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中考数学二轮重难点复习讲义模型35 垂美四边形模型（2份打包，原卷版+解析版）
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这是一份中考数学二轮重难点复习讲义模型35 垂美四边形模型（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考数学二轮重难点复习讲义模型35垂美四边形模型原卷版doc、中考数学二轮重难点复习讲义模型35垂美四边形模型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB2+CD2＝AD2+BC2
【证明】∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2
方法点拨
①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；
②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形
例题精讲
【例1】．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，则BC＝ 13 ．
解：设AC，BD交于点O，
∵AC⊥BD，AB＝5，AD＝5，CD＝12，
∴OA2+OB2＝75，OA2+OD2＝50，OD2+OC2＝144，BC2＝OB2+OC2，
∴OA2+OB2+OD2+OC2﹣（OA2+OD2）＝OB2+OC2＝169，即BC2＝169，
∴BC＝13．
故答案为：13．
变式训练
【变式1-1】．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2
解：连接DE，如图，
设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴＝＝＝，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②
在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），
∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【变式1-2】．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：
（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC
（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；
（3）在（2）的条件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．
（1）证明：∵AB//CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴，
∴，
∴弧BD＝弧AC；
（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，作直径CF，连接FA，FD，如图：
∵OE⊥CD于点E，
∴E为CD中点，CE＝DE＝CD×4＝2，
∵圆O的半径为3，
∴OE＝＝＝，
∵O为CF中点，E为CD中点，
∴DF＝2OE＝2，
∵CF是⊙O直径，
∴∠CAF＝90°，即AC⊥AF，
∵AC⊥BD，
∴BD∥AF．
∴∠ADB＝∠FAD，
∴＝，
∴AB＝DF＝2；
（3）解：∵AC⊥BD于点P，
∴AB2＝PA2+PB2，CD2＝PC2+PD2，
∴PA2+PB2+PC2+PD2＝AB2+CD2，
由（2）知AB＝2，CD＝4，
∴AB2+CD2＝（2）2+42＝36，
∴PA2+PB2+PC2+PD2＝36．
【例2】．已知点P是矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD＝ ．
证明：过点P作EF⊥AB交AD于点F，DC于点E；过点P作GH⊥AD交AD于点G，CB于点H．则FA＝DE，FP＝HB，CH＝EP，HP＝EC．
∴PA2+PC2＝FA2+FP2+CH2+HP2
＝DE2+HB2+EP2+HP2
＝PB2+PD2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
∴22+42＝32+PD2，
∴PD＝．
故答案为．
变式训练
【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝ 23 ．
解：∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，
∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2，
∵AD＝，BC＝3，
∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23，
∴AB2+CD2＝23，
故答案为：23．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝ ．
解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，
∴AO＝2OD，OB＝2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，
∴BO2+AO2＝4，BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝5，
∴AB＝＝．
故答案为．
1．两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2的值．
解：∵∠BCD＝∠KCE＝90°，
∴∠BCK＝∠DCE，
又∵＝，＝，
∴＝，
∴△BCK∽△DCE，
∴∠CBK＝∠CDE，
∵∠CBK+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠CDE+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∴OK2+DO2＝DK2，BO2+OE2＝BE2，
∴BE2+DK2＝OK2+EO2+DO2+BO2＝BD2+KE2＝AB2+AD2+KF2+KE2＝36+64+36+20.25＝156.25．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2＝ 40 ．
解：在Rt△ABO与Rt△CDO中，由勾股定理得，
AB2＝BO2+AO2，
CD2＝CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝BO2+CO2+AO2+DO2，
在Rt△BOC与Rt△AOD中，由勾股定理得，
BC2＝BO2+CO2，
AD2＝AO2+DO2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2＝62+22＝40，
故答案为：40．
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC边上的点，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，则MN＝ ．
解：过M，N分别作AC的垂线MD和NE，作NO⊥MO，D、E、O为垂足，则MD＝2NE，AE＝2AD，如图，
可得AM2＝AD2+MD2，AN2＝AE2+NE2，
解得AD2＝，NE2＝，
∵EN为△CDM的中位线，所以MD＝2NE，
∵NO⊥MO，MD⊥ED，
∴四边形ODEN为平行四边形，即OD＝NE，
∴MO＝NE，ON＝DE，
∴MN＝＝＝．
故答案为．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝ ．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如图2，延长CB交DE于M，过点D作DN⊥CB于N，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝∠EBN＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，AC＝＝3，
∴∠BAC＝∠DBN，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
∴BC＝DN＝BE＝4，AC＝BN＝3，
在△DNM和△EBM中，
，
∴△DNM≌△EBM（AAS），
∴MN＝MB＝BN＝×3＝，MD＝ME＝DE，
在Rt△DNM中，∠MND＝90°，
∴MD＝＝＝，
∴DE＝2MD＝；
（3）如图3，∠ACB≠90°，分别过点A、D作AM⊥CB于点M，DN⊥CB于点N，连接DC，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，
∴∠AMB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，
∴∠BAM＝∠DBN，
在△AMB和△BND中，
，
∴△AMB≌△BND（AAS），
∴BM＝DN，AM＝BN，
设AM＝BN＝x，则CN＝BC+BN＝4+x，
∵点G、H分别是AD、AC中点，连接GH、DC，GH＝2，
∴DC＝2GH＝4，
在Rt△DNC和Rt△DNB中，由勾股定理得：
DN2＝DB2﹣BN2，DN2＝DC2﹣CN2，
∴DB2﹣BN2＝DN2＝DC2﹣CN2，即（5）2﹣x2＝（4）2﹣（4+x）2，
解得：x＝，即AM＝BN＝x＝，
∴S△ABC＝BC•AM＝×4×＝．
7．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 菱形，正方形 ．
（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由如下：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）连接CG，BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
又∵∠BMC＝∠AME，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG．
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
8．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．
解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝4，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE＝，
∴r＝＝＝4，
∴⊙O的半径为4．
9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的中心．
（1）写出一种你学过的和美四边形 正方形 ；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是 A ．
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定
（3）如图1，点O是和美四边形ABCD的中心，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接OE、OF、OG、OH，记四边形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面积为S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由）
（4）如图2，四边形ABCD是和美四边形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的长．
解：（1）正方形是学过的和美四边形，
故答案为：正方形；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，
故选：A．
（3）由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，
则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴△AOE的面积＝△BOE的面积，△BOF的面积＝△COF的面积，△COG的面积＝△DOG的面积，△DOH的面积＝△AOH的面积，
∴S1+S3＝△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积＝S2+S4；
（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，
∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2﹣BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2﹣CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，
∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2﹣BO2+DC2﹣CO2＝AB2+DC2﹣BC2＝32+42﹣22＝21，
即可得AD＝．
10．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形： 菱形 ， 正方形 ．
（2）性质探究：
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）问题解决：
如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰Rt△ACG（∠GAC＝90°）和等腰Rt△ABE（∠BAE＝90°），连接GE，GB，CE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长．
解：（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，
∴菱形和正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴OA2+OB2＝AB2，OD2+OC2＝CD2，
∴OA2+OB2+OD2+OC2＝CD2+AB2，
∴AD2+BC2＝CD2+AB2；
（3）∵∠GAC＝∠BAE，
∴∠GAB＝∠CAE，
∵AC＝AG，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
设CE与BG交于H点，CE与AB交于O点，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠BHC＝∠OAE＝90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝BC2+EG2，
∵AC＝2，AB＝5．
由勾股定理得，CG2＝8，BE2＝50，BC2＝21，
∴EG2＝8+50﹣21＝37，
∵EG＞0，
∴EG＝．
11．如图1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1＝S2+S3．
（1）如图2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）
（2）如图3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．
（3）四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1、S2、S3和S4之间的关系是 S1+S3＝S2+S4 ．
解：（1）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；
（2）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、S3表示，S1、S2、S3之间的关系为S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3．
（3）由（2）可知：S1+S3＝S2+S4
故答案为：S1+S3＝S2+S4．
12．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 正方形 ；
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，经过点A、B的圆交AC边于点D，交BC边于点E，连结DE．若四边形ABED为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在△ABC中，经过A、B的圆交AC边于点D，交BC于点E，连结AE，BD交于点F．若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC＝∠ADP，连结PE交BD于点G，连结PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．求证：四边形ABED为圆美四边形．
（1）解：根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形，
故答案为：正方形；
（2）解：连接BD，AE，
∵∠BAC＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝∠CED＝90°，
∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴＝，
∴AD＝DE，
在等腰直角△CDE中，CD＝DE，
∴CD＝AD，
∴AC＝（+1）AD，
∵AB＝AC，AD＝DE，
∴＝+1；
（3）证明：∵PA⊥PD，PB⊥PE，
∴∠APD＝∠BPE＝90°，
∵∠PBC＝∠ADP，
∴△APD∽△EPB，
∴＝，
∴＝，
又∵∠APD+∠DPE＝∠BPE+∠DPE，
即∠APE＝∠DPB，
∴△APE∽△DPB，
∴∠AEP＝∠DBP，
又∵∠DBP+∠PGB＝90°，∠PGB＝∠EGF，
∴∠AEP+∠EGF＝90°，
即∠BFE＝90°，
∴BD⊥AE，
又∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴四边形ABED为圆美四边形．
13．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有这样的数量关系：AB2+CD2＝AD2+BC2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证）
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
解：（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：如图1中，设AC交BD于点O．
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
14．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 菱形和正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
15．数学活动：图形的变化
问题情境：如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．
（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的关系；
（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角△ABC改为Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将等腰直角△ECD改为Rt△ECD，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3．试猜想BD2+AE2是否为定值，结合图（3）说明理由．
解：（1）∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠CEB＝∠CDA，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠CDA＝90°，
∴BE⊥AD，
（2）BE＝CD，BE⊥AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴AC＝BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD＝90°，
∴CD＝CE，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，
∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴BE⊥AD；
即：BE＝AD，BE⊥AD；
（3）是定值，
理由：∵∠ECD＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB+ACE＝∠ECD+∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝ACD，
∵AC＝8，BC＝6，CD＝4，CE＝3，
∴＝，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BE⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴BD2＝OB2+OD2，AE2＝OA2+OE2，AB2＝OA2+OB2，DE2＝OE2+OD2，
∴BD2+AE2＝OB2+OD2+OA2+OE2＝AB2+DE2，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝100，
在Rt△ECD中，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3，
∴DE2＝25，
∴BD2+AE2＝AB2+DE2＝125．
16．【概念认识】
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，若AB⊥AD，AB＝4cm，cs∠ABD＝，求AC的长度．
【数学理解】
（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在⊙O中，已知AB是⊙O的弦，只需作OD⊥OA、OC⊥OB，分别交⊙O于点D和点C，即可得到垂等四边形ABCD，请你写出证明过程．
【问题解决】
（3）如图3，已知A是⊙O上一定点，B为⊙O上一动点，以AB为一边作出⊙O的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E，⊙O的半径为2，当点E到AD的距离为时，求弦AB的长度．
解：（1）∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴cs∠ABD＝，
∵AB＝4cm，cs∠ABD＝，
∴BD＝5cm，
∴AC＝5cm；
（2）如图2，连结AC、BD，AC、BD相交于点E，
∵OD⊥OA、OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∠BDC＝∠BOC＝45°，
∴∠DEC＝90°，
即AC⊥BD，
∵∠AOC＝∠AOD+∠DOC，∠BOD＝∠BOC+∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
又∵AO＝DO，CO＝BO，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABE＝∠BAE＝（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴△AOD和△ABE是等腰直角三角形，
∴AD＝OA，
∵OA＝2，
∴AD＝4，
过点E作EF⊥AD于点F，
∴∠EFD＝∠EFA＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝90°，
∵∠FEA+∠FED＝90°，
∴∠FED＝∠FAE，
∴Rt△DEF∽Rt△EAF，
∴＝，
∴EF2＝DF•AF，
设DF＝x，则AF＝4﹣x，
∵EF＝，
∴3＝x（4﹣x），
∴x1＝1，x2＝3，
∴AF＝3或1，
∵AE＝，
∴AE＝2或2，
∵AB＝AE，
∴AB＝2或2．
结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB2+CD2＝AD2+BC2
【证明】∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得：
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2
方法点拨
①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；
②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形
例题精讲
【例1】．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，则BC＝ 13 ．
解：设AC，BD交于点O，
∵AC⊥BD，AB＝5，AD＝5，CD＝12，
∴OA2+OB2＝75，OA2+OD2＝50，OD2+OC2＝144，BC2＝OB2+OC2，
∴OA2+OB2+OD2+OC2﹣（OA2+OD2）＝OB2+OC2＝169，即BC2＝169，
∴BC＝13．
故答案为：13．
变式训练
【变式1-1】．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（ ）
A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2
解：连接DE，如图，
设EF＝x，DF＝y，
∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE＝AB，
∴＝＝＝，
∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，
∵AD⊥BE，
∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，
在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①
在Rt△AEF中，x2+4y2＝b2，②
在Rt△BFD中，4x2+y2＝a2，③
②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），
∴4x2+4y2＝（a2+b2），④
①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，
即a2+b2＝5c2．
故选：A．
【变式1-2】．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：
（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC
（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；
（3）在（2）的条件下求PA2+PB2+PC2+PD2的值．
（1）证明：∵AB//CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴，
∴，
∴弧BD＝弧AC；
（2）解：过点O作OE⊥CD于点E，作直径CF，连接FA，FD，如图：
∵OE⊥CD于点E，
∴E为CD中点，CE＝DE＝CD×4＝2，
∵圆O的半径为3，
∴OE＝＝＝，
∵O为CF中点，E为CD中点，
∴DF＝2OE＝2，
∵CF是⊙O直径，
∴∠CAF＝90°，即AC⊥AF，
∵AC⊥BD，
∴BD∥AF．
∴∠ADB＝∠FAD，
∴＝，
∴AB＝DF＝2；
（3）解：∵AC⊥BD于点P，
∴AB2＝PA2+PB2，CD2＝PC2+PD2，
∴PA2+PB2+PC2+PD2＝AB2+CD2，
由（2）知AB＝2，CD＝4，
∴AB2+CD2＝（2）2+42＝36，
∴PA2+PB2+PC2+PD2＝36．
【例2】．已知点P是矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD＝ ．
证明：过点P作EF⊥AB交AD于点F，DC于点E；过点P作GH⊥AD交AD于点G，CB于点H．则FA＝DE，FP＝HB，CH＝EP，HP＝EC．
∴PA2+PC2＝FA2+FP2+CH2+HP2
＝DE2+HB2+EP2+HP2
＝PB2+PD2，
∴PA2+PC2＝PB2+PD2，
∴22+42＝32+PD2，
∴PD＝．
故答案为．
变式训练
【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝ 23 ．
解：∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，
∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2，
∵AD＝，BC＝3，
∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23，
∴AB2+CD2＝23，
故答案为：23．
【变式2-2】．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝ ．
解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，
∴BD＝BC＝2，AE＝AC＝，点O为△ABC的重心，
∴AO＝2OD，OB＝2OE，
∵BE⊥AD，
∴BO2+OD2＝BD2＝4，OE2+AO2＝AE2＝，
∴BO2+AO2＝4，BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝，
∴BO2+AO2＝5，
∴AB＝＝．
故答案为．
1．两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE2+DK2的值．
解：∵∠BCD＝∠KCE＝90°，
∴∠BCK＝∠DCE，
又∵＝，＝，
∴＝，
∴△BCK∽△DCE，
∴∠CBK＝∠CDE，
∵∠CBK+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠CDE+∠KBD+∠BDC＝90°，
∴∠DOB＝90°，
∴OK2+DO2＝DK2，BO2+OE2＝BE2，
∴BE2+DK2＝OK2+EO2+DO2+BO2＝BD2+KE2＝AB2+AD2+KF2+KE2＝36+64+36+20.25＝156.25．
2．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2＝ 40 ．
解：在Rt△ABO与Rt△CDO中，由勾股定理得，
AB2＝BO2+AO2，
CD2＝CO2+DO2，
∴AB2+CD2＝BO2+CO2+AO2+DO2，
在Rt△BOC与Rt△AOD中，由勾股定理得，
BC2＝BO2+CO2，
AD2＝AO2+DO2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2＝62+22＝40，
故答案为：40．
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC边上的点，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，则MN＝ ．
解：过M，N分别作AC的垂线MD和NE，作NO⊥MO，D、E、O为垂足，则MD＝2NE，AE＝2AD，如图，
可得AM2＝AD2+MD2，AN2＝AE2+NE2，
解得AD2＝，NE2＝，
∵EN为△CDM的中位线，所以MD＝2NE，
∵NO⊥MO，MD⊥ED，
∴四边形ODEN为平行四边形，即OD＝NE，
∴MO＝NE，ON＝DE，
∴MN＝＝＝．
故答案为．
4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为 ．
解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴AE＝CF＝×2＝1，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵∠DHP＝∠FHC，
∵DH＝FH，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝1，
∴AP＝AD﹣PD＝1，
∴PE＝＝，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴GH＝EP＝．
5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，
理由如下：
如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
6．如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．
（2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝ ．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝OB2+OC2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OC2+OD2，BC2+AD2＝OB2+OC2+OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2；
（2）如图2，延长CB交DE于M，过点D作DN⊥CB于N，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝∠EBN＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，AC＝＝3，
∴∠BAC＝∠DBN，
在△ACB和△BND中，
，
∴△ACB≌△BND（AAS），
∴BC＝DN＝BE＝4，AC＝BN＝3，
在△DNM和△EBM中，
，
∴△DNM≌△EBM（AAS），
∴MN＝MB＝BN＝×3＝，MD＝ME＝DE，
在Rt△DNM中，∠MND＝90°，
∴MD＝＝＝，
∴DE＝2MD＝；
（3）如图3，∠ACB≠90°，分别过点A、D作AM⊥CB于点M，DN⊥CB于点N，连接DC，
又∵等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD，AB＝5，BC＝4，
∴∠AMB＝∠BND＝∠CBE＝∠ABD＝90°，AB＝BD＝5，BC＝BE＝4，
∴∠ABC+∠BAM＝90°，∠ABC+∠DBN＝90°，
∴∠BAM＝∠DBN，
在△AMB和△BND中，
，
∴△AMB≌△BND（AAS），
∴BM＝DN，AM＝BN，
设AM＝BN＝x，则CN＝BC+BN＝4+x，
∵点G、H分别是AD、AC中点，连接GH、DC，GH＝2，
∴DC＝2GH＝4，
在Rt△DNC和Rt△DNB中，由勾股定理得：
DN2＝DB2﹣BN2，DN2＝DC2﹣CN2，
∴DB2﹣BN2＝DN2＝DC2﹣CN2，即（5）2﹣x2＝（4）2﹣（4+x）2，
解得：x＝，即AM＝BN＝x＝，
∴S△ABC＝BC•AM＝×4×＝．
7．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 菱形，正方形 ．
（2）性质探究：如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，试探究其两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，并写出证明过程．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE交AB于点M，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由如下：连接AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）连接CG，BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
又∵∠BMC＝∠AME，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG．
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
8．定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是 ④ ；（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．
解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；
②矩形对角线相等但不一定垂直，故不是垂等四边形；
③菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故不是垂等四边形；
④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
故选：④；
（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，
∴AC∥DE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC＝DE，
又∵∠DBC＝45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BD＝DE，
∴BD＝AC，
又∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）如图，过点O作OE⊥BD，连接OD，
∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
又∵垂等四边形的面积是24，
∴AC•BD＝24，
解得，AC＝BD＝4，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠DOE＝60°，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD＝r，DE＝，
∴r＝＝＝4，
∴⊙O的半径为4．
9．定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形的中心．
（1）写出一种你学过的和美四边形 正方形 ；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是 A ．
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定
（3）如图1，点O是和美四边形ABCD的中心，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，连接OE、OF、OG、OH，记四边形AEOH、BEOF、CGOF、DHOG的面积为S1、S2、S3、S4，用等式表示S1、S2、S3、S4的数量关系（无需说明理由）
（4）如图2，四边形ABCD是和美四边形，若AB＝3，BC＝2，CD＝4，求AD的长．
解：（1）正方形是学过的和美四边形，
故答案为：正方形；
（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，
故选：A．
（3）由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，
则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴△AOE的面积＝△BOE的面积，△BOF的面积＝△COF的面积，△COG的面积＝△DOG的面积，△DOH的面积＝△AOH的面积，
∴S1+S3＝△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积＝S2+S4；
（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，
∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2﹣BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2﹣CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，
∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2﹣BO2+DC2﹣CO2＝AB2+DC2﹣BC2＝32+42﹣22＝21，
即可得AD＝．
10．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）写出2个所学的特殊四边形是垂美四边形： 菱形 ， 正方形 ．
（2）性质探究：
已知：如图1，四边形ABCD是垂美四边形，对角线AC、BD相交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）问题解决：
如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作等腰Rt△ACG（∠GAC＝90°）和等腰Rt△ABE（∠BAE＝90°），连接GE，GB，CE，已知AC＝2，AB＝5．求GE的长．
解：（1）∵菱形和正方形的对角线互相垂直，
∴菱形和正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴OA2+OB2＝AB2，OD2+OC2＝CD2，
∴OA2+OB2+OD2+OC2＝CD2+AB2，
∴AD2+BC2＝CD2+AB2；
（3）∵∠GAC＝∠BAE，
∴∠GAB＝∠CAE，
∵AC＝AG，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
设CE与BG交于H点，CE与AB交于O点，
∵∠AOE＝∠BOC，
∴∠BHC＝∠OAE＝90°，
∴BG⊥CE，
∴四边形BCGE是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝BC2+EG2，
∵AC＝2，AB＝5．
由勾股定理得，CG2＝8，BE2＝50，BC2＝21，
∴EG2＝8+50﹣21＝37，
∵EG＞0，
∴EG＝．
11．如图1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1＝S2+S3．
（1）如图2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）
（2）如图3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．
（3）四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形的边长为边长向外作四个正方形，面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1、S2、S3和S4之间的关系是 S1+S3＝S2+S4 ．
解：（1）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；
（2）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、S3表示，S1、S2、S3之间的关系为S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3．
（3）由（2）可知：S1+S3＝S2+S4
故答案为：S1+S3＝S2+S4．
12．定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
（1）请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称 正方形 ；
（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，经过点A、B的圆交AC边于点D，交BC边于点E，连结DE．若四边形ABED为圆美四边形，求的值；
（3）如图2，在△ABC中，经过A、B的圆交AC边于点D，交BC于点E，连结AE，BD交于点F．若在四边形ABED的内部存在一点P，使得∠PBC＝∠ADP，连结PE交BD于点G，连结PA，若PA⊥PD，PB⊥PE．求证：四边形ABED为圆美四边形．
（1）解：根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形，
故答案为：正方形；
（2）解：连接BD，AE，
∵∠BAC＝90°，
∴BD为⊙O的直径，
∴∠BED＝∠CED＝90°，
∵四边形ABED为圆美四边形，
∴BD⊥AE，
∴∠ABD+∠BAE＝90°，
∵∠CAE+∠BAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
∴＝，
∴AD＝DE，
在等腰直角△CDE中，CD＝DE，
∴CD＝AD，
∴AC＝（+1）AD，
∵AB＝AC，AD＝DE，
∴＝+1；
（3）证明：∵PA⊥PD，PB⊥PE，
∴∠APD＝∠BPE＝90°，
∵∠PBC＝∠ADP，
∴△APD∽△EPB，
∴＝，
∴＝，
又∵∠APD+∠DPE＝∠BPE+∠DPE，
即∠APE＝∠DPB，
∴△APE∽△DPB，
∴∠AEP＝∠DBP，
又∵∠DBP+∠PGB＝90°，∠PGB＝∠EGF，
∴∠AEP+∠EGF＝90°，
即∠BFE＝90°，
∴BD⊥AE，
又∵A，B，E，D在同一个圆上，
∴四边形ABED为圆美四边形．
13．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：经探究发现，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间有这样的数量关系：AB2+CD2＝AD2+BC2，请写出证明过程；（先画出图形，写出已知，求证）
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG和GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
解：（1）解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由如下：如图2，连接AC、BD，
∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）证明：如图1中，设AC交BD于点O．
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）如图3，连接CG、BE，
∵正方形ACFG和正方形ABDE，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
∵∠AME＝∠BMN，
∴∠ABG+∠BMN＝90°，
即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝＝3，
∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，
∴GE＝．
14．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有 菱形和正方形 ；
（2）如图2，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
（3）如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，CE与BG交于点O，已知AC＝3，AB＝5，求△OGE的中线OH的长．
解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形．
故答案为：菱形和正方形．
（2）猜想：AD2+BC2＝AB2+CD2．
理由：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，设AB，CE交于点M，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
∵在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
∴CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，CG＝AC＝3，BE＝AB＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝18+50﹣16＝52，
∴GE＝2，
∴OH＝GE＝．
15．数学活动：图形的变化
问题情境：如图（1），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，E是AC边上的一个动点（点E与A，C不重合），以CE为边在△ABC外作等腰直角△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD．猜想线段BE，AD之间的关系．
（1）独立思考：请直接写出线段BE，AD之间的关系；
（2）合作交流：“希望”小组受上述问题的启发，将图（1）中的等腰直角△ECD绕着点C顺时针方向旋转至如图（2）的位置，BE交AC于点H，交AD于点O．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：“科技”小组将（2）中的等腰直角△ABC改为Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将等腰直角△ECD改为Rt△ECD，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3．试猜想BD2+AE2是否为定值，结合图（3）说明理由．
解：（1）∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCE＝∠ACD＝90°，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠CEB＝∠CDA，
∵∠CBE+∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠CDA＝90°，
∴BE⊥AD，
（2）BE＝CD，BE⊥AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°
∴AC＝BC，
∵△CDE是等腰直角三角形，∠ECD＝90°，
∴CD＝CE，
∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD，
∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴BE⊥AD；
即：BE＝AD，BE⊥AD；
（3）是定值，
理由：∵∠ECD＝90°，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB+ACE＝∠ECD+∠ACE＝90°，
∴∠BCE＝ACD，
∵AC＝8，BC＝6，CD＝4，CE＝3，
∴＝，
∴△BCE∽△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD，
∵∠BHC＝∠AHO，∠CBH+∠BHC＝90°，
∴∠CAD+∠AHO＝90°，
∴∠AOH＝90°，
∴BE⊥AD，
∴∠BOD＝∠AOB＝90°，
∴BD2＝OB2+OD2，AE2＝OA2+OE2，AB2＝OA2+OB2，DE2＝OE2+OD2，
∴BD2+AE2＝OB2+OD2+OA2+OE2＝AB2+DE2，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝100，
在Rt△ECD中，∠ECD＝90°，CD＝4，CE＝3，
∴DE2＝25，
∴BD2+AE2＝AB2+DE2＝125．
16．【概念认识】
定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，若AB⊥AD，AB＝4cm，cs∠ABD＝，求AC的长度．
【数学理解】
（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李与同学讨论出了如下方法：如图2，在⊙O中，已知AB是⊙O的弦，只需作OD⊥OA、OC⊥OB，分别交⊙O于点D和点C，即可得到垂等四边形ABCD，请你写出证明过程．
【问题解决】
（3）如图3，已知A是⊙O上一定点，B为⊙O上一动点，以AB为一边作出⊙O的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E，⊙O的半径为2，当点E到AD的距离为时，求弦AB的长度．
解：（1）∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴cs∠ABD＝，
∵AB＝4cm，cs∠ABD＝，
∴BD＝5cm，
∴AC＝5cm；
（2）如图2，连结AC、BD，AC、BD相交于点E，
∵OD⊥OA、OC⊥OB，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝45°，∠BDC＝∠BOC＝45°，
∴∠DEC＝90°，
即AC⊥BD，
∵∠AOC＝∠AOD+∠DOC，∠BOD＝∠BOC+∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
又∵AO＝DO，CO＝BO，
∴△AOC≌△DOB（SAS），
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是垂等四边形；
（3）∵四边形ABCD是垂等四边形，
∴AC＝BD，AC⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABE＝∠BAE＝（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝90°，
∴△AOD和△ABE是等腰直角三角形，
∴AD＝OA，
∵OA＝2，
∴AD＝4，
过点E作EF⊥AD于点F，
∴∠EFD＝∠EFA＝90°，
∴∠FAE+∠FEA＝90°，
∵∠FEA+∠FED＝90°，
∴∠FED＝∠FAE，
∴Rt△DEF∽Rt△EAF，
∴＝，
∴EF2＝DF•AF，
设DF＝x，则AF＝4﹣x，
∵EF＝，
∴3＝x（4﹣x），
∴x1＝1，x2＝3，
∴AF＝3或1，
∵AE＝，
∴AE＝2或2，
∵AB＝AE，
∴AB＝2或2．
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