中考数学一轮复习满分突破考点题型专练专题14 二次函数（2份打包，原卷版+解析版）

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【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
二次函数的概念：一般地，形如（ QUOTE a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数。
二次函数的结构特征：
1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项。
3）二次项系数，而 QUOTE b，c可以为零。
知识点二 二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的图象：它是一条关于 SKIPIF 1 < 0 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
【特征】：对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ；顶点坐标是( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )；c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)；
二次函数图象的平移：
【平移规律口诀】h值正右移，负左移； QUOTE k值正上移，负下移，简称“左加右减，上加下减”。
知识点三 二次函数的最值问题
1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；
即：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （a>0，取得最小值；a0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【名师点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
题型1-2．（2022·新疆·中考真题）已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项提示判断即可得解．
【详解】解：抛物线中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选D．
【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
题型1-3．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，∴m＞，故选：B．
【名师点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
题型1-4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．B．点A的坐标为
C．当时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线
【答案】D
【提示】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；故选D．
【名师点拨】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
题型1-5．（2021·江苏常州·中考真题）已知二次函数，当时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【详解】∵二次函数的对称轴为y轴，当时，y随x增大而增大，
∴二次函数的图像开口向上，∴a-1＞0，即：，故选B．
【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
题型1-6．（2022·广东深圳·中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；
(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则 （填“”或“”或“”）
【答案】(1)
(2)图见解析，和
(3)或
【提示】（1）把点代入即可求解．（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．
（1）解：当时，，∴．
（2）平移后的图象如图所示：
由题意得：，解得，
当时，，则交点坐标为：，
当时，，则交点坐标为：，
综上所述：与的交点坐标分别为和．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴，，
∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，
当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，
综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或．
【名师点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
考查题型二 y=ax2+bx+c的图象和性质
题型2．（2022·辽宁阜新·中考真题）下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线D．与直线有两个交点
【答案】D
【提示】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；故选：D．
【名师点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
题型2-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．
【名师点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
题型2-2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【提示】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【名师点拨】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
题型2-3．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，且经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】图象开口向下，得a0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【提示】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，解得：m1=1，m2=−3，又∵m>0，∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【名师点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
考查题型三 二次函数图象与系数符号之间的关系
题型3．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数，令，则，
∴抛物线与y轴的交点坐标为∵，∴，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴，∵ ，∴，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【名师点拨】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
题型3-1．（2022·四川成都·中考真题）如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，的值随值的增大而增大
C．点的坐标为D．
【答案】D
【提示】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为，当，随的增大而减小；当，随的增大而增大，故当时，随的增大而增大；当，随的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，可得对称轴，解得，即，故该选项不符合题意；
D、根据可知，当时，，故该选项符合题意；
故选：D．
【名师点拨】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与轴交点得到是解决问题的关键．
题型3-2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【提示】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-20)，
由题意得，解得：，∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，由题意得，解得：，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
（3）解：设总年产量为w，依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
=−0.1(x2-15x+-)+2=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.10 时，开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a0
x0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大。
a