，，O是的中点，
∴，
∴射线是的等腰分割线，
故答案为：是；
②设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：如图3，过点A作于点G．
∵为边上的高，
∴．
∵，
∴不是等腰三角形．
∵为的“等腰分割线”，
∴是等腰三角形，且．
∵，
∴，
∵于M，
∴．
∵F为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴的最大值为4．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题。