南京市联合体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析）

这是一份南京市联合体2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
1．下面四个企业的标志是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，则的对应边是（ ）
A．B．C．D．
3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．3， 4，5B．2，3，4C．4，6，7D．5，11，12
4．如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么x的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点在的平分线上（不与点重合），于点，，若是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，，点P是内一定点，并且，点M、N分别是射线上异于点O的动点，当的周长取最小值时，点O到线段的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
9．已知，其中，则_______．
10．一个等腰三角形的边长分别是4cm和7cm，则它的周长是______．
11．如图，两个三角形的边和角的大小如图所示，则直接判断这两个三角形全等的依据是______．
12．在等腰中，有一个内角，则顶角为______．
13．如图，在中，，，，则__________.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是__________．
15．如图，为等边三角形，为等腰直角三角形，且，则______º．
16．把长方形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和 D重合，折痕EF，若AB=3cm， BC=5cm，则线段DE=_________cm.
17．如图，D为内一点，平分，，若，则______．
18．如图，，在中，，点A，B分别在边上运动，形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．）
19．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，．求证：．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E．若∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
21．如图，的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形．
（1）作出关于直线l对称的三角形；
（2）图中与全等且有公共边的格点三角形共有个（不包括）．
22．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是:如图所示，在中，，求的长．
23．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）判断线段AE与CD的关系，并说明理由；
（2）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有 .（请写序号，少选、错选均不得分）．
24．如图①，要在一条笔直路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点，线与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的，为了让交点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明，请完成这个证明；
（2）如图③，已知四边形，请用直尺和圆规在边上求作一点P，使（不写作法，保留作图痕迹）．
25．[问题背景]
如图①，将沿折痕翻折，使点落在边上点处，已知，，求的度数；
[变式运用]
如图②，中，，求证：．
26．（1）如图①，在中，为边上的中线，则的取值范围是；（提示：延长到点E，使，连接）
（2）如图②，在中，，D是边上的中点，，交于点E，交于点F，连接，求证；
（3）如图③，在中，点D，E分别是边，中点，连接，求证．（简述解题思路即可）
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
1．D
【解析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可。
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键。
2．A
【解析】根据全等三角形的性质判定即可．
【详解】∵，∴，故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
3．A
【解析】
【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】A、∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；
B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵42+62≠72，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；
D、∵52+112≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；
故选：A．
【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．
4．A
【解析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D，∴，∴，
∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
5．C
【解析】根据全等三角形对应角相等，可以求得的值．
【详解】解：图中的两个三角形是全等三角形，
∴两个三角形中边长为4和7的边的夹角相等，∴，故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质解答．
6．C
【解析】
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用的面积列式计算即可得解．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式的运用．解题的关键是作辅助线，利用角平分线的性质进行计算．
7．D
【解析】
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为，再根据垂线段最短解答．
【详解】解：∵点在的平分线上，，，
∴点到边的距离等于，
∴点到的距离为，
∵点是边上的任意一点，
∴的最小值为3，即．
故选：D．
【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接与、分别交于，则的长即为周长的最小值，连接、，作，利用含30度角直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接与、分别交于，
则，
周长为
则的长即为周长的最小值，
连接、，作，
由对称定可得：，，
∵
∴
∵，
∴，
∴
∴
故选：B．
【点睛】此题考查了利用轴对称求最短距离，通过轴对称确定周长最小值的位置是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
9．3
【解析】根据全等三角形的性质，对应边相等，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
10．15或18厘米
【解析】
【分析】由等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，故其三边为4、4、7或4、7、7，分别求出其周长即可.
【详解】∵一个等腰三角形的边长分别是 4cm和 7cm，
∴第三边可能为4cm或7cm，
即三边为4、4、7或4、7、7，
求得周长分别为15cm,18cm,
故填15或18.
【点睛】此题主要考查等腰三角形的三边关系，分情况讨论是易错点.
11．边角边##
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答．
【详解】解：根据图形两个三角形长度为3的边和长度为4的边对应相等，以及他们的夹角都为，
故可得判断这两个三角形全等的依据是边角边，
故答案为：边角边．
【点睛】本题考查了判定三角形全等的条件，熟知判定三角形全等有五种条件是解题的关键．
12．或
【解析】
【分析】根据等腰中，有一个内角为，并没说明此内角是顶角还是底角，故需分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵等腰中，有一个内角为，
∴当为顶角时，其顶角为；
当为底角时，其顶角为，
故答案为：或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内角和为和等腰三角形等这对等角的性质进行分类讨论是解题的关键．
13．30.
【解析】利用勾股逆定理推出∠C=90°，再利用三角形的面积公式，进行计算即可.
【详解】解：∵，，
又∵
∴
∴∠C=90°
∴
故答案为30
【点睛】本题考查了勾股逆定理以及三角形的面积公式，掌握勾股定理是解题的关键.
14．20°
【解析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
．
故答案为：20°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．
15．45
【解析】
【分析】由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为45．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
16．3.4
【解析】
【分析】根据折叠的性质知：BF=DF．在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得DF的长；证得DE=DF，即可得到结论．
【详解】解：由折叠知，BF=DF．
在Rt△DCF中，DF2=（5﹣DF）2+32，解得：DF=3.4cm，由折叠的性质可得：∠BFE=∠DFE．
∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠DFE=∠DEF，∴DE=DF=3.4cm．
故答案为3.4．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠以及勾股定理，解题的关键是求出DF的长．
17．5
【解析】
【分析】延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度．
【详解】解：延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
18．7
【解析】
【分析】作，连接，根据等腰三角形的性质得，再利用勾股定理计算出，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得，则利用三角形三边的关系得到当点C、O、H共线时取等号，即可求解．
【详解】解：作，连接，如图，
∵，
∴，
在中，，
在中，，
∵（当点C、O、H共线时取等号），
∴点C到点O最小距离为，
故答案为：7．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系.能通过三角形的三边关系得出当点C、O、H共线时的最短值为是解决此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．）
19．见解析
【解析】
【分析】先根据得出，再根据证明即可得出答案．
详解】证明：∵，
∴，
即，
∵在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
20．65°
【解析】
【分析】首先根据等腰三角形的三线合一的性质得到AD平分∠BAC，然后求得∠DAC的度数，从而求得答案．
【详解】解：∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAC＝25°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是了解等腰三角形三线合一的性质．
21．（1）见解析； （2）3
【解析】
【分析】（1）作出点A、B关于直线l的对称点，然后顺次连接即可；
（2）画出图中与全等且有公共边的格点三角形即可得出答案．
【小问1详解】
解：为所求作的三角形，如图所示：
【小问2详解】
解：图中与全等且有公共边格点三角形有、、，共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，三角形全等的判定，解题的关键是作出对应点的位置．
22．AC=4.55
【解析】
【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理建立方程即可求出AC．
【详解】∵AC+AB=10
∴AB=10-AC
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即
解得AC=4.55
【点睛】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．
23．（1），理由见解析；（2）②
【解析】
【分析】（1）先证明，利用边角边证明，进而即可求证，，进而根据，即可证明；
（2）作于，于，根据角平分线的性质以及全等的性质可得，进而可得结论①，假设②成立利用反证法求证即可．
【详解】（1），理由如下，
∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
,
，BE＝BD，
（2）结论：②，理由如下：
如图，作于，于，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则,根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的的性质与判定，理解角平分线的性质与判定是解题的关键．
24．（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据轴对称得到，，结合三角形三边关系直接求解即可得到证明；
（2）作点的对称点，连接交于一点即可得到答案；
【小问1详解】
证明：连接，
∵点A与关于l对称，
∴l垂直平分，
∴，，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：作点的对称点，连接交于一点即为P点，如图所示，
∵点的对称点，
∴，
∵，
∴，
∴交于一点即为P点，
【点睛】本题考查轴对称的性质，垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等，解题的关键是根据轴对称性质及两点间线段距离最短找到最短距离点．
25．问题背景：；变式运用：证明见解析
【解析】
【分析】①根据折叠的性质可得，继而得到，再根据三角形外角的性质可得结论；
②利用①的方法，将沿折痕翻折，点的对应点为点，可得，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得证．
【详解】①解：∵沿折痕翻折，，，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为；
②证明：如图，沿折痕翻折，点的对应点为点，
∵，
∴点落在边上，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查翻折变换，折叠的性质，全等三角形的性质，三角形外角的性质．掌握折叠的性质和全等三角形的性质是解题关键．
26．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）证明，推出，根据三角形三边关系可得结论．
（2）证明：延长到点G，使，连接，推出，得到，进而证得，由，推出；
（3）延长到点F，使，连接，得到，推出
，再证明，即可推出．
【详解】（1）延长到点E，使，连接，
在和中
∴，
∴，
∵，即，
∴；
（2）证明：延长到点G，使，连接，
∵D是边上的中点
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴
即
∴
∵
∴垂直平分
∴
∴；
（3）延长到点F，使，连接
∵
∴
∴
∴，
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，倍长中线法的应用，正确掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键。